新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí),第九單元 直線、平面、簡單幾何體和空間向量,知識體系,1.空間幾何體. (1)認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu). (2)能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓錐、棱柱等簡易組合）的三視圖,能識別上述的三視圖所表示的立體模型,會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖.,(3)會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式. (4)會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）. (5)了解球、柱、錐、臺的表面積和體積的計(jì)算公式（不要求記憶公式）. 2.點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系. (1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.,公理：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi). 公理：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面. 公理：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么他們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線. 公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.,定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ). (2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定. 理解以下判定定理: 如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行. 如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.,如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直. 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直. 理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明. 如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行. 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線相互平行.,垂直于同一個平面的兩條直線平行. 如果兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)垂直于他們交線的直線與另一個平面垂直. (3)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題. 3.空間直角坐標(biāo)系. (1)了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置. (2)會推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式.,4.空間向量與立體幾何. (1)空間向量及其運(yùn)算. 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示. 掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示. 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直. (2)空間向量的應(yīng)用. 理解直線的方向向量與平面的法向量.,能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系. 能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）. 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題,了解向量方法在研究幾何問題中的作用.,第59講,空間幾何體的三視圖與直觀圖、表面積和體積,1.了解柱、錐、臺、球的概念、性質(zhì)及他們之間的關(guān)系，能識別柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征； 2.能識別各種簡單幾何體和簡單組合體的三視圖，并會用斜二測畫法畫出他們的直觀圖.能進(jìn)行三視圖與直觀圖的相互轉(zhuǎn)化. 3.了解柱、錐、臺、球的表面積和體積的計(jì)算公式，并能運(yùn)用這些公式解決相關(guān)問題.,1.下列說法中正確的是( ),D,A.有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱 B.用一個平面去截一個圓錐，可以得到一個圓臺和一個圓錐 C.有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐 D.將一個直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，所得圓錐的母線長等于斜邊長,由棱柱、圓錐、棱錐的定義知，A、B、C不正確，故選D.,2.已知正三角形ABC的邊長為a,那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為( ),D,A. a2 B. A2 C. a2 D. a2,如圖，圖、圖所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖.,從圖可知，AB=AB=a, OC= OC= a, 所以CD=OCsin45= a， 所以SABC= ABCD = a a= a2, 故選D.,3.某幾何體的直觀圖如圖所示,該幾何體的主(正)視圖和左(側(cè))視圖都正確的是( ),B,A. B. C. D.,主視圖應(yīng)有一條實(shí)對角線,且對角線應(yīng)向上到下,左視時,看到一個矩形,且不能有實(shí)對角線,故淘汰A、D，故選B.,4.如圖是一個空間幾何體的三視圖，若它的體積是3 ，則a= .,由三視圖可知幾何體為一個直三棱柱,底面三角形中,邊長為2的邊上的高為a, 則V=3 2a=3 ，所以a= .,1.柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征,S底h,S底h,2(R2+Rh,R2h,R2+R,R2h,4R2,R3,2.三視圖與直觀圖 (1)我們把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影，叫做 ;在一束平行光照射下形成的投影，叫做 .在平行投影中，投影線正對著投影面時，叫做正投影，否則叫做斜投影. (2)空間幾何體的三視圖:光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖叫做幾何體的 ; 光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖叫做幾何體的 ; 光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖叫做幾何體的 .,中心投影,平行投影,正視圖,側(cè)視圖,俯視圖,(3)畫三視圖的基本要求是 . 高度一樣, 長度一樣, . 寬度一樣. (4)斜二測畫法的規(guī)則 在已知圖中建立直角坐標(biāo)系xOy，畫直觀圖時，它們分別對應(yīng)x軸和y軸，兩軸交于點(diǎn)O，使xOy45，它們確定的平面表示水平面.,正視圖和側(cè)視圖,俯視圖和正視圖,圖和俯視圖,側(cè)視,已知圖形中平行于x軸或y軸的線段在直觀圖中分別畫成 . 已知圖形中平行于x軸的線段的長度，在直觀圖中 ;平行與y軸的線段的長度,在直觀圖中,長度為 .,平行于x軸或y軸,長度不變,原來的一半,題型一 三視圖與直觀圖,例1,一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( ),A.2+2 B.4+2 C.2+ D.4+,C,本例題型的切入點(diǎn)和基本策略是將三視圖還原成空間幾何體，必要時作出直觀圖.,該空間幾何體為一個圓柱和一個正四棱錐構(gòu)成的組合體. 圓柱的底面半徑為1,高為2,故其體積為2. 四棱錐的底面邊長為 ，高為 ， 所以其體積為 ( )2 = . 所以該幾何體的體積為2+ .選C,1.三視圖是新課標(biāo)中新增的內(nèi)容，要求是能畫，能識別，能應(yīng)用.經(jīng)常與立體幾何中有關(guān)的計(jì)算問題融合在一起考查，如面積、體積的計(jì)算，考查學(xué)生的空間想象能力，因此我們應(yīng)對常見的簡單幾何體的三視圖有所理解，能夠進(jìn)行識別和判斷. 2.注意三視圖的特點(diǎn)：“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長，俯、側(cè)一樣寬”. 3.空間想象能力與多觀察實(shí)物相結(jié)合是解決此類問題的關(guān)鍵.,已知一幾何體ABCDABCD的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別為圖中的所示.圖中的四邊形DCCD是面積為80的矩形;圖中的四邊形ABCD是一直角梯形，AB=2AD且BC=CD；且原圖中CC=2BC. 請你畫出該幾何 體的直觀圖(畫 圖時、尺寸比例 不做嚴(yán)格要求)， 并求該幾何體的 體積.,該幾何體的直觀圖如下圖所示的圖. 設(shè)AD=x,BC=y. 由圖得(2x)2+(y-x)2=y2, 所以2y=5x. 又由圖可知2x2y=80. 由得x=2 ,所以AB=4 , 所以BC=y= x=5 ,CC=10 . 故該幾何體的體積 V=S梯形ABCDCC= ABCC=280 .,空間想象力與多觀察實(shí)物相結(jié)合是解決此類題的關(guān)鍵.,題型二 簡單幾何體的體積與表面積,例2,如圖是一個以A1B1C1為底面的直三棱柱被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC，已知A1B1=B1C1=2，A1B1C1=90，AA1=4，BB1=3，CC1=2，求該幾何體的體積及截面ABC的面積.,過C作平行于底面A1B1C1的截面A2B2C2,將該幾何體分割為柱和錐或?qū)⑵溥€原為直棱柱，然后計(jì)算其體積.,(方法一)過C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1、BB1于A2、B2. 由直三棱柱性質(zhì)可知中B2C平面ABB2A2, 則V=V柱A1B1C1-A2B2C+V錐C-ABB2A2 = 222+ (1+2)22 =6.,(方法二)延長BB1、CC1到B3、C3，使得BB1=CC3=AA1. 則V=V柱A1B1C1-AB3C3-V錐A-BB3C3C = 224- (1+2)22 =6. 在ABC中,AB= = ， BC= = ， AC= =2 . 則SABC= 2 = .,處理不規(guī)則幾何體的體積時，或?qū)⑵浞指钪?、錐、臺或?qū)⒀a(bǔ)體為柱、錐、臺，然后計(jì)算其體積.,題型三 簡單組合體問題,例3,有一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為5，圓心角為 的扇形，在這個圓錐中內(nèi)接一個高為x的圓柱. (1)求圓錐的體積； (2)當(dāng)x為何值時,圓柱的側(cè)面積最大?,由圓錐的側(cè)面展開圖，圓心角與半徑的關(guān)系可求圓錐的母線長，底面半徑和高.內(nèi)接圓柱的側(cè)面積是高x的函數(shù)，再用代數(shù)方法求最值.,(1)因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖的半徑為5,所以圓錐的母線長為5.設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2r=5 ,所以r=3,則圓錐的高為4,故體積V= r24=12.,(2)右圖為軸截面圖，這個圖為等腰三角形中內(nèi)接一個矩形. 設(shè)圓柱的底面半徑為y, 則 = ，得y=3- x. 圓柱的側(cè)面積 S(x)=2(3- x)x = (4x-x2)= 4-(x-2)2(0 x4). 當(dāng)x=2時，S(x)有最大值6. 所以當(dāng)圓柱的高為2時，有最大側(cè)面積6.,旋轉(zhuǎn)體的接、切問題?？紤]其相應(yīng)軸截面內(nèi)的接、切情況，實(shí)際是把空間圖形平面化.,一球與邊長為2的正方體的各棱相切,則球的表面積是 ,體積是 .,正方體相對棱之間的距離為球的直徑2R. 則有2R=2 ,所以R= , 所以S球=4R2=8,V球= R3= .,8,如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為a的正三角形，側(cè)棱長也為a,且A1AB=A1AC=60. (1)證明:三棱錐A1-ABC是正三棱錐； (2)證明:三棱柱的側(cè)面BCC1B1是矩形； (3)求棱柱的側(cè)面積.,有關(guān)幾何圖形的證明，應(yīng)緊扣其定義和已知進(jìn)行探索.,(1)證明:因?yàn)锳1AC=A1AB=60, 又因?yàn)锳1A=AC=AB=a,所以A1B=A1C=a, 故A1-ABC是棱長為a的正四面體， 所以A1-ABC是正三棱錐.,(2)證明：設(shè)頂點(diǎn)A1在底面ABC的射影為O，連接AO并延長與BC相交于點(diǎn)D. 因?yàn)锳DBC,且AD是AA1在底面ABC的射影，所以AA1BC.又因?yàn)锳A1CC1,所以CC1BC,故平行四邊形BCC1B1是矩形. (3)S側(cè)=S ACC1A1+S ABB1A1+S矩形BCC1B1 =2a2sin60+aa=(1+ )a2.,由于給出的棱柱不是正棱柱,所以在求側(cè)面積時,應(yīng)對每一個側(cè)面的面積分別進(jìn)行計(jì)算.本題的易錯點(diǎn)是對側(cè)面形狀判斷出錯.,1.充分熟記柱、錐、臺、球的概念及其結(jié)構(gòu)特征，并能善于運(yùn)用這些特征描述簡單物體的結(jié)構(gòu). 2.三視圖的識別規(guī)則是：“正、側(cè)同高,正、俯同長,俯、側(cè)同寬”. 3.要用聯(lián)系的觀點(diǎn)來認(rèn)識柱、錐、臺、球的性質(zhì)，在給出相關(guān)體積、表面積公式的前提下能準(zhǔn)確計(jì)算其體積和表面積. 4.將空間問題轉(zhuǎn)化化歸為平面圖形問題是解決立體幾何問題的最基本、最常用的方法.,(2007江蘇卷)將正三棱柱截去三個角(如圖1所示，A、B、C分別是GHI三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖(或稱左視圖)為( ),因?yàn)镋FD-HIG是正三棱錐，且AE在平面EG中，所以在側(cè)視圖(左視圖)中,AE應(yīng)為豎直的，選A.,(2009遼寧卷)設(shè)某幾何體的三視圖如下（長度單位為m): 則該幾何體的體積為 m3.,4,由三視圖可知原幾何體是一個三棱錐(其直觀圖如右),且該三棱錐高為2,底面三角形一邊為4,且該邊上的高為3,故該幾何體體積V=16243=4.,本節(jié)完，謝謝聆聽,立足教育，開創(chuàng)未來,