12.5離散型隨機變量的均值與方差,知識梳理,考點自測,1.離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為P(X=xi)=pi,i=1,2,n. (1)均值:稱E(X)=為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,標(biāo)準(zhǔn)差,2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX+b)=; (2)E(+)=E+E; (3)D(aX+b)=.,aE(X)+b,a2D(X),3.兩點分布與二項分布的均值與方差 (1)若X服從兩點分布,則E(X)=,D(X)=. (2)若XB(n,p),則E(X)= ,D(X)=.,知識梳理,考點自測,p,p(1-p),np,np(1-p),知識梳理,考點自測,1.如果X1,X2相互獨立,那么E(X1X2)=EX1EX2. 2.均值與方差的關(guān)系:DX=EX2-E2X. 3.超幾何分布的均值:若X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則EX=,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無關(guān).() (2)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機變量的情況,因此它們是一回事.() (3)隨機變量的均值是常數(shù),樣本的平均值是隨機變量,它不確定.() (4)隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小.() (5)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布,參數(shù)是正態(tài)分布的均值,是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.(),答案,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,2.拋擲兩個骰子,至少有一個4點或5點出現(xiàn)時,就說這次試驗成功,則在10次試驗中,成功次數(shù)X的均值是 (),答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,答案,解析,3.(2017浙江,8)已知隨機變量滿足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2),知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,4.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1 000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補種2粒,補種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為() A.100B.200C.300D.400,答案,解析,知識梳理,考點自測,2,3,4,1,5,5.(2017全國,理13)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù),則D(X)=.,答案,解析,考點1,考點2,考點3,例1某新建公司規(guī)定,招聘的職工須參加不小于80小時的某種技能培訓(xùn)才能上班.公司人事部門在招聘的職工中隨機抽取200名參加這種技能培訓(xùn)的數(shù)據(jù),按時間段75,80),80,85),85,90),90,95), 95,100(單位:小時)進(jìn)行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如圖所示.,考點1,考點2,考點3,(1)求抽取的200名職工中,參加這種技能培訓(xùn)時間不少于90小時的人數(shù),并估計從招聘職工中任意選取一人,其參加這種技能培訓(xùn)時間不少于90小時的概率; (2)從招聘職工(人數(shù)很多)中任意選取3人,記X為這3名職工中參加這種技能培訓(xùn)時間不少于90小時的人數(shù),試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X).,解: (1)依題意,培訓(xùn)時間在90,95)小時的人數(shù)為2000.065=60, 在95,100)小時的人數(shù)為2000.025=20,故滿足題意的概率估計為,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考如何簡便地求二項分布的隨機變量X的均值與方差? 解題心得求隨機變量X的均值與方差時,可首先分析X是否服從二項分布,如果XB(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大減少計算量.,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練1某商場舉行有獎促銷活動,顧客購買一定金額的商品后即可抽獎,每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中,各隨機摸出1個球,在摸出的2個球中,若都是紅球,則獲一等獎;若只有1個紅球,則獲二等獎;若沒有紅球,則不獲獎. (1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率; (2)若某顧客有3次抽獎機會,記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,例2(2017江西吉安檢測,理17)近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機地對入院的50人進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表:,考點1,考點2,考點3,已知在全部50人中隨機抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率為 (1)請將上面的列聯(lián)表補充完整; (2)是否有99.5%的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān),說明你的理由;,(3)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病.現(xiàn)在從患心肺疾病的10位女性中,選出3名進(jìn)行其他方面的排查,記選出患胃病的女性人數(shù)為,求的分布列、數(shù)學(xué)期望以及方差. 下面的臨界值表供參考:,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,解題心得1.求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟: (1)理解X的意義,寫出X的全部可能取值. (2)求X取每個值的概率. (3)寫出X的分布列. (4)由均值的定義求E(X). (5)由方差的定義求D(X). 2.注意性質(zhì)的應(yīng)用:若隨機變量X的均值為E(X),則對應(yīng)隨機變量aX+b的均值是aE(X)+b,方差為a2D(X).,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練2某大學(xué)對參加了“世博會”的該校志愿者實施“社會教育實踐”學(xué)分考核,因該批志愿者表現(xiàn)良好,該大學(xué)決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個等次,若某志愿者考核為合格,授予0.5個學(xué)分;考核為優(yōu)秀,授予1個學(xué)分.假設(shè)該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為 ,他們考核所得的等次相互獨立. (1)求在這次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率; (2)記這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為隨機變量,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望E().,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,例3某公司計劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進(jìn)機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:,考點1,考點2,考點3,以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù). (1)求X的分布列; (2)若要求P(Xn)0.5,確定n的最小值; (3)以購買易損零件所需費用的均值為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選用哪個?,考點1,考點2,考點3,解: (1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2. 從而P(X=16)=0.20.2=0.04; P(X=17)=20.20.4=0.16; P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.24; P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24; P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2; P(X=21)=20.20.2=0.08; P(X=22)=0.20.2=0.04. 所以X的分布列為,考點1,考點2,考點3,(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺機器在購買易損零件上所需的費用(單位:元). 當(dāng)n=19時, E(Y)=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4 040. 當(dāng)n=20時, E(Y)=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4 080. 可知當(dāng)n=19時所需費用的均值小于n=20時所需費用的均值,故應(yīng)選n=19.,考點1,考點2,考點3,思考如何利用均值與方差對生活中相關(guān)問題進(jìn)行決策? 解題心得利用均值、方差進(jìn)行決策的方法:均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”,因此,當(dāng)均值不同時,兩個隨機變量取值的水平可見分曉,由此可對實際問題作出決策判斷;若兩個隨機變量均值相同或相差不大,則可通過分析兩個變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小,進(jìn)而進(jìn)行決策.,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練3 “十一黃金周”期間,某市再次迎來了客流高峰,小李從該市的A地到B地有L1,L2兩條路線(如圖),L1路線上有A1,A2,A3三個路口,各路口 (1)若走L1路線,求最多遇到1次堵塞的概率; (2)按照“平均遇到堵塞次數(shù)最少”的要求,請你幫助小李從上述兩條路線中選擇一條最好的出行路線,并說明理由.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,1.求某事件發(fā)生的概率,首先理解題意,分清概率模型,恰當(dāng)選擇概率計算公式. 2.求隨機變量的均值、方差的基本方法: (1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接按定義(公式)求解; (2)已知隨機變量X的均值、方差,求X的線性函數(shù)Y=aX+b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,可直接用均值、方差的性質(zhì)求解; (3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如二項分布),可直接利用它們的均值、方差公式求解.,考點1,考點2,考點3,3.利用均值與方差解決實際問題的步驟: (1)對實際問題進(jìn)行具體分析,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,并將問題中的隨機變量設(shè)出來. (2)依據(jù)隨機變量取每一個值時所表示的具體事件,求出其相應(yīng)的概率. (3)依據(jù)期望與方差的定義、公式求出相應(yīng)的期望與方差值. (4)依據(jù)期望與方差的意義對實際問題作出決策或給出合理的解釋. 4.隨機變量的均值與樣本的平均值的關(guān)系:隨機變量的均值是一個常數(shù),它不依賴于樣本的抽取,而樣本平均值是一個隨機變量,它隨樣本抽取的不同而變化.對于簡單隨機抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本平均值越來越接近于總體的均值.,