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1、,,,空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示,共線向量定理:,復(fù)習(xí)：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示,問題：,我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量 都可以用兩個不共線的向量 來表示（平面向量基本定理）.對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？,一、空間向量的坐標(biāo)分解,給定一個空間坐標(biāo)系和向量 且設(shè) 為空間兩兩垂直的向量，設(shè)點Q為點P在 所確定平面上的正投影.,一、空間向量的坐標(biāo)分解,由此可知,如果 是空間兩兩垂直的向量,那么,對空間任一向量 , 存在一個有序?qū)崝?shù)組 x,y,z使得 我們稱 為向量 在 上的分向量.,空間向量基本定理

2、：,都叫做基向量,注:,探究：在空間中,如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量 ,你能得出類似的 結(jié)論嗎？,如果三個向量 不共面,那么對空間任一向量 , 存在有序?qū)崝?shù)組 ,使,（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底.,特別提示：對于基底a,b,c,除了應(yīng)知道a,b,c不共面，還應(yīng)明確：,（2 ） 由于可視 為與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面,所以三個向量不共面,就隱含著它們都不是 .,（3）一個基底是指一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關(guān)連的不同概念.,二、空間直角坐標(biāo)系,,,,x,y,z,e1,,,,,,,

3、,e2,,e3,O,單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用 表示.,空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底 ,以點O為原點，分別以 的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立一個空間直角坐標(biāo)系O--xyz,,,,,,,,,,x,y,z,O,P(x,y,z),e1,e2,e3,,,,,,,在空間直角坐標(biāo)系O--xyz中，對空間任一向量 ,平移使其起點與原點o重合,得到向量 由空間向量基本定理可知,存在有序?qū)崝?shù)組 ,使,顯然, 向量 的坐標(biāo)，就是點P在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(x,y,z).,,,,,,

4、,,,,x,y,z,O,P(x,y,z),,,,也就是說,以O(shè)為起點的有 向線段 (向量)的坐標(biāo)可以 和終點的坐標(biāo)建立起一一 對應(yīng)的關(guān)系,從而互相轉(zhuǎn)化.,e1,,e2,e3,,,一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo).,思考：設(shè)A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),,練習(xí)1 如圖在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中， 取D點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，O、M、P、Q 分別是AC、DD1、CC1、A1B1的中點，寫出下列向 量的坐標(biāo).,,,例題講解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,15,練習(xí)3,探究：向量運算的坐標(biāo)表示,x1x2y1y2z1z2 0,若點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2),(x2x1，y2y1，z2z1)，,,,,如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中， 點E、F分別是A1B1，C1D1的一個四等分點， 求異面直線BE與DF所成角的余弦值.,,例題講解,如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1 中，點E、F分別是BB1，B1D1的中點， 求證：EFA1D.,,,F,例題講解,