微專題2平面向量數(shù)量積問題的常用處理策略,微專題2平面向量數(shù)量積問題的常用處理策略 題型一利用基底向量法求解,例1(2016江蘇,13,5分) 如圖,在ABC中,D是BC的中點,E,F是AD的兩個三等分點,=4,=-1,則的值是.,答案,解析設=a,=b,則=(a+3b)(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4,=(a+b)(-a+ b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2=,|b|2=,則=(a+2b)(-a+2b)=4|b|2-|a|2=.【方法 歸納】基底法求解向量問題時基底的選擇很重要,用基底表示其他向量是求解的關(guān)鍵.由基底的定義可得只要兩個向量不共線都可以作為基底,但實際上基底的選擇是很有講究的,一般地,選擇長度、夾角已知的向量為基底,若沒有長度、夾角已知的向量,則選擇與題中涉及的向量都相關(guān)的不共線向量作為基底.,1-1在ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點,=2,BC=2, 則=.,答案-,解析設=a,=b,則|a|=1,=(a+2b)(-a+2b)=4|b|2-|a|2=2,則|b|2=,則 =(a+b)(-a+b)=|b|2-|a|2=-.,1-2(2018常州教育學會學業(yè)水平檢測)在ABC中,AB=5,AC=7,BC=3,P為ABC內(nèi)一點(含邊界),若滿足=+(R),則的取值范圍為.,答案,解析取=,=,由點P為ABC內(nèi)一點(含邊界),且=+ ,得點P在線段DE上,在ABC中,由余弦定理得cos B=- ,則=+=+=-.,1-3在ABC中,AB=4,AC=3,點P是邊BC的垂直平分線上任意一點,則 =.,答案-,解析取BC的中點D,則DPBC,則=(+)=+= =(-)(+)=(|2-|2)=-.,題型二利用坐標法求解,例2如圖,ABC為等腰三角形,BAC=120,AB=AC=4,以A為圓心,1為半徑的圓分別交AB,AC于點E,F,點P是劣弧上的一點,則的取值范圍是 .,答案-11,-9,解析以點A為坐標原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(4,0),C(-2,2).設P(cos ,sin ),=(4-cos ,-sin )(-2-cos ,2 -sin )=(4-cos )(-2-cos )-sin (2-sin )=-7-2sin -2cos =-7-4sin + .因為,所以+,sin+,-7-4sin+ -11,-9,即的取值范圍是-11,-9.,【方法歸納】特殊圖形中的向量運算,尤其是向量的取值范圍問題,要優(yōu)先考慮坐標法,即建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?寫出或設出相關(guān)點的坐標,利用向量的坐標運算求解,向量的坐標運算的實質(zhì)是將向量問題代數(shù)化,是應用十分廣泛的方法.,2-1在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若 =1,則的值為.,答案2,解析以點A為坐標原點,AD、AB所在直線分別為x、y軸建立平面直角坐標系, 則D(2,0),B(0,),E(1,),設F(2,y),y0,則=(1,)(2,y-)=y-1 =1,即y=,則F2,則=(0,)2,=2.,2-2在平行四邊形ABCD中,A=,邊AB、AD的長分別為2、1,若M、N分 別是邊BC、CD上的點,且滿足=,則的最大值為.,答案5,解析以A為原點,AB所在直線為x軸,過點A且垂直于直線AB的直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.,設=(01),所以|=,|=2,所以M2+,N ,所以=5-4+-2+=-2-2+5=-(+1)2+6.因為0,1, 所以2,5,所以的取值范圍是2,5,則的最大值為5.,2-3如圖,在ABC中,已知AB=3,AC=2,BAC=120,D為邊BC的中點.若 CEAD,垂足為E,則的值為.,答案-,解析以點A為坐標原點,方向為x軸正方向,建立平面直角坐標系,則B(3, 0),C(-1,),D1,AD:y=x與CE:2x+y-1=0聯(lián)立解得E,則 =,-,=-=-.,題型三利用極化恒等式求解,例3(2017江蘇南通二調(diào))如圖,在四邊形ABCD中,O為BD的中點,且OA=3,OC=5.若=-7,則的值是.,答案9,解析=(-)(-)=(+)(-)=OC2-OD2.同理可得 =AO2-OD2=-7,所以=OC2-OD2=OC2-AO2-7=9.,【方法歸納】設a,b是平面內(nèi)的兩個向量,則有ab=2-2,這就 是極化恒等式.在ABC中,若AD是邊BC上的中線,則=-,極化 恒等式將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為中線長與半底邊長的平方差,建立起向量與幾何長度(數(shù)量)之間的橋梁,實現(xiàn)向量與幾何、代數(shù)的巧妙結(jié)合.,3-1(2017蘇錫常鎮(zhèn)四市調(diào)研)在ABC中,已知AB=1,AC=2,A=60,若點P滿足=+,且=1,則實數(shù)的值為.,答案1或-,解析取BC的中點D,連接PD,由AB=1,AC=2,A=60,得BC=,ABC=90, ACB=30.由=+,得=,即ACBP,易知CBP=30.因為D為 BC的中點,所以=PD2-DC2=1.在BPD中,PD2=BD2+BP2-2BDBPcos DBP,所以+42-22=1+,所以=1或=-.,1.正五邊形ABCDE的邊長為2,則的值為.,答案6,解析因為五邊形ABCDE是正五邊形,所以每一個內(nèi)角是108,CAE=CEA=72.取AE的中點F,連接CF,則CFAE.又正五邊形ABCDE的邊長為2 , 則=|cosCAE=|=6.,2.在ABC中,已知B=,|-|=2,則的取值范圍是 .,答案-,+,解析以點B為坐標原點,BA所在直線為x軸,過B且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系,則C(1,).設A(x,0),x0,則=(-x,0)(1-x,)=x2-x=x -2-,則的取值范圍是-,+.,3.在ABC中,AB=3,AC=2,BAC=120,=.若=-,則實數(shù)的 值為 .,答案,解析由題意可得=3 2-=-3,=(+)=(+) =(1-)+(-)=(1-2)+-(1-)=-3(1-2)+4-9(1- )=19-12=-,解得=.,4.在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.點E和F分別在線段BC和DC上,且=,DF=,則的值為 .,答案,解析以點A為坐標原點,AB所在直線為x軸,過點A且垂直于AB的直線為y軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(2,0),C,D,.又=,= ,則E,F,所以=,=+=.,