第一節(jié)函數(shù)的概念及其表示,1.函數(shù)與映射的概念,2.函數(shù)的相關(guān)概念,3.分段函數(shù),教材研讀,考點一 函數(shù)的概念,考點二 函數(shù)的定義域,考點突破,考點三 求函數(shù)的值域,考點四 求函數(shù)的解析式,考點五 分段函數(shù),1.函數(shù)與映射的概念,教材研讀,2.函數(shù)的相關(guān)概念,3.分段函數(shù) 在定義域內(nèi)的不同部分上有著不同的解析式,像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成,但它表示的是一個函數(shù),其定義域是各段自變量取值集合的并集,值域是各段函數(shù)值集合的并集.,1.(教材習(xí)題改編)下列圖象中,表示函數(shù)關(guān)系y=f(x)的有.(只填序號),答案(1)(4),2.函數(shù)f(x)=的定義域為.,答案2,+),3.若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)=1,g(-1)=5,且圖象過原點,則g(x)的解析式為.,答案g(x)=3x2-2x,解析設(shè)g(x)=ax2+bx+c(a0), g(1)=1,g(-1)=5,且圖象過原點, 解得,g(x)=3x2-2x.,4.(教材習(xí)題改編)若函數(shù)y=x2的值域為1,4,則這樣的函數(shù)有個.,答案無數(shù),解析如y=x2,x1,2;y=x2,x1,2等,函數(shù)的定義域有無數(shù) 個,故這樣的函數(shù)有無數(shù)個.,考點一 函數(shù)的概念 典例1下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的序號是. f(x)=|x|,g(x)=; f(x)=,g(x)=()2; f(x)=,g(x)=x+1; f(x)=,g(x)=.,考點突破,答案,解析中,g(x)=|x|,f(x)=g(x). 中, f(x)=|x|(xR),g(x)=x(x0). 中, f(x)=x+1(x1),g(x)=x+1(xR). 中, f(x)=的定義域為x|x1, g(x)=的定義域為x|x1或x-1, 兩函數(shù)的定義域不同. 表示同一函數(shù)的序號是.,方法技巧 函數(shù)的值域由定義域和對應(yīng)法則唯一確定,只有定義域和對應(yīng)法則都相同的函數(shù)才是同一函數(shù).,1-1給出以下判斷: f(x)=與g(x)=表示同一個函數(shù); 函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1的交點最多有1個;, f(x)=x2-2x+1與g(t)=t2-2t+1是同一函數(shù); 若f(x)=|x-1|-|x|,則f=0. 其中正確判斷的序號是.,答案,解析對于,函數(shù)f(x)=的定義域為x|xR且x0,而函數(shù)g(x)= 的定義域是R,故錯誤. 對于,若x=1不是函數(shù)y=f(x)定義域內(nèi)的值,則直線x=1與函數(shù)y=f(x)的圖象沒有交點;若x=1是y=f(x)定義域內(nèi)的值,由函數(shù)的定義可知,直線x=1與y=f(x)的圖象只有一個交點,即函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=1最多有一個交點,正確.,對于, f(x)與g(t)的定義域、值域和對應(yīng)法則均相同,故正確.,對于,f=-=0,f=f(0)=1,故錯誤.,考點二 函數(shù)的定義域 角度一已知函數(shù)解析式,求定義域,典例2(1)(2018江蘇揚州高三調(diào)研)函數(shù)f(x)=的定義域為 . (2)(2019蘇北四市高三模擬)函數(shù)y=的定義域為.,答案(1)(-,-2(2)(0,1,解析(1)要使函數(shù)f(x)有意義, 則-40,則,x-2, 故函數(shù)f(x)的定義域為(-,-2. (2)由題意得解得0<x1,故函數(shù)的定義域為(0,1.,解析(1)要使函數(shù)f(x)有意義, 則-40,則,x-2, 故函數(shù)f(x)的定義域為(-,-2. (2)由題意得解得0<x1,故函數(shù)的定義域為(0,1.,規(guī)律總結(jié) 求函數(shù)的定義域要根據(jù)函數(shù)有意義的條件建立不等式(組),如分式的分母不為0、對數(shù)式的真數(shù)大于0、二次根式的被開方式非負(fù)等,函數(shù)的定 義域必須寫成集合或區(qū)間的形式.,角度二抽象函數(shù)的定義域 典例3(1)若函數(shù)f(x)的定義域為0,3,求函數(shù)y=f(x2-1)的定義域.,(2)已知函數(shù)f(x2-1)的定義域為0,3,求函數(shù)y=f(x)的定義域.,(3)若函數(shù)f(x)的定義域為0,3,求函數(shù)y=f(x2-1)+f(2x+1)的定義域.,解析(1)因為函數(shù)f(x)的定義域為0,3,所以對于函數(shù) f(x2-1)有0 x2-13,即1x24,解得1x2或-2x-1,故函數(shù)y=f(x2-1)的定義域為-2,-11,2.,(2)因為函數(shù)f(x2-1)的定義域為0,3,所以-1x2-18,故函數(shù)y=f(x)的定義域為-1,8. (3)函數(shù)f(x)的定義域為0,3,要使函數(shù)y=f(x2-1)+ f(2x+1)有意義,則 即解得x=1. 函數(shù)y=f(x2-1)+ f(2x+1)的定義域為1.,規(guī)律總結(jié) 求抽象函數(shù)定義域的方法 (1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為a,b,則復(fù)合函數(shù)f(g(x)的定義域可由不等式ag(x)b求出. (2)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a,b,則f(x)的定義域為g(x)在xa,b上的值域.,典例4若函數(shù)f(x)=的定義域為R,則實數(shù)a的取值范圍是 .,角度三已知函數(shù)的定義域,求參數(shù)的取值范圍,答案-1,0,解析由函數(shù)的定義域為R得-10,xR恒成立,則x2+2ax-a 0,xR恒成立,則=(2a)2+4a0,解得-1a0.,方法技巧 已知函數(shù)的定義域,求參數(shù)的取值范圍,一般將問題轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)的不等式的解集問題,利用解不等式或者不等式恒成立求解.,2-1(2018揚州高三調(diào)研)函數(shù)y=lg(4-3x-x2)的定義域為.,答案(-4,1),解析要使函數(shù)y=lg(4-3x-x2)有意義,則4-3x-x20,解得-4<x<1,故函數(shù)的定義域為(-4,1).,2-2若函數(shù)f(x2+1)的定義域是-1,1,則函數(shù)f(lg x)的定義域為.,答案10,100,解析x-1,1x2+11,2,則lg x1,2,則x10,100,故函數(shù)f(lg x)的定義域為10,100.,2-3若函數(shù)y=的定義域為R,則實數(shù)m的取值范圍是.,答案0,12),解析由題意可得mx2+mx+30,xR恒成立,則mx2+mx+3=0在R上無解.當(dāng)m=0時,無解;當(dāng)m0時,=m2-12m<0,解得0<m<12,故實數(shù)m的取值范圍是0,12).,考點三 求函數(shù)的值域,典例5求下列函數(shù)的值域: (1)y=x-; (2)f(x)=,x3,5; (3)y=(x1).,解析(1)令=t,t0,則x=,則y=t2-t+,t0,作出二次函數(shù)的 圖象可得值域為. (2)f(x)=2-在x3,5上單調(diào)遞增,則f(x)的值域為. (3)令x-1=t,t0,則y=t+-22-2,當(dāng)且僅當(dāng)t=時取 等號,則函數(shù)的值域是2-2,+).,規(guī)律總結(jié) 求函數(shù)的值域的主要方法 (1)函數(shù)的定義域與對應(yīng)法則直接制約著函數(shù)的值域,對于一些比較簡單的函數(shù)可直接通過觀察法求得值域. (2)二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次方程的形式,常用配方法求值域. (3)分子、分母是一次函數(shù)或二次齊次式的有理函數(shù)常用分離常數(shù)法求值域;分子、分母中含有二次項的有理函數(shù),常用判別式法求值域(主要適用于定義域為R的函數(shù)).,(4)單調(diào)函數(shù)常根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域. (5)很多函數(shù)可拆配成基本不等式的形式,利用基本不等式求值域.,(6)有些函數(shù)具有明顯的幾何意義,可根據(jù)幾何意義求值域. (7)只要是能求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)常采用導(dǎo)數(shù)的方法求值域.,同類練(2018江蘇鹽城中學(xué)高三檢測)函數(shù)y=的值域為.,答案,解析因為x2+22,所以y=,故函數(shù)的值域為.,變式練(2019南京、鹽城高三模擬)設(shè)函數(shù)y=ex+-a的值域為A,若A 0,+),則實數(shù)a的取值范圍是.,答案(-,2,解析因為ex+-a2-a,當(dāng)且僅當(dāng)ex=1,x=0時取等號,所以A=2-a,+) 0,+),所以2-a0,故a2.,深化練若函數(shù)f(x)在m,n(m<n)上的值域恰好是m,n,則稱m,n為函數(shù)f(x)的一個“等值映射區(qū)間”.下列函數(shù):y=x2-1,y=2+log2x,y=2x-1,y=,其中存在唯一一個“等值映射區(qū)間”的函數(shù)有個.,答案2,解析函數(shù)y=x2-1存在-1,0和兩個“等值映射區(qū)間”,排除 ;函數(shù)y=2+log2x在定義域上遞增,若存在“等值映射區(qū)間”m,n,則2+log2m=m,2+log2n=n,即m,n是方程2+log2x=x的兩個不同的根,由于函數(shù)y=2+log2x與y=x的圖象有兩個不同的交點,所以函數(shù)y=2+log2x存在唯一一個“等值映射區(qū)間”m,n,正確;與同理,可得函數(shù)y=2x-1存在唯一一個“等值映射區(qū)間”0,1,正確;函數(shù)y=在(-,1)和(1,+)上都 是減函數(shù),所以若存在“等值映射區(qū)間”m,n,則=n,=m,解得m,=n,與m<n矛盾,所以函數(shù)y=不存在“等值映射區(qū)間”m,n,排除, 故存在唯一一個“等值映射區(qū)間”的函數(shù)有2個.,典例6(1)已知f=lg x,則f(x)=. (2)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),且f(x)=2 f-1,則f(x)=.,考點四 求函數(shù)的解析式,答案(1)lg (x1)(2)+,解析(1)令+1=t, 由題意知x0,t1,則x=, f(t)=lg , f(x)=lg (x1). (2)在f(x)=2 f-1中,用代替x, 得f=2 f(x)-1,將f=-1代入f(x)=2 f-1中, 可求得f(x)=+.,探究1若將本例(1)中的條件變?yōu)椤癴=x2+”,則 f(x)=.,答案x2+2,解析令x-=t,則x2+=+2=t2+2,則f(t)=t2+2,即f(x)=x2+2.,探究2若將本例(2)中的條件變?yōu)椤? f(x+1)-2 f(1-x)=2x+17”,則f(x)=.,答案,解析令x+1=t,則x=t-1,則3 f(t)-2 f(2-t)=2(t-1)+17=2t+15. 將t換成2-t可得3 f(2-t)-2 f(t)=2(2-t)+15=19-2t. 聯(lián)立解得f(t)=,則f(x)=.,方法技巧 求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),則可用待定系數(shù)法求解. (2)配湊法:根據(jù)已知條件f(g(x)=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的式 子,然后用x替代g(x),即可得f(x)的解析式.,(3)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式時可用換元法,即令g(x)=t,從中解出x,代入已知的解析式進(jìn)行換元,此時要注意新元的取值范圍. (4)解方程組法:已知關(guān)于f(x)與f或f(-x)的等式,可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出一個等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).,4-1函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f=x,x0,求f(x)的解析式.,解析由2f(x)-f=x, 得2f-f(x)=, 由可得f(x)=x+(xR,x0).,4-2(2017江蘇興化中學(xué)第一學(xué)期高三檢測)(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式. (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標(biāo)是(-1,2),且經(jīng)過原點,求f(x)的解析式.,解析(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0), 二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,f(x)=x2-7x+10. (2)二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點坐標(biāo)是(-1,2), 可設(shè)f(x)=a(x+1)2+2(a0), 又f(x)的圖象過原點,a(0+1)2+2=0,a=-2, f(x)=-2(x+1)2+2=-2x2-4x.,考點五 分段函數(shù) 角度一求分段函數(shù)的函數(shù)值,典例7(1)設(shè)f(x)=則f( f(-2)=. (2)T為常數(shù),定義fT(x)=若f(x)=x-ln x,則f3( f2(e)的值為.,答案(1)-2(2)3,解析(1)f(f(-2)=f(10-2)=lg 10-2=-2. (2)因為f(e)=e-1<2,所以f2(e)=2,而f(2)=2-ln 2<3, 所以f3( f2(e)=3.,角度二分段函數(shù)的值域,典例8(1)函數(shù)f(x)=的值域為. (2)若函數(shù)f(x)=(a0且a1)的值域是2,+),則實數(shù)a的取 值范圍是.,答案(1)(-,1(2)(1,解析(1)當(dāng)x0時, f(x)=x+11;當(dāng)x0時, f(x)=-(x-1)20,則f(x)的值域 為(-,1. (2)因為函數(shù)f(x)=(a0且a1)的值域是2,+),且當(dāng)x2時, f(x)=2,所以解得1<a,即實數(shù)a的取值范圍是(1, .,典例9(1)已知f(x)=若f(1)+f(a+1)=5,則a的值為. (2)設(shè)函數(shù)f(x)=則關(guān)于x的方程f(x)=的解為. (3)已知實數(shù)a0,函數(shù)f(x)=若f(1-a)=f(1+a),則a的值為.,角度三分段函數(shù)與方程的綜合,答案(1)-1(2)x=-1或或(3)-,解析(1)易得f(1)=1(1+4)=5, f(1)+f(a+1)=5,f(a+1)=0. 當(dāng)a+10,即a-1時, 有(a+1)(a+5)=0, 解得a=-1或a=-5(舍去); 當(dāng)a+1<0,即a<-1時, 有(a+1)(a-3)=0, 解得a=-1或a=3,都不符合,舍去.,綜上可知,a=-1. (2)當(dāng)x0時,解2x=得x=-1; 當(dāng)x0時,解|log2x|=得x=或x=. 所以方程f(x)=的解為x=-1或或. (3)分類討論: 當(dāng)a0時,1-a1.,這時f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.,由f(1-a)=f(1+a)得2-a=-1-3a, 解得a=-,不符合題意,舍去; 當(dāng)a1,1+a<1. 這時f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 由f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得a=-. 綜合,知a的值為-.,方法技巧 已知分段函數(shù)的函數(shù)值求自變量的取值時,應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解,但要注意檢驗解得的自變量的值是否在相應(yīng)段的自變量的取值范圍內(nèi).,典例10(1)已知f(x)=則使f(x)-1成立的x的取值范圍是 . (2)(2019徐州高三模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(f(a)<(f(a)2的a 的取值范圍是.,角度四分段函數(shù)與不等式的綜合,答案(1)-4,2(2)(-,1),解析(1)由題意知或 解得-4x0或0<x2,故x的取值范圍是-4,2. (2)令f(a)=t,則不等式可化為f(t)<t2,則或解得t<1,即f(a)< 1,則有或,解得a<1.,方法技巧 分段函數(shù)與不等式的綜合問題,常根據(jù)分段函數(shù)的自變量對應(yīng)的不同解 析式的不同特點進(jìn)行分類討論,最后結(jié)果取并集,對于比較復(fù)雜的問題也可以借助圖象,利用數(shù)形結(jié)合法求解.,5-1已知函數(shù)f(x)=則f(2 017)=.,答案0,解析f(2 017)=-f(2 015)=f(2 013)=f(1)=-f(-1)=-log31=0.,5-2(2017蘇州第一學(xué)期期中)若函數(shù)f(x)=(a0且a1) 的值域為6,+),則實數(shù)a的取值范圍是.,答案(1,2,解析當(dāng)x2時, f(x)=-x+86,所以當(dāng)x2時, f(x)=logax+56恒成立即可,所以a1,loga21=logaa,所以a2,故1<a2.,5-3已知函數(shù)f(x)=且f(x)=-,則x的值為.,解析由f(x)=-得 或解得x=-.,答案-,5-4已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x)5的解集為.,答案-1,4,解析由f(x)5得或解得0<x4或-1x0,則 不等式f(x)5的解集為-1,4.,