第1節(jié)數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究,【內(nèi)容要求】,數(shù)學(xué)建模活動是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結(jié)果、改進模型，最終解決實際問題.數(shù)學(xué)建模活動是基于數(shù)學(xué)思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.,【基本過程】,數(shù)學(xué)建?；顒拥幕具^程如下：,數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程.具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)探究活動是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.,【過程解讀】,掌握建?；具^程，會對實際問題進行問題分析，善于合理假設(shè). 問題分析也常稱為模型準(zhǔn)備或問題重述.由于數(shù)學(xué)模型是建立數(shù)學(xué)與實際現(xiàn)象之間的橋梁，因此，首要的工作是要設(shè)法用數(shù)學(xué)的語言表述實際現(xiàn)象.所謂問題重述是指把實際現(xiàn)象盡量地使用貼近數(shù)學(xué)的語言進行重新描述.為此，要充分了解問題的實際背景，明確建模的目的，盡可能弄清對象的特征，并為此搜集必需的各種信息或數(shù)據(jù).要善于捕捉對象特征中隱含的數(shù)學(xué)因素，并將其一一列出.至此，我們便有了一個很好的開端，而有了這個良好的開端，不僅可以決定建模方向，初步確定用哪一類模型，而且對下面的各個步驟都將產(chǎn)生影響.,模型假設(shè)(即合理假設(shè))是與問題分析緊密銜接的又一個重要步驟.根據(jù)對象的特征和建模目的，在問題分析基礎(chǔ)上對問題進行必要的、合理的取舍簡化，并使用精確的語言作出假設(shè)，這是建模至關(guān)重要的一步.這是因為，一個實際問題往往是復(fù)雜多變的，如不經(jīng)過合理的簡化假設(shè)，將很難于轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，即便轉(zhuǎn)化成功，也可能是一個復(fù)雜的難于求解的模型從而使建模歸于失敗.當(dāng)然，假設(shè)作得不合理或過分簡單也同樣會因為與實際相去甚遠(yuǎn)而使建模歸于失敗.一般地，作出假設(shè)時要充分利用與問題相關(guān)的有關(guān)學(xué)科知識，充分發(fā)揮想象力和觀察判斷力，分清問題的主次，抓住主要因素，舍棄次要因素.,【實際意義】 數(shù)學(xué)建模的實際意義 1.在一般工程技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地. 在以聲、光、熱、力、電這些物理學(xué)科為基礎(chǔ)的諸如機械、電機、土木、水利等工程技術(shù)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)建模的普遍性和重要性不言而喻，雖然這里的基本模型是已有的，但是由于新技術(shù)、新工藝的不斷涌現(xiàn)，提出了許多需要用數(shù)學(xué)方法解決的新問題；高速、大型計算機的飛速發(fā)展，使得過去即便有了數(shù)學(xué)模型也無法求解的課題(如大型水壩的應(yīng)力計算，中長期天氣預(yù)報等)迎刃而解；建立在數(shù)學(xué)模型和計算機模擬基礎(chǔ)上的CAD技術(shù)，以其快速、經(jīng)濟、方便等優(yōu)勢，大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計中的現(xiàn)場實驗、物理模擬等手段.,2.在高新技術(shù)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具. 無論是發(fā)展通訊、航天、微電子、自動化等高新技術(shù)本身，還是將高新技術(shù)用于傳統(tǒng)工業(yè)去創(chuàng)造新工藝、開發(fā)新產(chǎn)品，計算機技術(shù)支持下的建模和模擬都是經(jīng)常使用的有效手段.數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計算和計算機圖形等相結(jié)合形成的計算機軟件，已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中，在許多高新技術(shù)領(lǐng)域起著核心作用，被認(rèn)為是高新技術(shù)的特征之一. 3.數(shù)學(xué)迅速進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地. 隨著數(shù)學(xué)向諸如經(jīng)濟、人口、生態(tài)、地質(zhì)等所謂非物理領(lǐng)域的滲透，一些交叉學(xué)科如計量經(jīng)濟學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等應(yīng)運而生.在這些領(lǐng)域里建立不同類型、不同方法、不同深淺程度模型的余地相當(dāng)大，為數(shù)學(xué)建模提供了廣闊的新天地.馬克思說過，一門科學(xué)只有成功運用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了完善的地步.展望21世紀(jì)，數(shù)學(xué)必將大踏步地進入所有學(xué)科，數(shù)學(xué)建模將迎來蓬勃發(fā)展的新時期.,【課題研究】,課題研究的過程包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié).學(xué)生需要撰寫開題報告，教師要組織開展開題交流活動，開題報告應(yīng)包括選題意義、文獻綜述、解決問題思路、研究計劃、預(yù)期結(jié)果等.做題是解決問題的過程，包括描述問題、數(shù)學(xué)表達(dá)、建立模型、求解模型、得到結(jié)論、反思完善等.結(jié)果包括撰寫研究報告和報告研究結(jié)果，開展結(jié)題答辯.根據(jù)選題的內(nèi)容，報告可以采用專題作業(yè)、測量報告、算法程序、制作的實物、研究報告或小論文等多種形式.,【課題引例】,測量學(xué)校內(nèi)、外建筑物的高度 目的運用所學(xué)知識解決實際測量高度的問題，體驗數(shù)學(xué)建?；顒拥耐暾^程.組織學(xué)生通過分組、合作等形式，完成選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié). 情境給出下面的測量任務(wù)； (1)測量本校的一座教學(xué)樓的高度； (2)測量本校的旗桿的高度； (3)測量學(xué)校院墻外的一座不可及，但在學(xué)校操場上可以看到見的物體的高度. 可以每23個學(xué)生組成一個測量小組，以小組為單位完成；各人填寫測量課題報告表，一周后上交.,測量課題報告表 項目名稱：_完成時間：_,要求(1)成立項目小組，確定工作目標(biāo)，準(zhǔn)備測量工具. (2)小組成員查閱有關(guān)資料，進行討論交流，尋求測量效率高的方法，設(shè)計測量方案(最好設(shè)計兩套測量方案). (3)分工合作，明確責(zé)任.例如，測量、記錄數(shù)據(jù)、計算求解、撰寫報告的分工等. (4)撰寫報告，討論交流.可以用照片、模型、PPT等形式展現(xiàn)獲得的成果. 根據(jù)上述要求，每個小組要完成以下工作. (1)選題 本案例活動的選題步驟略去. (2)開題 可以在課堂上組織開題交流，讓每一個項目小組陳述初步測量方案，教師和其他同學(xué)可以提出質(zhì)疑.在討論的基礎(chǔ)上，項目小組最終形成各自的測量方案.,(3)做題 依據(jù)小組的測量方案實施測量.盡量安排各個小組在同一時間進行測量，這樣有利于教師的現(xiàn)場觀察和管理.要有分工、合作、責(zé)任落實到個人. (4)結(jié)題 在每一位學(xué)生都完成“測量報告”后，安排一次交流講評活動.遴選的交流報告最好有鮮明的特點，如測量結(jié)果準(zhǔn)確，過程完整清晰，方法有創(chuàng)意，誤差處理得當(dāng)，報告書寫規(guī)范等；或者測量的結(jié)果出現(xiàn)明顯誤差，使用的方法不當(dāng). 分析測量高度是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，這樣的問題有助于培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題、動手實踐、誤差分析等方面的能力.測量模型可以用平面幾何的方法，例如，比例線段、相似形等；也可以用三角的方法，甚至可以用物理的方法，例如，考慮自由落體的時間；等等.,拓展歡迎提出新的問題，積累數(shù)學(xué)建模資源.例如： 1.本市的電視塔的高度是多少米？ 2.一座高度為H m的電視塔，信號傳播半徑是多少？信號覆蓋面積有多大？ 3.找一張本市的地圖，看一看本市的地域面積有多少平方千米？電視塔的位置在地圖上的什么地方？按照計算得到的數(shù)據(jù)，這座電視塔發(fā)出的電視信號是否能覆蓋本市？ 4.本市(外地)到省會的距離有多少千米？要用一座電視塔把信號從省會直接發(fā)送到本市，這座電視臺的高度至少要多少米？ 5.如果采用多個中繼站的方式，用100 m高的塔接力傳輸電視信號，從省會到本地至少要建多少座100 m高的中繼傳送塔？,6.考慮地球大氣層和電離層對電磁波的反射作用，重新考慮問題2，4，5. 7.如果一座電視塔(例如300 m高)不能覆蓋本市，請設(shè)計一個多塔覆蓋方案. 8.至少發(fā)射幾顆地球定點的通訊衛(wèi)星，可以使其信號覆蓋地球？ 9.如果我國要發(fā)射一顆氣象監(jiān)測衛(wèi)星，監(jiān)測我國的氣象情況，請你設(shè)計一個合理的衛(wèi)星定點位置或衛(wèi)星軌道. 10.在網(wǎng)上收集資料，了解有關(guān)“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”的內(nèi)容，在班里做一個相關(guān)內(nèi)容的綜述，并發(fā)表對這件事的看法.,