4-3 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2011·大綱全國卷理，5)設(shè)函數(shù)f(x)cosx(>0)，將yf(x)的圖象向右平移個單位長度后，所得的圖象與原圖象重合，則的最小值等于()A.B3C6 D9答案C解析由題意知，·k(kZ)，6k，令k1，6.2(文)(2011·海淀模擬)函數(shù)f(x)sin(2x)圖象的對稱軸方程可以為()Ax BxCx Dx答案A解析令2xk得x，kZ，令k0得x，故選A.點評f(x)sin(2x)的圖象的對稱軸過最高點將選項代入檢驗，2×，選A.(理)(2011·衡水質(zhì)檢)函數(shù)y3cos(x)2的圖象關(guān)于直線x對稱，則的可能取值是()A. BC. D.答案A解析ycosx的對稱軸為xk(kZ)，xk，即xk，令k得k(kZ)，顯然在四個選項中，只有滿足題意故正確答案為A.3(文)(2011·唐山模擬)函數(shù)ysin(2x)的一個遞減區(qū)間為()A(，) B(，)C(，) D(，)答案A解析由2k2x2k得，kxk(kZ)，令k0得，x，故選A.(理)(2010·安徽巢湖質(zhì)檢)函數(shù)f(x)sin(>0)的最小正周期為，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)答案C解析由條件知，T，2，由2k2x2k，kZ得，kxk，kZ，故選C.4(文)(2011·湖南張家界月考)若函數(shù)f(x)(1tanx) cosx,0x<，則f(x)的最大值為()A1 B2C.1 D.2答案B解析f(x)(1tanx)cosxcosxsinx2sin，0x<，x<，sin1，f(x)的最大值為2.(理)(2011·大連模擬)已知函數(shù)f(x)2sinx(>0)在區(qū)間，上的最小值是2，則的最小值為()A. B.C2 D3答案B解析f(x)2sinx(>0)在區(qū)間，上的最小值為2，即，即的最小值為.5(文)(2011·吉林一中月考)函數(shù)ysin(x)(xR，>0,0<2)的部分圖象如圖，則()A，B，C，D，答案C解析312，T8，.令×1，得，選C.(理)(2011·北京海淀期中)如果存在正整數(shù)和實數(shù)，使得函數(shù)f(x)cos2(x)的圖象如圖所示(圖象經(jīng)過點(1,0)，那么的值為()A1B2C3D4答案B解析f(x)cos(2x2)，由圖可知<1<T，<T<2，<<2，<<，又N*，2.故選B.6(文)(2011·課標全國文，11)設(shè)函數(shù)f(x)sin(2x)cos(2x)，則()Ayf(x)在(0，)單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x對稱Byf(x)在(0，)單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線x對稱Cyf(x)在(0，)單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x對稱Dyf(x)在(0，)單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x對稱答案D解析f(x)sincossincos2x.則函數(shù)在單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線x對稱(理)(2011·河南五校聯(lián)考)給出下列命題：函數(shù)ycos(x)是奇函數(shù)；存在實數(shù)，使得sincos；若、是第一象限角且<，則tan<tan；x是函數(shù)ysin(2x)的一條對稱軸方程；函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于點(，0)成中心對稱圖形其中正確命題的序號為()A BC D答案C解析ycos(x)ysinx是奇函數(shù)；由sincossin()的最大值為<，所以不存在實數(shù)，使得sincos；，是第一象限角且<.例如：45°<30°360°，但tan45°>tan(30°360°)，即tan<tan不成立；把x代入ysin(2x)得ysin1，所以x是函數(shù)ysin(2x)的一條對稱軸；把x代入ysin(2x)得ysin1，所以點(，0)不是函數(shù)ysin(2x)的對稱中心綜上所述，只有正確點評作為選擇題，判斷成立后排除B、D，再判斷(或)即可下結(jié)論7(文)函數(shù)ycosx的定義域為a，b，值域為，1，則ba的最小值為_答案解析cosx時，x2k或x2k，kZ，cosx1時，x2k，kZ.由圖象觀察知，ba的最小值為.(理)(2011·江蘇南通一模)函數(shù)f(x)sinxcosx(xR)，又f()2，f()0，且|的最小值等于，則正數(shù)的值為_答案1解析f(x)sinxcosx2sin(x)，由f()2，f()0，且|的最小值等于可知，T2，所以1.8(2011·安徽百校論壇聯(lián)考)已知f(x)2sinm在x0，上有兩個不同的零點，則m的取值范圍是_答案1,2)解析f(x)在0，上有兩個不同零點，即方程f(x)0在0，上有兩個不同實數(shù)解，y2sin，x0，與ym有兩個不同交點，1m<2.9(文)(2011·福建質(zhì)檢)已知將函數(shù)f(x)2sinx的圖象向左平移1個單位長度，然后向上平移2個單位長度后得到的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，則函數(shù)g(x)_.答案2sinx2解析將f(x)2sinx的圖象向左平移1個單位長度后得到y(tǒng)2sin(x1)的圖象，向上平移2個單位長度后得到y(tǒng)2sin(x1)2的圖象，又因為其與函數(shù)yg(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱，所以yg(x)2sin(2x1)22sin(x)22sinx2.(理)(2011·濟南調(diào)研)設(shè)函數(shù)y2sin(2x)的圖象關(guān)于點P(x0,0)成中心對稱，若x0，0，則x0_.答案解析函數(shù)y2sin(2x)的對稱中心是函數(shù)圖象與x軸的交點，2sin(2x0)0，x0，0x0.10(文)(2011·北京文，15)已知函數(shù)f(x)4cosxsin(x)1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間，上的最大值和最小值解析(1)因為f(x)4cosxsin(x)14cosx(sinxcosx)1sin2x2cos2x1sin2xcos2x2sin(2x)所以f(x)的最小正周期為.(2)因為x，所以2x.于是，當2x，即x時，f(x)取得最大值2；當2x，即x時，f(x)取得最小值1.(理)(2011·天津南開中學月考)已知a(sinx，cosx)，b(cosx，cosx)，函數(shù)f(x)a·b.(1)求f(x)的最小正周期，并求其圖象對稱中心的坐標；(2)當0x時，求函數(shù)f(x)的值域解析(1)f(x)sinxcosxcos2xsin2x(cos2x1)sin2xcos2xsin(2x)，所以f(x)的最小正周期為.令sin(2x)0，得2xk，x，kZ.故所求對稱中心的坐標為(，0)(kZ)(2)0x，2x.sin(2x)1，即f(x)的值域為，1.11.(文)(2011·蘇州模擬)函數(shù)ysinx·|(0<x<)的圖象大致是()答案B解析ysinx·|.(理)(2011·遼寧文，12)已知函數(shù)f(x)Atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分圖像如圖，則f()()A2 B.C. D2答案B解析由圖可知：T2×()，2又圖象過點(，0)A·tan(2×)A·tan()0又圖象還過點(0,1)，Atan(2×0)A1f(x)tan(2x)f()tan(2×)tan()tan12(文)為了使函數(shù)ysinx(>0)在區(qū)間0,1上至少出現(xiàn)50次最大值，則的最小值是()A98 B.C. D100答案B解析由題意至少出現(xiàn)50次最大值即至少需用49個周期，49·T·1，故選B.(理)有一種波，其波形為函數(shù)ysin的圖象，若在區(qū)間0，t(t>0)上至少有2個波峰(圖象的最高點)，則正整數(shù)t的最小值是()A3B4C5D6答案C解析ysin的圖象在0，t上至少有2個波峰，函數(shù)ysin的周期T4，tT5，故選C.13(文)(2011·南昌調(diào)研)設(shè)函數(shù)ysin(x)(>0，(，)的最小正周期為，且其圖象關(guān)于直線x對稱，則在下面四個結(jié)論中：圖象關(guān)于點(，0)對稱；圖象關(guān)于點(，0)對稱；在0，上是增函數(shù)；在，0上是增函數(shù)中，所有正確結(jié)論的編號為_答案解析由最小正周期為得，2；再由圖象關(guān)于直線x對稱，2×，f(x)sin(2x)，當x時，f()0，故錯；當x時，f ()0，故正確；由2k2x2k(kZ)得，kxk，令k0得，x，故錯，正確，正確結(jié)論為.(理)(2011·南京模擬)已知函數(shù)f(x)xsinx，現(xiàn)有下列命題：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；函數(shù)f(x)的最小正周期是2；點(，0)是函數(shù)f(x)的圖象的一個對稱中心；函數(shù)f(x)在區(qū)間0，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，0上單調(diào)遞減其中真命題是_(寫出所有真命題的序號)答案解析yx與ysinx均為奇函數(shù)，f(x)為偶函數(shù)，故真；f()，f(2)2，假；f()，f()，2，()0，假；設(shè)0x1<x2，則·<1，f(x1)<f(x2)(f(x2)>0)，f(x)在0，上為增函數(shù)，又f(x)為偶函數(shù)，f(x)在，0上為減函數(shù)，真14(文)(2011·長沙一中月考)已知f(x)sinxsin(x)(1)若0，且sin2，求f()的值；(2)若x0，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間解析(1)由題設(shè)知f()sincos.sin22sin·cos>0，0，(0，)，sincos>0.由(sincos)212sin·cos，得sincos，f().(2)由(1)知f(x)sin(x)，又0x，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，(理)在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，向量m(b,2ac)，n(cosB，cosC)，且mn.(1)求角B的大小；(2)設(shè)f(x)cossinx(>0)，且f(x)的最小正周期為，求f(x)在區(qū)間0，上的最大值和最小值解析(1)由mn得，bcosC(2ac)cosB，bcosCccosB2acosB.由正弦定理得，sinBcosCsinCcosB2sinAcosB，即sin(BC)2sinAcosB.又BCA，sinA2sinAcosB.又sinA0，cosB.又B(0，)，B.(2)由題知f(x)cos(x)sinxcosxsinxsin(x)，由已知得，2，f(x)sin(2x)，當x0，時，(2x)，sin(2x)，1因此，當2x，即x時，f(x)取得最大值.當2x，即x時，f(x)取得最小值.15(文)(2011·福建四地六校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)12sinxcosx2cos2x.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求f(x)圖象上與原點最近的對稱中心的坐標；(3)若角，的終邊不共線，且f()f()，求tan()的值解析f(x)sin2xcos2x2sin(2x)，(1)由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為k，k(kZ)，(2)由sin(2x)0得2xk(kZ)，即x(kZ)，f(x)圖象上與原點最近的對稱中心坐標是(，0)(3)由f()f()得：2sin(2)2sin(2)，又角與的終邊不共線，(2)(2)2k(kZ)，即k(kZ)，tan().(理)(2011·浙江文，18)已知函數(shù)f(x)Asin(x)，xR，A>0,0<<.yf(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)(1)求f(x)的最小正周期及的值；(2)若點R的坐標為(1,0)，PRQ，求A的值解析(1)由題意得，T6因為P(1，A)在yAsin(x)的圖象上，所以sin()1.又因為0<<，所以(2)設(shè)點Q的坐標為(x0，A)由題意可知x0，得x04所以Q(4，A)連接PQ，在PRQ中，PRQ，由余弦定理得cosPRQ，解得A23又A>0，所以A.16函數(shù)f(x)2acos2xbsinxcosx滿足：f(0)2，f().(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；(2)若、(0，)，f()f()，且，求tan()的值解析(1)由得，解得a1，b2，f(x)sin2xcos2x1sin(2x)1，1sin(2x)1，f(x)max1，f(x)min1.(2)由f()f()得，sin(2)sin(2)2、2(，)，且，2 (2)或23(2)，或，故tan()1.1(2011·濟南模擬)函數(shù)f(x)2cos2xsin2x(xR)的最小正周期和最大值分別為 ()A2，3 B2，1C，3 D，1答案C解析由題可知，f(x)2cos2xsin2xcos2xsin2x12sin(2x)1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T，最大值為3，故選C.2(2011·江門模擬)設(shè)f(x)是定義域為R，最小正周期為的函數(shù)，若在區(qū)間，上f(x)則f()等于()A1 B.C0 D答案B解析函數(shù)f(x)的最小正周期為，f()f(3×)f()sin.3(2011·湖北文，6)已知函數(shù)f(x)sinxcosx，xR.若f(x)1，則x的取值范圍為()Ax|2kx2k，kZBx|kxk，kZCx|2kx2k，kZDx|kxk，kZ答案A解析f(x)sinxcosx2sin(x)1，即sin(x)，2kx2k，即2kx2k.4(2011·北京大興區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)sin圖象上相鄰的一個最大值點與一個最小值點恰好都在圓x2y2R2上，則f(x)的最小正周期為()A1B2C3D4答案D解析f(x)的周期T2R，f(x)的最大值是，結(jié)合圖形分析知R>，則2R>2>3，只有2R4這一種可能，故選D.5.(2011·北京西城模擬)函數(shù)ysin(x)(>0)的部分圖象如圖所示，設(shè)P是圖象的最高點，A，B是圖象與x軸的交點，則tanAPB()A10 B8C. D.答案B分析利用正弦函數(shù)的周期、最值等性質(zhì)求解解析如圖，過P作PCx軸，垂足為C，設(shè)APC，BPC，APB，ysin(x)，T2，tan，tan，則tan()8，選B.6(2010·合肥質(zhì)檢)對任意x1，x2，x2>x1，y1，y2，則()Ay1y2By1>y2Cy1<y2Dy1，y2的大小關(guān)系不能確定答案B解析取函數(shù)y1sinx，則的幾何意義為過原點及點(x1,1sinx1)的直線斜率，的幾何意義為過原點及點(x2,1sinx2)的直線斜率，由x1<x2，觀察函數(shù)y1sinx的圖象可得y1>y2.選B.7(2010·福建莆田市質(zhì)檢)某同學利用描點法畫函數(shù)yAsin(x)(其中A>0,0<<2，<<)的圖象，列出的部分數(shù)據(jù)如下表：x01234y10112經(jīng)檢查，發(fā)現(xiàn)表格中恰有一組數(shù)據(jù)計算錯誤，請你根據(jù)上述信息推斷函數(shù)yAsin(x)的解析式應是_答案y2sin解析(0,1)和(2,1)關(guān)于直線x1對稱，故x1與函數(shù)圖象的交點應是最高點或最低點，故數(shù)據(jù)(1,0)錯誤，從而由(4，2)在圖象上知A2，由過(0,1)點知2sin1，<<，y2sin，再將點(2,1)代入得，2sin1，22k或22k，kZ，0<<2，解析式為y2sin.8(2011·菏澤模擬)對于函數(shù)f(x)，給出下列四個命題：該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；當且僅當xk(kZ)時，該函數(shù)取得最小值是1；該函數(shù)的圖象關(guān)于直線x2k(kZ)對稱；當且僅當2k<x<2k(kZ)時，0<f(x).其中正確命題的序號是_(請將所有正確命題的序號都填上)答案解析畫出函數(shù)f(x)的圖象，易知正確9已知函數(shù)f(x)sin(2x)2sin2(x)(xR)(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合解析(1)f(x)sin(2x)1cos2(x)212sin(2x)1.所以最小正周期為T.(2)當f(x)取最大值時，只要sin(2x)1，得出xk(kZ)，x值的集合為x|xk，kZ點評差異分析是解答數(shù)學問題的有效方法諸如：化復雜為簡單，異角化同角，異名化同名，高次化低次，化為一個角的同名三角函數(shù)的形式等等 - 19 -