第2講函數(shù)的應(yīng)用,專題六函數(shù)與導(dǎo)數(shù),板塊三專題突破核心考點,考情考向分析,1.求函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn). 2.函數(shù)的實際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問題.,熱點分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點分類突破,1.零點存在性定理 如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根. 2.函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系 函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點的橫坐標(biāo).,熱點一函數(shù)的零點,解析,答案,A.6 B.7 C.5 D.8,由圖象可知，共有8個交點，故選D.,解析,答案,(2)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(1x)，且當(dāng)x4,1)時， f(x) ，g(x)2sin x是以1為最小正周期的函數(shù)，則函數(shù)F(x)f(x) g(x)，x3,5的所有零點之和等于 A.17 B.16 C.4 D.2,解析因為函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(1x)， 所以f(1)0，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)成中心對稱， 因為g(x)2sin x是以1為最小正周期的函數(shù)， 所以2，g(x)2sin 2x. 令F(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x).,所以可作出當(dāng)x3,5時，函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示，,根據(jù)兩個函數(shù)圖象的交點及函數(shù)圖象的對稱性可設(shè)交點的橫坐標(biāo)由左到右依次為x1，x2，x3，x16， 交點的橫坐標(biāo)間的關(guān)系為x1x162，x2x152，x3x142，x8x92， 所以F(x)f(x)g(x)，x3,5的所有零點之和等于1x1x2x3x4x15x16 12817，故選A.,函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的有 (1)函數(shù)零點大致存在區(qū)間的確定. (2)零點個數(shù)的確定. (3)兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)或有幾個交點的確定. 解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解.,解析,答案,解析由f(x1)f(x1)得f(x)周期為2，作函數(shù)f(x)和g(x)的圖象， 圖中，g(3)3log231f(3)， g(5)3log25<1f(5)， 可得有兩個交點，所以選B.,解析,答案,(2)已知函數(shù)f(x)滿足：定義域為R；xR，都有f(x2)f(x)；當(dāng)x1,1時，f(x)|x|1，則方程f(x) log2|x|在區(qū)間3,5內(nèi)解的個數(shù)是 A.5 B.6 C.7 D.8,解析畫出函數(shù)圖象如圖所示，由圖可知，共有5個解.,熱點二函數(shù)的零點與參數(shù)的范圍,解決由函數(shù)零點的存在情況求參數(shù)的值或取值范圍問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解.,例2(1)已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x1) ，且當(dāng)x1,0時，f(x)x2，若在區(qū)間1,3內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_.,(3,5),解析,答案,且當(dāng)x1,0時，f(x)x2，,函數(shù)f(x)的周期為2，在區(qū)間1,3內(nèi)函數(shù)g(x)f(x)loga(x2)有3個零點等價于函數(shù)f(x)的圖象與yloga(x2)的圖象在區(qū)間1,3內(nèi)有3個交點. 當(dāng)0<a<1時，函數(shù)圖象無交點，,(2)(2018全國)已知函數(shù)f(x) g(x)f(x)xa.若g(x) 存在2個零點，則a的取值范圍是 A.1,0) B.0，) C.1，) D.1，),解析,答案,解析令h(x)xa， 則g(x)f(x)h(x). 在同一坐標(biāo)系中畫出yf(x)，yh(x)圖象的示意圖， 如圖所示. 若g(x)存在2個零點，則yf(x)的圖象與yh(x)的圖象有2個交點，平移yh(x)的圖象可知，當(dāng)直線yxa過點(0,1)時，有2個交點， 此時10a，a1. 當(dāng)yxa在yx1上方，即a<1時，僅有1個交點，不符合題意；,當(dāng)yxa在yx1下方，即a1時，有2個交點，符合題意. 綜上，a的取值范圍為1，). 故選C.,(1)方程f(x)g(x)根的個數(shù)即為函數(shù)yf(x)和yg(x)圖象交點的個數(shù). (2)關(guān)于x的方程f(x)m0有解，m的范圍就是函數(shù)yf(x)的值域.,解析,答案,0,1)(2，),結(jié)合圖象可以看出當(dāng)0k2時符合題設(shè).,解析,答案,(4,8),解析作出函數(shù)f(x)的示意圖，如圖.,l1是過原點且與拋物線yx22ax2a相切的直線， l2是過原點且與拋物線yx22axa相切的直線. 由圖可知，當(dāng)直線yax在l1，l2之間(不含直線l1，l2)變動時，符合題意.,由10，得a8(a0舍去).,由20，得a4(a0舍去).綜上，得4<a<8.,解決函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域.其解題步驟是：(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式.(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果.(4)實際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實際問題作出解答.,熱點三函數(shù)的實際應(yīng)用問題,解答,例3經(jīng)測算，某型號汽車在勻速行駛過程中每小時耗油量y(升)與速度x(千米/時)(50 x120)的關(guān)系可近似表示為：,(1)該型號汽車速度為多少時，可使得每小時耗油量最低？,解當(dāng)x50,80)時，,當(dāng)x80,120時，函數(shù)單調(diào)遞減， 故當(dāng)x120時，y有最小值10. 因為9<10，故當(dāng)x65時每小時耗油量最低.,解答,(2)已知A，B兩地相距120千米，假定該型號汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時總耗油量最少？,當(dāng)x50,80)時，,當(dāng)x120時，l取得最小值10. 因為10<16，所以當(dāng)速度為120千米/時時，總耗油量最少.,(1)解決函數(shù)的實際應(yīng)用問題時，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識求解，解答后再回到實際問題中去. (2)對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法.,解答,跟蹤演練3為了保護環(huán)境，發(fā)展低碳經(jīng)濟，某單位在國家科研部門的支持下，進行技術(shù)攻關(guān)，采用了新工藝，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為y x2200 x80 000，且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元. (1)該單位每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？,解由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為,才能使每噸的平均處理成本最低，最低成本為200元.,解答,(2)該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則國家每月至少需要補貼多少元才能使該單位不虧損？,因為400 x600， 所以當(dāng)x400時，S有最大值40 000. 故該單位不獲利，需要國家每月至少補貼40 000元，才能使該單位不虧損.,解設(shè)該單位每月獲利為S，,真題押題精練,真題體驗,答案,解析,因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(，2)內(nèi)沒有零點，,2.(2017山東改編)已知當(dāng)x0,1時，函數(shù)y(mx1)2的圖象與y m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是_.,答案,解析,(0,13，),分兩種情形：,當(dāng)x0,1時，f(x)與g(x)的圖象有一個交點，符合題意.,要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個交點， 只需g(1)f(1)，即1m(m1)2， 解得m3或m0(舍去). 綜上所述，m(0,13，).,答案,解析,8,解析由于f(x)0,1)，則只需考慮1x<10的情況， 在此范圍內(nèi)，當(dāng)xQ，且xZ時，,若lg xQ，則由lg x(0,1)，,圖中交點除(1,0)外其他交點橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個周期內(nèi)xD部分，,則在x1附近僅有1個交點， 因此方程解的個數(shù)為8.,因此lg xQ，因此lg x不可能與每個周期內(nèi)xD對應(yīng)的部分相等，只需考慮lg x與每個周期內(nèi)xD部分的交點，畫出函數(shù)草圖.,押題預(yù)測,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)函數(shù)的零點是高考的一個熱點，利用函數(shù)圖象的交點確定零點個數(shù)是一種常用方法.,1.f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為 A.4 B.5 C.6 D.7,解析令2sin xx10，則2sin xx1， 令h(x)2sin x，g(x)x1，則f(x)2sin xx1的零點個數(shù)問題就轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)h(x)與g(x)圖象的交點個數(shù)問題.,畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，,兩個函數(shù)圖象的交點一共有5個，所以f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為5.,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)利用函數(shù)零點個數(shù)可以得到函數(shù)圖象的交點個數(shù)，進而確定參數(shù)范圍，較好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.,要使函數(shù)g(x)恰有三個不同的零點，只需g(x)0恰有三個不同的實數(shù)根，,所以g(x)0的三個不同的實數(shù)根為x2(xa)， x1(xa)，x2(xa). 再借助數(shù)軸，可得1a<2. 所以實數(shù)a的取值范圍是1,2)，故選D.,3.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為_m.,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)函數(shù)的實際應(yīng)用是高考的必考點，函數(shù)的最值問題是應(yīng)用問題考查的熱點.,20,解析如圖， 過A作AHBC交BC于點H，交DE于點F，,FH40 x(0<x<40)，,當(dāng)且僅當(dāng)40 xx， 即x20時取等號，所以滿足題意的邊長x為20 m.,