1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(一),第一章1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.了解函數(shù)極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系. 2.掌握函數(shù)極值的判定及求法. 3.掌握函數(shù)在某一點取得極值的條件.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),思考觀察函數(shù)yf(x)的圖象，指出其極大值點和極小值點及極值.,知識點一函數(shù)的極值點和極值,答案極大值點為e，g，i，極大值為f(e)，f(g)，f(i)；極小值點為d，f，h，極小值為f(d)，f(f)，f(h).,梳理(1)極小值點與極小值 若函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a) ，而且在點xa附近的左側(cè) ，右側(cè) ，就把 叫做函數(shù)yf(x)的極小值點， 叫做函數(shù)yf(x)的極小值. (2)極大值點與極大值 若函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b) ，而且在點xb附近的左側(cè) ，右側(cè) ，就把 叫做函數(shù)yf(x)的極大值點， 叫做函數(shù)yf(x)的極大值. (3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為 ；極大值、極小值統(tǒng)稱為 .,0,f(x)<0,f(x)0,點a,f(a),0,f(x)0,f(x)<0,點b,f(b),極值點,極值,(1)求函數(shù)yf(x)的極值的方法 解方程f(x)0，當(dāng)f(x0)0時， 如果在x0附近的左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞增，即f(x)0，在x0的右側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，即f(x)0，那么f(x0)是 .,知識點二函數(shù)極值的求法與步驟,極大值,極小值,(2)求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟 確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x)； 求方程 的根； 列表； 利用f(x)與f(x)隨x的變化情況表，根據(jù)極值點左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值.,f(x)0,1.導(dǎo)數(shù)為0的點一定是極值點.() 2.函數(shù)的極大值一定大于極小值.() 3.函數(shù)yf(x)一定有極大值和極小值.() 4.極值點處的導(dǎo)數(shù)一定為0.(),思考辨析 判斷正誤,題型探究,類型一求函數(shù)的極值點和極值,命題角度1不含參數(shù)的函數(shù)求極值 例1求下列函數(shù)的極值.,解答,解函數(shù)f(x)的定義域為R.,令f(x)0，得x1或x1. 當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,由上表可以看出，當(dāng)x1時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(1)3； 當(dāng)x1時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)1.,解答,令f(x)0，解得xe. 當(dāng)x變化時，f(x)與f(x)的變化情況如下表：,反思與感悟函數(shù)極值和極值點的求解步驟 (1)確定函數(shù)的定義域. (2)求方程f(x)0的根. (3)用方程f(x)0的根順次將函數(shù)的定義域分成若干個小開區(qū)間，并列成表格. (4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況. 特別提醒：當(dāng)實數(shù)根較多時，要充分利用表格，使極值點的確定一目了然.,跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的極值點和極值.,解答,解f(x)x22x3. 令f(x)0，得x11，x23， 當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,由上表可以看出，當(dāng)x1時，函數(shù)有極大值，且極大值f(1) 當(dāng)x3時，函數(shù)有極小值，且極小值f(3)6.,(2)f(x)x2ex.,解答,解函數(shù)f(x)的定義域為R. f(x)2xexx2exx(2x)ex. 令f(x)0，得x0或x2. 當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,由上表可以看出，當(dāng)x0時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(0)0. 當(dāng)x2時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(2)4e2.,解答,解f(x)x2(a2)x2a24aex. 令f(x)0，解得x2a或xa2，,分以下兩種情況討論：,當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函數(shù)，在(2a，a2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(2a)，且f(2a)3ae2a，函數(shù)f(x)在xa2處取得極小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.,當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函數(shù)，在(a2，2a)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在xa2處取得極大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2，函數(shù)f(x)在x2a處取得極小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.,反思與感悟討論參數(shù)應(yīng)從f(x)0的兩根x1，x2相等與否入手進(jìn)行.,解答,跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)xaln x(aR). (1)當(dāng)a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；,因而f(1)1，f(1)1. 所以曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程為 y1(x1)，即xy20.,解答,(2)求函數(shù)f(x)的極值.,當(dāng)a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； 當(dāng)a0時，由f(x)0，解得xa. 又當(dāng)x(0，a)時，f(x)0， 從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，且極小值為f(a)aaln a，無極大值. 綜上，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)無極值； 當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值.,例3(1)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa處取到極大值，則a的取值范圍是 A.(，1) B.(0，)C.(0,1) D.(1,0),類型二利用函數(shù)的極值求參數(shù),解析若a0，則f(x)在(1，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增，與題意不符，故選D.,解析,答案,(2)已知函數(shù)f(x)x33ax2bxa2在x1時有極值0，則a_，b_.,解析,答案,2,9,解析因為f(x)在x1時有極值0，且f(x)3x26axb，,當(dāng)a1，b3時，f(x)3x26x33(x1)20， 所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極值，故舍去. 當(dāng)a2，b9時，f(x)3x212x93(x1)(x3). 當(dāng)x(3，1)時，f(x)為減函數(shù)， 當(dāng)x(1，)時，f(x)為增函數(shù)， 所以f(x)在x1處取得極小值，因此a2，b9.,反思與感悟已知函數(shù)的極值求參數(shù)時應(yīng)注意兩點 (1)待定系數(shù)法：常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列出方程組，用待定系數(shù)法求解. (2)驗證：因為導(dǎo)數(shù)值為0不一定此點就是極值點，故利用上述方程組解出的解必須驗證.,解答,解f(x)aln xbx2x，,跟蹤訓(xùn)練3設(shè)x1與x2是函數(shù)f(x)aln xbx2x的兩個極值點. (1)試確定常數(shù)a和b的值；,解答,當(dāng)x(0,1)時，f(x)0； 當(dāng)x(2，)時，f(x)<0. 故x1是函數(shù)f(x)的極小值點，x2是函數(shù)f(x)的極大值點.,(2)判斷x1，x2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由.,達(dá)標(biāo)檢測,1,2,3,4,5,1.函數(shù)f(x)的定義域為R，它的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的 部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論錯誤的是 A.在(1,2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù) B.在(3,4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù) C.在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值 D.x3是函數(shù)f(x)在區(qū)間1,5上的極小值點,解析,答案,解析根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象知，x(1,2)時，f(x)0，x(2,4)時，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上為增函數(shù)，在(2,4)上為減函數(shù)，x2是f(x)在1,5上的極大值點，x4是極小值點.故選D.,1,2,3,4,5,解析,答案,C.x2為f(x)的極大值點 D.x2為f(x)的極小值點,1,2,3,4,5,當(dāng)x(0,2)時，f(x)0. 因為x2為f(x)的極小值點，故選D.,3.函數(shù)f(x)ax1ln x(a0)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)為_.,所以當(dāng)a0時，f(x)<0在(0，)上恒成立， 所以函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減， 所以f(x)在(0，)上沒有極值點.,0,1,2,3,4,5,解析,答案,2,解析f(x)3x22axb，,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5,(2)判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間，并求極值.,又f(x)的定義域為(0，)， 令f(x)0，解得x1. 當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，).,1,2,3,4,5,1.求函數(shù)極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域； (2)求導(dǎo)數(shù)f(x)； (3)解方程f(x)0得方程的根； (4)利用方程f(x)0的根將定義域分成若干個小開區(qū)間，列表，判定導(dǎo)函數(shù)在各個小開區(qū)間的符號； (5)確定函數(shù)的極值，如果f(x)的符號在x0處由正(負(fù))變負(fù)(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值.,規(guī)律與方法,2.已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時，注意兩點 (1)根據(jù)極值點的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解； (2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證充分性.,