高考專題突破五高考中的立體幾何問(wèn)題,第八章 立體幾何與空間向量,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,題型分類 深度剖析,課時(shí)作業(yè),1,題型分類深度剖析,PART ONE,題型一求空間幾何體的表面積與體積,師生共研,例1(1)一個(gè)正方體挖去一個(gè)多面體所得的幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖和俯視圖均為邊長(zhǎng)等于2的正方形，則這個(gè)幾何體的表面積為,解析由三視圖可知，該幾何體是棱長(zhǎng)為2的正方體的內(nèi)部挖去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐，將三視圖還原可得如圖，,(2)(2018浙江省嘉興市第一中學(xué)期中)如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓上一動(dòng)點(diǎn)，PA圓O所在平面，且PAAB2，過(guò)點(diǎn)A作平面PB，交PB，PC分別于E，F(xiàn)，當(dāng)三棱錐PAEF體積最大時(shí)，tanBAC_.,解析PB平面AEF，AFPB， 又ACBC，APBC，ACAPA，AC，AP平面PAC， BC平面PAC，又AF平面PAC， AFBC，又PBBCB，PB，BC平面PBC， AF平面PBC，AFE90， 設(shè)BAC，在RtPAC中，,(1)等積轉(zhuǎn)換法多用來(lái)求三棱錐的體積. (2)不規(guī)則的幾何體可通過(guò)分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.,跟蹤訓(xùn)練1(1)(2018嘉興模擬)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積(單位：cm2)是,解析由三視圖得該幾何體為一個(gè)組合體，上面是棱長(zhǎng)為2的正方體，下面是下底為邊長(zhǎng)為4的正方形、上底為邊長(zhǎng)為2的正方形的四棱臺(tái)，,(2)(2018溫州高考適應(yīng)性測(cè)試)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是,解析由三視圖可還原出幾何體的直觀圖，該幾何體是由半個(gè)圓柱(底面圓的半徑為1，高為2)和一個(gè)四棱錐(底面為邊長(zhǎng)是2的正方形，高為1)組成的，如圖所示.,題型二空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,例2如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn). (1)求證：平面ABE平面B1BCC1；,證明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC. 因?yàn)锳B平面ABC，所以BB1AB. 又因?yàn)锳BBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1. 又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.,師生共研,(2)求證：C1F平面ABE；,證明方法一如圖1，取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)，,因?yàn)锳CA1C1，且ACA1C1， 所以FGEC1，且FGEC1， 所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1FEG. 又因?yàn)镋G平面ABE，C1F平面ABE， 所以C1F平面ABE.,方法二如圖2，取AC的中點(diǎn)H，連接C1H，F(xiàn)H. 因?yàn)镠，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以HFAB， 又因?yàn)镋，H分別是A1C1，AC的中點(diǎn)， 所以EC1AH，且EC1AH， 所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1HAE， 又C1HHFH，AEABA， 所以平面ABE平面C1HF， 又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.,(3)求三棱錐EABC的體積.,解因?yàn)锳A1AC2，BC1，ABBC，,(1)平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,利用線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化解決平行關(guān)系的判定問(wèn)題時(shí)，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序正好相反.在實(shí)際的解題過(guò)程中，判定定理和性質(zhì)定理一般要相互結(jié)合，靈活運(yùn)用.,(2)垂直問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線面垂直問(wèn)題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問(wèn)題.,跟蹤訓(xùn)練2如圖，在底面是矩形的四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，PAAB1，BC2.,(1)求證：EF平面PAB；,證明以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz， 則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1). 點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點(diǎn)，,又AB平面PAB，EF平面PAB， EF平面PAB.,(2)求證：平面PAD平面PDC.,又APADA，AP，AD平面PAD， DC平面PAD. DC平面PDC，平面PAD平面PDC.,題型三空間角的計(jì)算,1.(2018浙江高考適應(yīng)性考試)四個(gè)同樣大小的球O1，O2，O3，O4兩兩相切，點(diǎn)M是球O1上的動(dòng)點(diǎn)，則直線O2M與直線O3O4所成角的正弦值的取值范圍為,自主演練,解析由四個(gè)同樣大小的球O1，O2，O3，O4兩兩相切， 則可以把O1，O2，O3，O4看成正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，球的半徑為棱長(zhǎng)的一半，記球的半徑為1， 則正四面體的棱長(zhǎng)為2. 平移直線O3O4至O2C位置，過(guò)O2C，O1O2的平面截球O1得一個(gè)大圓，過(guò)O2作大圓的兩條切線O2E，O2F， 由線面垂直易證O1O2O2C， 由圖可知，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至切點(diǎn)E時(shí)，MO2C最小， 當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)至切點(diǎn)F時(shí)，MO2C最大， 設(shè)EO2O1，,2.(2017浙江)如圖，已知正四面體DABC(所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點(diǎn)，APPB， 分別記二面角DPRQ， DPQR，DQRP的平面角為，則 A. B. C. D.,解析如圖，作出點(diǎn)D在底面ABC上的射影O，過(guò)點(diǎn)O分別作PR，PQ，QR的垂線OE，OF，OG，連接DE，DF，DG， 則DEO，DFO，DGO. 由圖可知它們的對(duì)邊都是DO， 只需比較EO，F(xiàn)O，GO的大小即可. 如圖，在AB邊上取點(diǎn)P，使AP2PB，連接OQ，OR， 則O為QRP的中心. 設(shè)點(diǎn)O到QRP三邊的距離為a， 則OGa，OFOQsinOQFOQsinOQPa， OEORsinOREORsinORPa，,.故選B.,3.(2018浙江)如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC120，A1A4，C1C1，ABBCB1B2.,(1)證明：AB1平面A1B1C1；,證明方法一由AB2，AA14，BB12，AA1AB，BB1AB，,由BC2，BB12，CC11，BB1BC，CC1BC，,又因?yàn)锳1B1B1C1B1，A1B1，B1C1平面A1B1C1， 因此AB1平面A1B1C1.,方法二如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.,又A1B1A1C1A1，A1B1，A1C1平面A1B1C1， 所以AB1平面A1B1C1.,(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.,解方法一如圖，過(guò)點(diǎn)C1作C1DA1B1，交直線A1B1于點(diǎn)D，連接AD. 由AB1平面A1B1C1， 得平面A1B1C1平面ABB1. 由C1DA1B1，平面A1B1C1平面ABB1A1B1，C1D平面A1B1C1， 得C1D平面ABB1. 所以C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.,方法二設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為.,設(shè)平面ABB1的一個(gè)法向量為n(x，y，z).,空間角是高考中的常考內(nèi)容，線線角和二面角多出現(xiàn)在小題中，線面角多出現(xiàn)在解答題中，主要注意幾何法與空間向量法的靈活應(yīng)用.,題型四立體幾何中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題,自主演練,1.(2018杭州模擬)等腰直角三角形ABE的斜邊AB為正四面體ABCD的側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，有下列說(shuō)法： 四面體EBCD的體積有最大值和最小值； 存在某個(gè)位置，使得AEBD； 設(shè)二面角DABE的平面角為，則DAE； AE的中點(diǎn)M與AB的中點(diǎn)N的連線交平面BCD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓. 其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是 A.1 B.2 C.3 D.4,解析四面體EBCD的底面BCD的面積為定值，且在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)E到底面BCD的距離存在最大值和最小值，所以四面體EBCD的體積有最大值和最小值，正確； 設(shè)BD的中點(diǎn)為F，則當(dāng)AE旋轉(zhuǎn)到平面ACF內(nèi)時(shí)，AEBD，正確；,綜上所述，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為3，故選C.,2.(2018浙江高考研究聯(lián)盟聯(lián)考) 如圖，已知正四面體DABC，P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，則二面角DPCB的平面角的余弦值的取值范圍是_.,解析當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，二面角DPCB的平面角逐漸增大，二面角DPCB的平面角最小趨近于二面角DACB的平面角，最大趨近于二面角DBCA的平面角的補(bǔ)角. 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，如圖所示，取AC的中點(diǎn)為E.連接DE，BE，,(1)考慮動(dòng)態(tài)問(wèn)題中點(diǎn)線面的變化引起的一些量的變化，建立目標(biāo)函數(shù)，用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題. (2)運(yùn)動(dòng)變化中的軌跡問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是尋求運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的所有情況，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. (3)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中端點(diǎn)的情況影響問(wèn)題的思考，可以利用極限思想考慮運(yùn)動(dòng)變化的極限位置.,2,課時(shí)作業(yè),PART TWO,基礎(chǔ)保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.(2018紹興質(zhì)檢)已知m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 若m且m，則； 若m且，則m； 若mn，m，n，則； 若mn，n，則m. A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析若m，則由線面平行的性質(zhì)定理知，在內(nèi)有直線l與m平行，又m，則l，從而，故正確； 若m且，則m或m，故不正確； 若mn，m，則n，又n，所以，故正確； 若mn，n，則m或m，故不正確.故正確的個(gè)數(shù)為2.,解析考慮到平行的性質(zhì)，AB，CC，AD可以用同一頂點(diǎn)處的三條棱替代，如AB，AA，AD，投影的長(zhǎng)度相等等價(jià)于這些線段所在直線與平面所成的角相等， 因此以正方體為依托， 如圖，平面ABD(BCD)，ACD(ABC)， ABD(BCD)，ACD(ABC)均符合題意， 所以這樣的平面有4個(gè).故選B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.過(guò)正方體ABCDABCD的頂點(diǎn)A作平面，使得棱AB，CC，AD在平面上的投影的長(zhǎng)度相等，則這樣的平面的個(gè)數(shù)為 A.6 B.4 C.3 D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2018紹興模擬)九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中間的實(shí)線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018臺(tái)州適應(yīng)性考試)如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得平面ACD平面ABC，若點(diǎn)N是BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段ON最短時(shí)，二面角NACB的余弦值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析易知OBOD，所以當(dāng)N為BD的中點(diǎn)時(shí)，線段ON最短， 因?yàn)锳COB，ACOD，OBODO，OB，OD平面OBD， 所以AC平面BOD，所以O(shè)NAC， 又OBAC， 所以BON即二面角NACB的平面角. 因?yàn)槠矫鍭CD平面ABC，平面ACD平面ABCAC，ODAC， 所以O(shè)D平面ABC， 所以O(shè)DOB，BOD為等腰直角三角形，所以BON45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018浙江)已知四棱錐SABCD的底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，E是線段AB上的點(diǎn)(不含端點(diǎn))，設(shè)SE與BC所成的角為1，SE與平面ABCD所成的角為2，二面角SABC的平面角為3，則 A.123 B.321 C.132 D.231,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如圖，不妨設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為2，E為AB上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，E為AB的中點(diǎn)，S到底面的距離SO1，以EE，EO為鄰邊作矩形OOEE， 則SEO1，SEO2，SEO3.,此時(shí)tan 2tan 3tan 1，可得231. 當(dāng)E在AB中點(diǎn)處時(shí)，231.故選D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018嘉興調(diào)研)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過(guò)EF的平面與棱BB1，DD1分別交于點(diǎn)G，H.設(shè)BGx，x0，1. 四邊形EGFH一定是菱形； AC平面EGFH； 四邊形EGFH的面積Sf(x)在區(qū)間0，1上具有單調(diào)性； 四棱錐AEGFH的體積為定值. 以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 A.4 B.3 C.2 D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析由正方體的性質(zhì)易得D1HBGx， 則四邊形A1D1HE、四邊形ABGE、四邊形CBGF、四邊形C1D1HF為四個(gè)全等的直角梯形， 則HEEGGFFH，即四邊形EGFH為菱形，正確； 因?yàn)锳CEF，EF平面EGFH，AC平面EGFH， 所以AC平面EGFH，正確； 在線段DD1上取DMx，則易得HMG為直角三角形，且HM12x，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是3，故選B.,A.<< B.<< C.<< D.<<,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析易知二面角BPQR的平面角的補(bǔ)角就是二面角APQR的平面角，二面角CQRP的平面角的補(bǔ)角就是二面角AQRP的平面角，二面角DPRQ的平面角的補(bǔ)角就是二面角APRQ的平面角. 易得二面角APQR的平面角二面角AQRP的平面角二面角APRQ的平面角，即<<.故選C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.如圖，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，將四邊形ADFE沿直線EF進(jìn)行翻折，給出四個(gè)結(jié)論： DFBC； BDFC； 平面DBF平面BFC； 平面DCF平面BFC. 在翻折過(guò)程中，可能成立的結(jié)論是_.(填寫結(jié)論序號(hào)),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析因?yàn)锽CAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則錯(cuò)誤； 設(shè)點(diǎn)D在平面BCF上的射影為點(diǎn)P，當(dāng)BPCF時(shí)就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿足，所以正確； 當(dāng)點(diǎn)P落在BF上時(shí)，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確； 因?yàn)辄c(diǎn)D的投影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯(cuò)誤.故答案為.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為， 則cos 的最大值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，,設(shè)M(0，y，1)(0y1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,令t1y，則y1t， 0y1，0t1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又z9x28x4在1，)上單調(diào)遞增， x1時(shí)，zmin5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2009浙江)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB2，BC1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在 平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DKAB，K為垂足.設(shè)AKt，則t的取值范圍是_.,解析如圖，在平面ADF內(nèi)過(guò)D作DHAF，垂足為H，連接HK.過(guò)F點(diǎn)作FPBC交AB于點(diǎn)P.,設(shè)DFx，則1<2. 平面ABD平面ABC，平面ABD平面ABCAB，DKAB，DKABD，DK平面ABC，又AF平面ABC，DKAF. 又DHAF，DKDHD，DK，DH平面DKH， AF平面DKH，AFHK，即AHHK.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,ADF和APF都是直角三角形，PFAD， RtADFRtAPF，APDFx. AHDADF，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2017浙江)如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E為PD的中點(diǎn). (1)證明：CE平面PAB；,證明如圖，設(shè)PA的中點(diǎn)為F，連接EF，F(xiàn)B. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PA的中點(diǎn)，,所以EFBC且EFBC， 所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CEBF. 因?yàn)锽F平面PAB，CE平面PAB， 因此CE平面PAB.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解分別取BC，AD的中點(diǎn)為M，N， 連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ. 因?yàn)镋，F(xiàn)，N分別是PD，PA，AD的中點(diǎn)， 所以Q為EF的中點(diǎn)， 在平行四邊形BCEF中，MQCE. 由PAD為等腰直角三角形得PNAD.,所以AD平面PBN. 由BCAD得BC平面PBN， 那么平面PBC平面PBN.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影， 所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角. 設(shè)CD1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，D是棱A1C1的中點(diǎn)，CC1h(h0).,(1)證明：BC1平面AB1D；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,證明方法一如圖1，連接A1B，交AB1于點(diǎn)E，連接DE， 則DE是A1BC1的中位線， 所以DEBC1. 又DE平面AB1D，BC1平面AB1D， 所以BC1平面AB1D. 方法二如圖2，取AC的中點(diǎn)F，連接BF，C1F，DF. 因?yàn)锳FDC1，且AFDC1， 所以四邊形AFC1D是平行四邊形，故ADFC1. 又FC1平面BFC1，AD平面BFC1， 所以AD平面BFC1.,圖1,圖2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,因?yàn)镈FB1B，且DFB1B，所以四邊形DFBB1是平行四邊形，故DB1FB. 又FB平面BFC1，DB1平面BFC1， 所以DB1平面BFC1. 又ADDB1D，AD，DB1平面ADB1， 所以平面ADB1平面BFC1. 又BC1平面BFC1， 故BC1平面AB1D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解方法一取A1B1的中點(diǎn)H，連接C1H，BH. 因?yàn)锳1B1C1與ABC都是正三角形，所以C1HA1B1. 在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABB1A1平面A1B1C1，平面ABB1A1平面A1B1C1A1B1， 又C1H平面A1B1C1，故C1H平面ABB1A1. 所以C1BH就是BC1與平面ABB1A1所成的角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC所在直線分別為x軸，y軸，過(guò)點(diǎn)O且與平面ABC垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3所示，,圖3,易得平面ABB1A1的一個(gè)法向量為n(0，1，0).,技能提升練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018紹興市適應(yīng)性考試)如圖，在ABC中，ACB90，CAB，M為AB的中點(diǎn).將ACM沿著CM翻折至ACM，使得AMMB，則的取值不可能為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如圖，設(shè)點(diǎn)A在平面BMC上的射影為A， 則由題意知，點(diǎn)A在直線CM的垂線AA上.要使AMMB， 則AMMB，所以只需考慮其臨界情況， 即當(dāng)AMMB時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于直線CM對(duì)稱，,又AMMC，所以AMC是以MAC為底角的等腰三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14. (2018溫州高考適應(yīng)性測(cè)試)已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點(diǎn)，H是點(diǎn)B在AC上的射影，當(dāng)C運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的軌跡 A.是圓 B.是橢圓 C.是拋物線 D.不是平面圖形,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析設(shè)在定圓內(nèi)過(guò)點(diǎn)B的直徑與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線，垂足為點(diǎn)E，連接EH，CD. 因?yàn)锽D為定圓的直徑， 所以CDBC，又因?yàn)锳B垂直于定圓所在的平面，所以CDAB， 又因?yàn)锳BBCB，所以CD平面ABC，所以CDBH， 又因?yàn)锽HAC，ACCDC， 所以BH平面ACD， 所以BHEH，所以動(dòng)點(diǎn)H在以BE為直徑的圓上， 即點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓，故選A.,拓展沖刺練,15,15.(2018浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知直三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為6，且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，用一平面截此棱柱，與側(cè)棱AA1，BB1，CC1分別交于三點(diǎn)M，N，Q，若MNQ為直角三角形，則該直角三角形斜邊長(zhǎng)的最小值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,15,解析取D，D1分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，連接DD1，DB， 根據(jù)題意以D為原點(diǎn)，DB，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)M在側(cè)棱AA1上， 設(shè)M(0，1，a)，點(diǎn)N在BB1上，,設(shè)Q(0，1，c)，不妨設(shè)c<b<a，,因?yàn)镸NQ為直角三角形，由c<b<a，得MNQ為直角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,當(dāng)且僅當(dāng)abbc時(shí)取等號(hào)，故選D.,16,16.已知三棱錐PABC中，點(diǎn)P在底面ABC上的投影正好在等腰直角三角形ABC的斜邊AB上(不包含兩端點(diǎn))，點(diǎn)P到底面ABC的距離等于等腰直角三角形ABC的斜邊AB的長(zhǎng).設(shè)平面PAC與底面ABC所成的角為，平面PBC與底面ABC 所成的角為，則tan()的最小值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析設(shè)點(diǎn)P在底面ABC上的投影為H，連接PH，則PH平面ABC. 過(guò)H作HMAC于M，HNBC于N，連接PM，PN，則PMH，PNH.,因?yàn)锳BC為等腰直角三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,