專題突破二焦點(diǎn)弦的性質(zhì),第二章圓錐曲線與方程,拋物線的焦點(diǎn)弦是考試的熱點(diǎn)，有關(guān)拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)較為豐富，對(duì)拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)進(jìn)行研究獲得一些重要結(jié)論，往往能給解題帶來(lái)新思路，有利于解題過(guò)程的優(yōu)化. 一、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的推導(dǎo) 例1拋物線y22px(p0)，設(shè)AB是拋物線的過(guò)焦點(diǎn)的一條弦(焦點(diǎn)弦)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y2<0)，A，B在準(zhǔn)線上的射影為A1，B1.,證明當(dāng)ABx軸時(shí)，,當(dāng)AB的斜率存在時(shí)，設(shè)為k(k0)，,代入拋物線方程y22px，,證明當(dāng)90時(shí)，過(guò)A作AGx軸，交x軸于G， 由拋物線定義知|AF|AA1|， 在RtAFG中，|FG|AF|cos ， 由圖知|GG1|AA1|，,當(dāng)90時(shí)，可知|AF|BF|p，,證明|AB|AF|BF|x1x2p,當(dāng)且僅當(dāng)90時(shí)取等號(hào). 故通徑長(zhǎng)2p為最短的焦點(diǎn)弦長(zhǎng).,證明由(2)可得，,原點(diǎn)O到直線AB的距離,證明如圖：M的直徑為AB，過(guò)圓心M作MM1垂直于準(zhǔn)線于M1，,(6)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.,故以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.,二、焦點(diǎn)弦性質(zhì)的應(yīng)用 例2(1)設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OAB的面積為,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，,方法二運(yùn)用焦點(diǎn)弦傾斜角相關(guān)的面積公式，,(2)已知F為拋物線C：y24x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|DE|的最小值為 A.16 B.14 C.12 D.10,解析方法一拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F(1,0)， 由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0. 不妨設(shè)直線l1的斜率為k，,設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由拋物線的定義可知，,故|AB|DE|的最小值為16. 方法二運(yùn)用焦點(diǎn)弦的傾斜角公式，注意到兩條弦互相垂直，,同理得|DE|44k2，,點(diǎn)評(píng)上述兩道題目均是研究拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，涉及拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)度與三角形面積，從高考客觀題快速解答的要求來(lái)看，常規(guī)解法顯然小題大做了，而利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)，可以快速解決此類(lèi)小題.,跟蹤訓(xùn)練1(1)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AF|3，則AOB的面積為,解析方法一設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由|AF|3及拋物線定義可得， x113，x12，,(2)過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若|AB| ，|AF|< |BF|，則|AF|_.,由題干知A，B所在直線的斜率存在，,設(shè)A，B，C，D，E的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3，y4，y5，,y11y21y31y41y510， y1y2y3y4y55，,點(diǎn)評(píng)用坐標(biāo)表示向量，可以利用定義將向量的模長(zhǎng)與坐標(biāo)建立起聯(lián)系.,跟蹤訓(xùn)練2如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，其中點(diǎn)A，B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比為,1,2,3,4,5,針對(duì)訓(xùn)練,ZHENDUIXUNLIAN,6,7,1.已知AB是過(guò)拋物線y2x2的焦點(diǎn)的弦，若|AB|4，則AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是,解析如圖所示，設(shè)AB的中點(diǎn)為P(x0，y0)，分別過(guò)A，P，B三點(diǎn)作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A，Q，B，,8,1,2,3,4,5,6,7,8,解析由拋物線的性質(zhì)可知，,1,2,3,4,5,6,7,8,4.已知拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 的最小值為 A.4 B.6 C.8 D.10,解析由焦點(diǎn)弦的性質(zhì)知， y1y24，即|y1|y2|4，,當(dāng)且僅當(dāng)|y1|y2|2時(shí)，取等號(hào).,1,2,3,4,5,6,7,8,5.如圖，過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|3|BF|，且|AF|4，則p的值為,解析設(shè)直線l的傾斜角為，,1,2,3,4,5,6,7,8,6.已知拋物線y24x，圓F：(x1)2y21，過(guò)點(diǎn)F作直線l，自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)A，B，C，D(如圖所示)，則下列關(guān)于|AB|CD|的值的說(shuō)法中，正確的是 A.等于1B.等于4 C.最小值是1D.最大值是4,1,2,3,4,5,6,7,8,解析設(shè)直線l：xty1， 代入拋物線方程，得y24ty40. 設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)， 根據(jù)拋物線的定義知， |AF|x11，|DF|x21， 故|AB|x1，|CD|x2，,而y1y24，故|AB|CD|1.,1,2,3,4,5,6,7,8,7.設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)F且與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF|3|BF|，則l的方程為 A.yx1或yx1,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,8.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在y軸正半軸上，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)是8，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是3. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；,解設(shè)拋物線的方程是x22py(p0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義可知y1y2p8， 又AB的中點(diǎn)到x軸的距離為3， y1y26，p2， 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24y.,1,2,3,4,5,6,7,8,(2)設(shè)直線m在y軸上的截距為6，且與拋物線交于P，Q兩點(diǎn).連接QF并延長(zhǎng)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)R，當(dāng)直線PR恰與拋物線相切時(shí)，求直線m的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,解由題意知，直線m的斜率存在，設(shè)直線m：ykx6(k0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，,1,2,3,4,5,6,7,8,又Q，F(xiàn)，R三點(diǎn)共線，kQFkFR，又F(0,1)，,整理得(x3x4)24(x3x4)22x3x41616x3x40，,1,2,3,4,5,6,7,8,