,,,空間向量的正交分解及其坐標表示,共線向量定理:,復習：,共面向量定理:,平面向量基本定理：,平面向量的正交分解及坐標表示,問題：,我們知道，平面內的任意一個向量 都可以用兩個不共線的向量 來表示（平面向量基本定理）.對于空間任意一個向量，有沒有類似的結論呢？,一、空間向量的坐標分解,給定一個空間坐標系和向量 且設 為空間兩兩垂直的向量，設點Q為點P在 所確定平面上的正投影.,一、空間向量的坐標分解,由此可知,如果 是空間兩兩垂直的向量,那么,對空間任一向量 , 存在一個有序實數(shù)組 x,y,z使得 我們稱 為向量 在 上的分向量.,空間向量基本定理：,都叫做基向量,注:,探究：在空間中,如果用任意三個不共面向量 代替兩兩垂直的向量 ,你能得出類似的 結論嗎？,如果三個向量 不共面,那么對空間任一向量 , 存在有序實數(shù)組 ,使,（1）任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底.,特別提示：對于基底a,b,c,除了應知道a,b,c不共面，還應明確：,（2 ） 由于可視 為與任意一個非零向量共線,與任意兩個非零向量共面,所以三個向量不共面,就隱含著它們都不是 .,（3）一個基底是指一個向量組,一個基向量是指基底中的某一個向量,二者是相關連的不同概念.,二、空間直角坐標系,,,,x,y,z,e1,,,,,,,,e2,,e3,O,單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用 表示.,空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底 ,以點O為原點，分別以 的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立一個空間直角坐標系O--xyz,,,,,,,,,,x,y,z,O,P(x,y,z),e1,e2,e3,,,,,,,在空間直角坐標系O--xyz中，對空間任一向量 ,平移使其起點與原點o重合,得到向量 由空間向量基本定理可知,存在有序實數(shù)組 ,使,顯然, 向量 的坐標，就是點P在此空間直角坐標系中的坐標(x,y,z).,,,,,,,,,,x,y,z,O,P(x,y,z),,,,也就是說,以O為起點的有 向線段 (向量)的坐標可以 和終點的坐標建立起一一 對應的關系,從而互相轉化.,e1,,e2,e3,,,一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.,思考：設A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),,練習1 如圖在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中， 取D點為原點建立空間直角坐標系，O、M、P、Q 分別是AC、DD1、CC1、A1B1的中點，寫出下列向 量的坐標.,,,例題講解,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,15,練習3,探究：向量運算的坐標表示,x1x2y1y2z1z2 0,若點A(x1，y1，z1)，點B(x2，y2，z2),(x2x1，y2y1，z2z1)，,,,,如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中， 點E、F分別是A1B1，C1D1的一個四等分點， 求異面直線BE與DF所成角的余弦值.,,例題講解,如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1 中，點E、F分別是BB1，B1D1的中點， 求證：EFA1D.,,,F,例題講解,