10.4隨機(jī)事件的概率與古典概型,知識梳理,雙擊自測,1.概率與頻率 (1)概率與頻率的概念:在相同的條件S下重復(fù)n次試驗,觀察某一事件A是否出現(xiàn),稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的 頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例 為事件A出現(xiàn)的頻率. (2)概率與頻率的關(guān)系:對于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A).,知識梳理,雙擊自測,2.事件間的關(guān)系與運算,知識梳理,雙擊自測,知識梳理,雙擊自測,3.概率的幾個基本性質(zhì) (1)概率的取值范圍:0P(A)1. (2)必然事件的概率:P(A)=1. (3)不可能事件的概率:P(A)=0. (4)概率的加法公式:若事件A與事件B互斥,則P(AB)=P(A)+P(B). (5)對立事件的概率:若事件A與事件B互為對立事件,則AB為必然事件.P(AB)=1,P(A)=1-P(B).,知識梳理,雙擊自測,4.古典概型 (1)基本事件的特點 任何兩個基本事件是互斥的. 任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件). (2)古典概型的定義 具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型. 有限性:試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個. 等可能性:每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等. (3)古典概型的概率公式 P(A)= .,知識梳理,雙擊自測,1.(教材改編)袋中裝有3個白球,4個黑球,從中任取3個球,則恰有1個白球和全是白球;至少有1個白球和全是黑球;至少有1個白球和至少有2個白球;至少有1個白球和至少有1個黑球. 在上述事件中,是對立事件的為() A.B.C.D.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,2.袋中共有15個除顏色外完全相同的球,其中有10個白球,5個紅球,從袋中任取2個球,所取的2個球中恰有1個白球,1個紅球的概率為(),答案,解析,知識梳理,雙擊自測,3.給出下列三個命題,其中正確的命題有個. 有一大批產(chǎn)品,已知次品率為10%,從中任取100件,必有10件是次品;做7次拋硬幣的試驗,結(jié)果3次出現(xiàn)正面,因此正面出現(xiàn)的概率是 ;隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,4.口袋內(nèi)有一些除顏色外完全相同的紅球、黃球、白球,從中摸出一個球,摸出紅球或白球的概率為0.65,摸出黃球或白球的概率為0.6,那么摸出白球的概率是.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,5.A,B,C三名學(xué)生按任意次序站成一排,A在邊上的概率為.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,自測點評 1.頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別,不可混為一談.頻率隨著試驗次數(shù)的改變而變化,概率卻是一個常數(shù).當(dāng)試驗次數(shù)越來越多時,頻率向概率靠近. 2.對立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情況,但互斥事件不一定是對立事件,“互斥”是“對立”的必要不充分條件. 3.一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點有限性和等可能性,只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型.,考點一,考點二,考點三,考點四,隨機(jī)事件的頻率與概率(考點難度) 【例1】 某險種的基本保費為a(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:,隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到如下統(tǒng)計表:,考點一,考點二,考點三,考點四,(1)記A為事件:“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”,求P(A)的估計值; (2)記B為事件:“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”,求P(B)的估計值; (3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值.,解:(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2. 由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為 =0.55,故P(A)的估計值為0.55. (2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4. 由所給數(shù)據(jù)知,一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為 =0.3,故P(B)的估計值為0.3.,考點一,考點二,考點三,考點四,(3)由所給數(shù)據(jù)得,調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a.,方法總結(jié)隨機(jī)事件的頻率與概率問題應(yīng)注意: (1)理解頻率與概率的區(qū)別:概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值,頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化,概率卻是一個常數(shù). (2)理解概率的基本性質(zhì):0P(A)1;P()=1,P()=0.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓(xùn)練某超市隨機(jī)選取1 000位顧客,記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況,整理成如下統(tǒng)計表,其中“”表示購買,“”表示未購買.,考點一,考點二,考點三,考點四,(1)估計顧客同時購買乙和丙的概率; (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率; (3)如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大?,解:(1)從統(tǒng)計表可以看出,在這1 000位顧客中有200位顧客同時購買了乙和丙,所以顧客同時購買乙和丙的概率可以估計為,(2)從統(tǒng)計表可以看出,在這1 000位顧客中,有100位顧客同時購買了甲、丙、丁,另有200位顧客同時購買了甲、乙、丙,其他顧客最多購買了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購買3種商品的概率可以估計為 =0.3.,考點一,考點二,考點三,考點四,所以,如果顧客購買了甲,則該顧客同時購買丙的可能性最大.,考點一,考點二,考點三,考點四,互斥事件與對立事件(考點難度),【例2】 (1)從有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球,給出以下事件:兩球都不是白球;兩球中恰有一個白球;兩球中至少有一個白球.其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是() A.B.C.D.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,考點四,(2)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件,設(shè)事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到三等品,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的不是一等品”的概率為() A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3,答案,解析,考點一,考點二,考點三,考點四,方法總結(jié)求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法:一是直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和,運用互斥事件的求和公式計算;二是間接求法,先求此事件的對立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( ),即運用逆向思維(正難則反),特別是“至多”“至少”型題目,用間接求法就較簡便.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓(xùn)練(2017浙江嘉興模擬)圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已,意取出2粒恰好是同一色的概率是.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,考點四,古典概型的概率(考點難度) 【例3】 (1)(2017山東高考)從分別標(biāo)有1,2,9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次,每次抽取1張.則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,考點四,(2)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,考點四,方法總結(jié)求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù),這就需要正確列出基本事件,基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法,具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓(xùn)練將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個面上分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6個點的正方體玩具)先后拋擲2次,則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,考點四,古典概型的應(yīng)用(考點難度) 【例4】 從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),則取出的3個數(shù)可作為三角形的三邊邊長的概率是(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,考點四,方法總結(jié)解決與古典概型交匯的問題時,把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件,列舉基本事件,求出基本事件和隨機(jī)事件的個數(shù),然后利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算.,考點一,考點二,考點三,考點四,對點訓(xùn)練(1)從3個紅球、2個白球中隨機(jī)取出2個球,則取出的2個球不全是紅球的概率是(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,考點四,(2)某五所大學(xué)進(jìn)行自主招生,同時向一所重點中學(xué)的五位學(xué)習(xí)成績優(yōu)秀,并在某些方面有特長的學(xué)生發(fā)出提前錄取通知單.若這五名學(xué)生都樂意進(jìn)這五所大學(xué)中的任意一所就讀,則僅有兩名學(xué)生錄取到同一所大學(xué)(其余三人在其他學(xué)校各選一所不同大學(xué))的概率是(),答案,解析,易錯警示忽視等可能性致誤 古典概型的特點是基本事件等可能性,所以在利用古典概型計算概率時注意基本事件是否等可能性. 【典例】 先后拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,則出現(xiàn)“一枚正面、一枚反面”的概率為.,解析:基本事件為“正正”“正反”“反正”“反反”共4個,記事件A為“一枚正面、一枚反面”,則包含“正反”“反正”2個結(jié)果.,答題指導(dǎo)古典概型的特點之一就是每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等,如果認(rèn)為本例基本事件為“2枚正面”“2枚反面”“一枚正面、一枚反面”共3個,那么所求事件的概率為 .事實上事件“一枚正面、一枚反面”與“2枚正面”“2枚反面”不是等可能性的,即“一枚正面、一枚反面”不是基本事件,它包含“正反”“反正”兩種情況,忽視了這一點就會出錯.,對點訓(xùn)練設(shè)袋中有4個白球和2個黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2個球,則這2個球都是白球的概率為.,答案,解析,高分策略1.對于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A),因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A). 2.利用集合方法判斷互斥事件與對立事件: (1)若由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集,則事件互斥; (2)事件A的對立事件 所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集. 3.若某一事件包含的基本事件較多,而它的對立事件包含的基本事件較少,則可用“正難則反”思想求解. 4.古典概型計算三步曲: 第一,試驗是否是等可能的;第二,試驗的基本事件有多少個;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少個.,5.確定基本事件的方法: 列舉法、列表法、樹狀圖法. 6.較復(fù)雜事件的概率可靈活運用互斥事件、對立事件、相互獨立事件的概率公式簡化運算.,