2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,第二章 2.2雙曲線,學(xué)習(xí)目標(biāo),XUEXIMUBIAO,1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程. 2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法. 3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的問題.,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,自主學(xué)習(xí),題型探究,達(dá)標(biāo)檢測,1,自主學(xué)習(xí),PART ONE,知識點(diǎn)一雙曲線的定義 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的 等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做 ，_ 叫做雙曲線的焦距.,差的絕對值,雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn),間的距離,知識點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 1.兩種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,(a0，b0),(a0，b0),F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0),F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c),a2b2c2,2.焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的位置是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型.“焦點(diǎn)跟著正項(xiàng)走”，若x2項(xiàng)的系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在 上；若y2項(xiàng)的系數(shù)為正，那么焦點(diǎn)在 上. 3.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為Ax2By21(AB<0). 4.標(biāo)準(zhǔn)方程中的兩個(gè)參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里的b2 要與橢圓中的b2 相區(qū)別.,x軸,y軸,c2a2,a2c2,1.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點(diǎn)間距離)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.() 2.在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 中，a0，b0且ab.() 3.在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a，b的大小關(guān)系是ab.(),思考辨析 判斷正誤,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,題型探究,PART TWO,題型一求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,例1求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解得20或7(舍去)，,(2)焦距為26，且經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)；,解因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)M(0,12)，所以M(0,12)為雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)，故焦點(diǎn)在y軸上，且a12. 又2c26，所以c13，所以b2c2a225.,解設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn<0).,反思感悟待定系數(shù)法求方程的步驟 (1)定型：即確定雙曲線的焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸是x軸還是y軸. (2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式， 若不知道焦點(diǎn)的位置，則進(jìn)行討論，或設(shè)雙曲線的方程為Ax2By21(AB<0).,(3)計(jì)算：利用題中條件列出方程組，求出相關(guān)值. (4)結(jié)論：寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.,解得a25或a230(舍).,解設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn<0).,題型二雙曲線的定義及應(yīng)用,例2(1)如圖，已知雙曲線的方程為 (a0，b0)，點(diǎn)A，B均在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)F2，|AB|m，F(xiàn)1為雙曲線的左焦點(diǎn)，則ABF1的周長為_.,4a2m,解析由雙曲線的定義，知|AF1|AF2|2a， |BF1|BF2|2a. 又|AF2|BF2|AB|， 所以ABF1的周長為|AF1|BF1|AB| 4a2|AB|4a2m.,(2)已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若雙曲線上一點(diǎn)P使得F1PF260，則F1PF2的面積為_.,由雙曲線定義和余弦定理，得|PF1|PF2|6， |F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60， 所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 所以|PF1|PF2|64，,引申探究 本例(2)中若F1PF290，其他條件不變，求F1PF2的面積.,解由雙曲線方程知a3，b4，c5， 由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2a6， 所以|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36. 在RtF1PF2中，由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2100. 將代入得|PF1|PF2|32，,反思感悟求雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的方法 (1)方法一： 根據(jù)雙曲線的定義求出|PF1|PF2|2a； 利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式； 通過配方，利用整體的思想求出|PF1|PF2|的值；,利用公式 |PF1|PF2|sinF1PF2求得面積. (2)方法二：利用公式 |F1F2|yP|(yP為P點(diǎn)的縱坐標(biāo))求得面積.,特別提醒：利用雙曲線的定義解決與焦點(diǎn)有關(guān)的問題，一是要注意定義條件|PF1|PF2|2a的變形使用，特別是與|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|間的關(guān)系.,跟蹤訓(xùn)練2已知雙曲線的方程是 ，點(diǎn)P在雙曲線上，且到其中一個(gè)焦點(diǎn)F1的距離為10，點(diǎn)N是PF1的中點(diǎn)，求|ON|的大小(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).,因?yàn)閨PF1|PF2|2a8，|PF1|10，,典例已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為_.,核心素養(yǎng)之直觀想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,由雙曲線的定義求軌跡方程,解析如圖，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B，根據(jù)兩圓外切的條件 |MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|， 因?yàn)閨MA|MB|， 所以|MC1|AC1|MC2|BC2|， 即|MC2|MC1|2，這表明動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)C2，C1 的距離的差是常數(shù)2且2<6|C1C2|. 根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)，這里a1，c3，,素養(yǎng)評析(1)定義法求雙曲線方程的注意點(diǎn) 注意條件中是到定點(diǎn)距離之差，還是差的絕對值. 當(dāng)差的絕對值為常數(shù)時(shí)要注意常數(shù)與兩定點(diǎn)間距離的大小問題. 求出方程后要注意表示滿足方程的解的坐標(biāo)是否都在所給的曲線上. (2)建立數(shù)與形的聯(lián)系，探索解決數(shù)學(xué)問題的思路，提升數(shù)形結(jié)合能力，形成數(shù)學(xué)直觀直覺，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力.,3,達(dá)標(biāo)檢測,PART THREE,1.到兩定點(diǎn)F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離之差的絕對值等于6的點(diǎn)M的軌跡是 A.橢圓 B.線段 C.雙曲線 D.兩條射線,1,2,3,4,5,解析由題意知|F1F2|MF1|MF2|6， 所以點(diǎn)M的軌跡是兩條射線.,解析由題意知，k30且k2<0， 3<k<2.,1,2,3,4,5,A.32 D.k2,1,2,3,4,5,又由|F1F2|10，可得PF1F2是直角三角形，,1,2,3,4,5,解析由于a0,0a24，且4a2a2，所以可解得a1，故選D.,1,2,3,4,5,5.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. (1)a3，c4，焦點(diǎn)在x軸上；,解由題設(shè)知，a3，c4， 由c2a2b2，得b2c2a242327. 因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，,1,2,3,4,5,(2)焦點(diǎn)為(0，6)，(0,6)，經(jīng)過點(diǎn)A(5,6).,解由已知得c6，且焦點(diǎn)在y軸上， 因?yàn)辄c(diǎn)A(5,6)在雙曲線上，,則a4，b2c2a2624220.,課堂小結(jié),KETANGXIAOJIE,1.雙曲線定義中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別.在橢圓中a2b2c2，在雙曲線中c2a2b2. 3.用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，要先判斷焦點(diǎn)所在的位置，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程后，由條件列出a，b，c的方程組. 如果焦點(diǎn)不確定要分類討論，采用待定系數(shù)法求方程或用形如mx2ny21(mn<0)的形式求解.,