第一章 矢量分析,1.1 場的概念和表示法 1.2 三種常用的坐標(biāo)系 1.3 標(biāo)量場的梯度 1.4 矢量場的通量 散度 1.5 矢量場的環(huán)流 旋度 1.6 亥姆霍茲定理,1.1 場的概念和表示法,場的概念：,物理系統(tǒng)中某物理量在該區(qū)域的一種分布。,標(biāo)量場：被描述的物理量是標(biāo)量，用一個(gè)標(biāo)量函數(shù) 來描述,矢量場：被描述的物理量是矢量，用一個(gè)矢量函數(shù) 來描述,場不僅具有空間屬性，還具有時(shí)間屬性,靜態(tài)場：物理系統(tǒng)的狀態(tài)只按空間分布，不隨時(shí)間變化，即物理系 統(tǒng)的狀態(tài)是靜態(tài)的； 記為 （標(biāo)量場）和 （矢量場）；,時(shí)變場：物理系統(tǒng)的狀態(tài)不僅按空間分布，還隨時(shí)間變化，即場的 分布是動(dòng)態(tài)的； 記為 （標(biāo)量場）和 （矢量場）；,一個(gè)矢量場在具體坐標(biāo)系中可以分解為三個(gè)分量場。 例如：在直角坐標(biāo)系中，靜態(tài)場可表示為,、,、,所以，一個(gè)矢量場對(duì)應(yīng)三個(gè)標(biāo)量場,其中， 、 、 都是標(biāo)量場,1.2 三種常用的坐標(biāo)系,1.2.1 直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量: 變量取值范圍: 單位矢量： （ ） 任一矢量可表示為： 位置矢量： 微分元：,度量系數(shù)： 面積元： 體積元：,圖 1.2.2 直角坐標(biāo)系中的體積元,1.2.2 柱坐標(biāo)系,圖 1.2.3 柱坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量: 變量取值范圍: 單位矢量： （ ） 任一矢量可表示為： 位置矢量： 微分元：,度量系數(shù)： 面積元： 體積元：,圖 1.2.4 柱坐標(biāo)系的體積元,1.2.3 球坐標(biāo)系,圖 1.2.5 球坐標(biāo)系,坐標(biāo)變量: 變量取值范圍: 單位矢量： （ ） 任一矢量可表示為： 位置矢量： 微分元：,度量系數(shù)： 面積元： 體積元：,圖 1.2.6 球標(biāo)系的體積元,1.2.4 三種坐標(biāo)系的坐標(biāo)變量之間的關(guān)系,（1）直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)系的關(guān)系,（2）直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系的關(guān)系,（3）柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系的關(guān)系,1.3 標(biāo)量場的遞度,1.3.1 標(biāo)量場的等值面,標(biāo)量場(x, y, z)的等值面方程為,圖1.3.1 標(biāo)量場的等值面,曲面上的各點(diǎn),雖然坐標(biāo) 不 同,但函數(shù)值相等,1.3.2 標(biāo)量場的方向?qū)?shù) 梯度,函數(shù) 在 的梯度定義,圖 1.3.2 方向?qū)?shù)和梯度,函數(shù) 在點(diǎn) 沿 方向的方向?qū)?shù),若點(diǎn)M在等值面 上移動(dòng),根據(jù)微分定義,而,標(biāo)量場的方向?qū)?shù)的定義,直角坐標(biāo)系中哈密頓算符表示為,直角坐標(biāo)系中梯度計(jì)算公式為,柱坐標(biāo)系中的哈密頓算符和梯度計(jì)算公式為,球坐標(biāo)系中的哈密頓算符和梯度計(jì)算公式為,1.4 矢量場的通量 散度,1.4.1 矢量場的通量,n的指向有兩種情況： （1）對(duì)開曲面上的面元， 的取法要求圍成開表面的邊界走向與 滿足右手螺旋法則 （2）對(duì)閉合面上的面元， 一般取外法線方向,空間面元矢量：,面元大小,與面元垂直的單位矢量,圖1.4.1 空間中的面元,將曲面S各面元上的AdS相加，它表示矢量場A穿過整個(gè)曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：,如果曲面是一個(gè)封閉曲面，則,圖1.4.2 矢量場的通量與源的關(guān)系,（體積內(nèi)存在著流體的源）,（體積內(nèi)存在著流體的負(fù)源）,（體積無流體的源）,1.4.2 矢量場的散度,稱此極限為矢量場A在某點(diǎn)的散度，記為divA，即散度的定義式為,矢量場A的散度可表示為哈密頓微分算子與矢量A的標(biāo)量積， 即,直角坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式為,柱坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式：,球坐標(biāo)系中的散度計(jì)算公式：,1.4.3 高斯散度定理,高斯散度定理的意義：任意矢量場 的散度在場中任意體積內(nèi)的 體積分等于矢量場 在限定該體積的閉合面上通量。,將閉合面 包圍的體積 分成無窮多個(gè)體積元 .,并使最大體積元,例1.4.1 點(diǎn)電荷 位于球坐標(biāo)原點(diǎn)，此電荷的電場強(qiáng)度在空間中分布如下,（1）計(jì)算在 的球面上，電場強(qiáng)度 穿出的通量。 （2）計(jì)算空間各點(diǎn)（ ）電場強(qiáng)度 的散度。 解：位于坐標(biāo)原點(diǎn)的電荷的電場，電場強(qiáng)度的方向總在 方向上，呈發(fā)散狀分布。 在 球面上任取一面元 ，則 在 球面上的通量為 對(duì)于 的空間各點(diǎn)，電場強(qiáng)度 的散度為,圖1.4.4 點(diǎn)電荷的電場與,1.5 矢量場的環(huán)量 旋度,在力場中，某一質(zhì)點(diǎn)沿著指定的曲線c運(yùn)動(dòng)時(shí)，力場所做的功可表示為力場F沿曲線c的線積分，即,1.5.1 矢量場的環(huán)流,旋渦場在空間中的分布形態(tài)可從兩個(gè)方面來描述: (一) 旋渦場在空間中旋轉(zhuǎn)的快慢程度 (二) 旋渦場的旋轉(zhuǎn)面在空間中怎樣取向,環(huán)流越大，場在C 圍成的面上旋轉(zhuǎn)越快。,(a)S 面與旋渦面垂直 (b) S面與旋渦面相交 (c) S面與旋渦面平行 圖1.5.3 C上環(huán)流的三種情況,可以證明，在發(fā)散場中，對(duì)于任選 的空間閉合曲線 C上的環(huán)流恒為零。,1.5.2 矢量場的旋度,此極限說明了在m點(diǎn)附近，場在C圍成的面上單位面積的平均環(huán)流,在直角坐標(biāo)系中，,圖1.5.4 直角坐標(biāo)系中 的,于是：,同理：,則：,=,柱坐標(biāo)系中：,行列式形式為：,球坐標(biāo)系中：,行列式形式為：,旋度有兩個(gè)重要的性質(zhì)（讀者自己證明）： （1）矢量場的旋度的散度恒為零， （2）標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零，,1.5.3 斯托克斯定理,因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量，因此矢量場在閉合曲線c上的環(huán)量等于閉合曲線c所包圍曲面S上旋度的總和， 即,此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。,1.6 亥姆霍茲定理,亥姆霍茲定理：在有限區(qū)域 內(nèi)的任一個(gè)矢量場 ，由它的散度，旋度和邊界條件（即限定體積 的閉合面S上矢量場分布）惟一確定,必須指出，只有在矢量場 是連續(xù)的區(qū)域區(qū)， 和 才有意義,一個(gè)矢量場 可能既有發(fā)散源、又有旋渦源，根據(jù)亥姆霍茲定理一定有,