選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,2.極坐標(biāo)系與極坐標(biāo) (1)極坐標(biāo)系:如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)O,叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)O引一條Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)單位,一個(gè)單位(通常取)及其正方向(通常取方向),這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系. (2)極坐標(biāo):設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記為.,定點(diǎn),射線,長(zhǎng)度,角度,弧度,逆時(shí)針,距離|OM|,xOM,(,),M(,),知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 (1)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),它的極坐標(biāo)為(,).,(2)把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),通常有不同的表示法(極角相差2的整數(shù)倍).一般取0,0,2).,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,4.直線的極坐標(biāo)方程 (1)若直線過(guò)點(diǎn)M(0,0),且從極軸到此直線的角為,則它的方程為:sin(-)=. (2)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程: 直線過(guò)極點(diǎn):=0和; 直線過(guò)點(diǎn)M(a,0),且垂直于極軸:; 直線過(guò) ,且平行于極軸:. 5.圓的極坐標(biāo)方程 (1)若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為. (2)幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程: 圓心位于極點(diǎn),半徑為r:=; 圓心位于M(a,0),半徑為a:=; 圓心位于 ,半徑為a:=.,0sin(0-),= +0,cos =a,sin =b,r,2acos ,2asin ,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,參數(shù)方程,參數(shù),知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,C,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,3.在極坐標(biāo)系Ox中,方程=2sin 表示的圓為(),D,解析:由題意得,方程=2sin 表示以 為圓心,半徑為1的圓,故選D.,4.在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為sin =3,則點(diǎn) 到直線l的距離為.,2,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,5.(2018全國(guó)1,文22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為2+2cos -3=0. (1)求C2的直角坐標(biāo)方程; (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn),求C1的方程.,解 (1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4. (2)由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓. 由題設(shè)知,C1是過(guò)點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線.記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2,由于B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn),或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn).,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自診,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程間的互化 例1 (2016全國(guó)1,文23)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=4cos . (1)說(shuō)明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓. 將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為2-2sin +1-a2=0. (2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0, 由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0, 從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1. 當(dāng)a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3上, 所以a=1.,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得1.無(wú)論是參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程,還是極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,都要先化為直角坐標(biāo)方程,再由直角坐標(biāo)方程化為需要的方程. 2.將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的過(guò)程就是消去參數(shù)的過(guò)程,常用的消參方法有代入消參、加減消參和三角恒等式消參等,往往需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形,為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2019屆廣東六校第一次聯(lián)考,22)在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線C1向左平移2個(gè)單位,再將得到的曲線上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 ,得到曲線C2,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,C1的極坐標(biāo)方程為=4cos . (1)求曲線C2的參數(shù)方程; (2)已知點(diǎn)M在第一象限,四邊形MNPQ是曲線C2的內(nèi)接矩形,求內(nèi)接矩形MNPQ周長(zhǎng)的最大值,并求周長(zhǎng)最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,求距離的最值,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得1.求點(diǎn)到直線距離的最大值,一般利用曲線的參數(shù)方程及點(diǎn)到直線的距離公式把距離最值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最大值. 2.求三角形面積最值時(shí),若其中一邊的長(zhǎng)為定值,三角形面積最值可轉(zhuǎn)化為距離最值.,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,求平面圖形面積的最值 例3(2017全國(guó)2,文22)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos =4. (1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得1.對(duì)于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的問(wèn)題,既可以通過(guò)極坐標(biāo)和參數(shù)方程來(lái)解決,也可以通過(guò)直角坐標(biāo)解決,但大多數(shù)情況下,把極坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問(wèn)題,把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程更有利于在一個(gè)熟悉的環(huán)境下解決問(wèn)題.這樣可以減少由于對(duì)極坐標(biāo)和參數(shù)方程理解不到位造成的錯(cuò)誤. 2.解決與夾角有關(guān)的問(wèn)題(如三角形面積),有時(shí)利用極坐標(biāo)更方便.,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2 =1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程; (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為 (R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求C2MN的面積.,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,解題心得在求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程時(shí),如果題目有明確要求,求軌跡的參數(shù)方程或求軌跡的極坐標(biāo)方程或求軌跡的直角坐標(biāo)方程,那么就按要求做;如果沒(méi)有明確的要求,那么三種形式的方程寫(xiě)出哪種都可,哪種形式的容易求就寫(xiě)哪種.,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,直線參數(shù)方程的應(yīng)用,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,1.在對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中,最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢(shì),靈活地利用坐標(biāo)法可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)捷的解答.例如,將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,然后在直角坐標(biāo)系下對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解就是一種常見(jiàn)的解題方法,對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的“化生為熟”原則,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 2.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件:極點(diǎn)與原點(diǎn)重合;極軸與x軸的正半軸重合;取相同的單位長(zhǎng)度.直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易,只要運(yùn)用公式x=cos 及y=sin 直接代入并化簡(jiǎn)即可;而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對(duì)困難一些,解此類問(wèn)題常通過(guò)變形,構(gòu)造形如cos ,sin ,2的形式,進(jìn)行整體代換.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,3.求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,設(shè)P(,)是曲線上任意一點(diǎn);(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件,列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑和極角之間的關(guān)系式;(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn),得出曲線的極坐標(biāo)方程. 4.消去參數(shù)的方法一般有三種: (1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式,然后代入消去參數(shù); (2)利用三角恒等式消去參數(shù); (3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征,靈活地選用一些方法從整體上消去參數(shù). 5.已知圓、圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問(wèn)題時(shí),一般是把參數(shù)方程化為普通方程,通過(guò)互化解決與圓、圓錐曲線上動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題,如最值、范圍等.,1.(1)已知極坐標(biāo)系方程討論位置關(guān)系時(shí),可以先化為直角坐標(biāo)方程;(2)在對(duì)曲線的方程進(jìn)行互化時(shí),一定要注意變量的范圍,注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性. 2.將參數(shù)方程化為普通方程時(shí),要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍. 3.直線的參數(shù)方程中,參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí)(參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式),t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為|t|是直線上任一點(diǎn)M(x,y)到定點(diǎn)M0(x0,y0)的距離.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)5,