12.2古典概型與幾何概型,知識梳理,考點自測,1.基本事件的特點 (1)任何兩個基本事件是的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和. 2.古典概型 (1)定義:具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型. 有限性:試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件. 等可能性:每個基本事件出現(xiàn)的可能性.,互斥,基本事件,只有有限個,相等,知識梳理,考點自測,3.幾何概型 (1)定義:如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的_(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型. (2)特點 無限性:在一次試驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個; 等可能性:每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. (3)公式: P(A)= .,長度,4.隨機(jī)模擬方法 使用計算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗,以便通過這個試驗求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是隨機(jī)模擬方法.,知識梳理,考點自測,1.任一隨機(jī)事件的概率都等于構(gòu)成它的每一個基本事件概率的和. 2.求試驗的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)的方法有:列舉法、列表法和樹狀圖法. 3.與面積有關(guān)的幾何概型,若已知圖形不明確,可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域,即可借助平面區(qū)域解決問題.,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)在一次試驗中,其基本事件的發(fā)生一定是等可能的.() (2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.() (3)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).() (5)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.(),答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,2.(2017黑龍江大慶二模,理10)男、女生共8人,從中任選3人,出現(xiàn)2個男生、1個女生的概率為 ,則其中女生有() A.2人B.3人C.2人或3人D.4人,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,3.(2017湖北武漢二月調(diào)考,理7)從裝有3個紅球和2個白球的袋中任取3個球,則所取的3個球中至少有2個紅球的概率是(),答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,4.(2017全國,理2)如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自黑色部分的概率是(),答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,5.在-1,1上隨機(jī)地取一個數(shù)k,則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,例1(1)(2017福建廈門一模,理3)中國將于2017年9月3日至5日在福建省廈門市主辦金磚國家領(lǐng)導(dǎo)人第九次會晤.某志愿者隊伍共有5人負(fù)責(zé)接待,其中3人擔(dān)任英語翻譯,另2人擔(dān)任俄語翻譯.現(xiàn)從中隨機(jī)選取2人,恰有1個英語翻譯,1個俄語翻譯的概率是() (2)某校食堂使用大小、手感完全一樣的餐票,小明口袋里有一元餐票2張,兩元餐票2張,五元餐票1張,若他從口袋中隨意摸出2張,則其面值之和不少于四元的概率為 (),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考如何求古典概型的概率? 解題心得1.求古典概型的概率的思路是:先求出試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù),再代入古典概型的概率公式. 2.求試驗的基本事件數(shù)及事件A包含的基本事件數(shù)時,應(yīng)用兩個原理及排列與組合的知識進(jìn)行求解.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓(xùn)練1(1)(2017福建廈門二模,理8)甲、乙兩名游客來廈門旅游,計劃分別從鼓浪嶼、曾厝垵、植物園、南普陀4個旅游景點中選取3個景點參觀游覽,則兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同的概率為() (2)從1,2,3,4,5中挑出三個不同數(shù)字組成五位數(shù),則其中有兩個數(shù)字各用兩次(例如12332)的概率為(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考向1古典概型與平面向量的交匯 思考如何把兩個向量的夾角的范圍問題轉(zhuǎn)化成與求概率的基本事件有關(guān)的問題?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考向2古典概型與解析幾何的交匯 例3將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a,b,則直線ax+by=0與圓(x-2)2+y2=2有公共點的概率為. 思考如何把直線與圓有公共點的問題轉(zhuǎn)化成與概率的基本事件有關(guān)的問題?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考向3古典概型與函數(shù)的交匯 例4設(shè)a2,4,b1,3,函數(shù)f(x)= ax2+bx+1. (1)求f(x)在區(qū)間(-,-1上是減函數(shù)的概率; (2)從f(x)中隨機(jī)抽取兩個,求它們在(1,f(1)處的切線互相平行的概率. 思考如何把f(x)在區(qū)間(-,-1上是減函數(shù)的問題轉(zhuǎn)換成與概率的基本事件有關(guān)的問題?,答案,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,解題心得1.由兩個向量的數(shù)量積公式,得出它們的夾角的余弦值的表達(dá)式,由夾角的范圍得出點數(shù)m和n的關(guān)系mn,然后分別求m=n和mn對應(yīng)的事件個數(shù),從而也清楚了基本事件的個數(shù)就是點數(shù)m和n組成的點的坐標(biāo)數(shù). 2.直線與圓有公共點,即圓心到直線的距離小于或等于半徑,由此得出ab,則滿足ab的基本事件的個數(shù)就能求出來,從而轉(zhuǎn)化成與概率的基本事件有關(guān)的問題. 3.f(x)在區(qū)間(-,-1上是減函數(shù)可轉(zhuǎn)化成開口向上的二次函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸與x軸的交點的橫坐標(biāo)大于或等于-1,從而得出ba,從而不難得出ba包含的基本事件數(shù).因此也轉(zhuǎn)化成了與概率的基本事件有關(guān)的問題.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓(xùn)練2(1)連續(xù)擲兩次骰子,以先后得到的點數(shù)m,n為點P的坐標(biāo)(m,n),那么點P在圓x2+y2=17內(nèi)部(不包括邊界)的概率是() (2)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x-1,1,3,y1,3,9,則ab的概率為;ab的概率為. (3)設(shè)集合A=x|x2-3x-10<0,xZ,從集合A中任取兩個元素a,b,且ab0,則方程 表示焦點在x軸上的雙曲線的概率為. (4)已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)=ax2-4bx+1,設(shè)a-1,1,2,3,4,5, b-2,-1,1,2,3,4,則f(x)在區(qū)間1,+)內(nèi)是增函數(shù)的概率為.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,例5(1)某公司的班車在7:30,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車,且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī)的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是() (2)如圖,四邊形ABCD為矩形,AB= ,BC=1,在DAB內(nèi)任作射線AP,則射線AP與線段BC有公共點的概率為.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考如何確定幾何概型的概率是用長度或角度的比來求? 解題心得解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍.(1)當(dāng)考察對象為點,點的活動范圍在線段上時用線段長度比計算;(2)當(dāng)考察對象為線時,一般用角度比計算.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓(xùn)練3(1)(2017河北保定二模,理5)在區(qū)間-3,3內(nèi)隨機(jī)取出一個數(shù)a,使得1x|2x2+ax-a20的概率為() (2)如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),射線OT落在30角的終邊上,任作一條射線OA,則射線OA落在yOT內(nèi)的概率為.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,例6(1)在棱長為2的正方體內(nèi)部隨機(jī)取一點,則該點到正方體8個頂點的距離都不小于1的概率為() (2)如圖,點A的坐標(biāo)為(1,0),點C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f(x)=x2,若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自陰影部分的概率為.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的基本思路是什么? 解題心得求與面積、體積有關(guān)的幾何概型的基本思路:用圖形準(zhǔn)確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的區(qū)域,在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域,然后用公式,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓(xùn)練4(1)(2017福建莆田一模)從區(qū)間(0,1)中任取兩個數(shù),作為直角三角形兩直角邊的長,則所取得的兩個數(shù)使得斜邊長不大于1的概率是() (2)(2017廣東江門一模)ABCD-A1B1C1D1是棱長為2的正方體,AC1,BD1相交于點O,在該正方體內(nèi)(含正方體表面)隨機(jī)取一點M,OM1的概率P=(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,答案: (1)A(2)B,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考如何把看似與幾何概型無關(guān)的知識轉(zhuǎn)化成與幾何概型有關(guān)的問題? 解題心得處理幾何概型與非幾何知識的綜合問題的關(guān)鍵是,通過轉(zhuǎn)化,將某一事件所包含的基本事件用“長度”“角度”“面積”“體積”等表示出來.如把這兩個變量分別作為一個點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個區(qū)域,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為面積的度量來解決.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓(xùn)練5(1)(2017河北武邑中學(xué)一模,理10)在區(qū)間-,內(nèi)隨機(jī)取兩個數(shù)分別記為a,b,則函數(shù)f(x)=x2+2ax-b2+2有零點的概率為() (2)任取k-1,1,直線l:y=kx+3與圓C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點,則|MN|2 的概率為 (),答案: (1)B(2)A 解析: (1)f(x)有零點,則=4a2-4(-b2+2)0,即a2+b22,以a為橫軸,b為縱軸,則(a,b)構(gòu)成以原點為中心,邊長為2的正方形(邊與坐標(biāo)軸平行),面積為S=(2)2=42,滿足a2+b2<2的區(qū)域是圓面,面積為S=2,因此所求概率為,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,例8從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個數(shù)x1,x2,xn,y1,y2,yn,構(gòu)成n個數(shù)對(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個,則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,思考依據(jù)題意如何用隨機(jī)模擬的方法求圓周率的近似值? 解題心得將看作未知數(shù)表示出四分之一的圓面積,根據(jù)幾何概型的概率公式,四分之一的圓面積與矩形面積之比等于m與n之比,從而用m,n表示出的近似值.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,對點訓(xùn)練6 如圖所示,矩形的長為6,寬為4,在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300粒黃豆,數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96粒,以此試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計橢圓的面積為() A.7.68 B.8.68C.16.32D.17.32,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,1.古典概型計算三步曲: 第一,判斷試驗是不是等可能的;第二,本試驗的基本事件有多少個;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少個. 2.確定古典概型基本事件的方法: (1)當(dāng)基本事件總數(shù)較少時,可列舉計算; (2)利用計數(shù)原理、排列與組合求基本事件的個數(shù). 3.轉(zhuǎn)化思想在幾何概型中的應(yīng)用: 很多幾何概型往往要通過一定的手段才能轉(zhuǎn)化到幾何度量值的計算上來,在解決問題時,要善于根據(jù)問題的具體情況進(jìn)行轉(zhuǎn)化,這種轉(zhuǎn)化策略是解決幾何概型試題的關(guān)鍵.如建立坐標(biāo)系將試驗結(jié)果和點對應(yīng),利用幾何概型概率公式計算.,考點1,考點2,考點3,考點4,考點5,考點6,1.古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性,一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包含的基本事件個數(shù)時,它們是不是等可能的. 2.解決幾何概型問題時,有兩點容易造成失分: (1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型; (2)利用幾何概型的概率公式時,忽視事件是否等可能.,