第8節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與方差,考試要求1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念；2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問題.,知 識(shí) 梳 理,1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為,x1p1x2p2xipixnpn,(1)均值 稱E(X)_為隨機(jī)變量X的均值或_，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_.,數(shù)學(xué)期望,平均水平,2.均值與方差的性質(zhì) (1)E(aXb)_. (2)D(aXb)_ (a，b為常數(shù)). 3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)p，D(X)_. (2)若XB(n，p)，則E(X)np，D(X)_.,平均偏離程度,標(biāo)準(zhǔn)差,aE(X)b,a2D(X),p(1p),np(1p),微點(diǎn)提醒,基 礎(chǔ) 自 測(cè),1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”),(1)期望值就是算術(shù)平均數(shù)，與概率無關(guān).() (2)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量.() (3)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越小.() (4)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的情況，因此它們是一回事.() 解析均值即期望值刻畫了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，而方差刻畫了離散型隨機(jī)變量的取值偏離期望值的平均程度，因此它們不是一回事，故(1)(4)均不正確. 答案(1)(2)(3)(4),2.(選修23P68A1改編)已知X的分布列為,設(shè)Y2X3，則E(Y)的值為(),答案A,3.(選修23P68練習(xí)2改編)若隨機(jī)變量X滿足P(Xc)1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為_. 解析P(Xc)1，E(X)c1c， D(X)(cc)210. 答案0,4.(2018浙江卷)設(shè)0<p<1，隨機(jī)變量的分布列是,則當(dāng)p在(0，1)內(nèi)增大時(shí)() A.D()減小 B.D()增大 C.D()先減小后增大 D.D()先增大后減小,答案D,5.(2019北京延慶區(qū)調(diào)研)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)的廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y，其分布列分別為：,若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是_.,解析E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9，所以E(Y)<E(X)，故乙技術(shù)好. 答案乙,6.(2017全國卷)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)_. 解析有放回地抽取，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中p0.02，n100， 則D(X)np(1p)1000.020.981.96. 答案1.96,考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的均值與方差,解(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0，40，80元，,(2)由題設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，可能取值為0，40，80，120，160，則：,的分布列為,規(guī)律方法(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算. (2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的應(yīng)用.,解(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，,所以，隨機(jī)變量X的分布列為,(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個(gè)數(shù)，則所求事件的概率為,考點(diǎn)二二項(xiàng)分布的均值與方差 【例2】 (2019順德一模)某市市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位市民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，并且前四組頻數(shù)成等差數(shù)列.,(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5內(nèi)的頻數(shù)； (2)根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米，應(yīng)將w定為多少？(精確到小數(shù)點(diǎn)后2位) (3)若將頻率視為概率，現(xiàn)從該市隨機(jī)調(diào)查3名居民的月用水量，將月用水量不超過2.5立方米的人數(shù)記為X，求其分布列及均值.,解(1)前四組頻數(shù)成等差數(shù)列，,設(shè)a0.2d，b0.22d，c0.23d， 0.50.2(0.2d)20.22d0.23d0.131， 解得d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.,居民月用水量在22.5內(nèi)的頻率為0.50.50.25. 居民月用水量在22.5內(nèi)的頻數(shù)為0.2510025.,(2)由題圖及(1)可知，居民月用水量小于2.5的頻率為0.7<0.8， 為使80%以上居民月用水價(jià)格為4元/立方米，,(3)將頻率視為概率，設(shè)A(單位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A2.5)0.7， 由題意，XB(3，0.7)，,X的分布列為,XB(3，0.7)，E(X)np2.1.,規(guī)律方法二項(xiàng)分布的均值與方差. (1)如果B(n，p)，則用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大減少計(jì)算量. (2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布，但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，這時(shí)，可以綜合應(yīng)用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同樣還可求出D(ab).,【訓(xùn)練2】 (2019湘潭三模)某飯店從某水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購進(jìn)一批生蠔，并隨機(jī)抽取了40只統(tǒng)計(jì)質(zhì)量，得到結(jié)果如表所示：,(1)若購進(jìn)這批生蠔500 kg，且同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表，試估計(jì)這批生蠔的數(shù)量(所得結(jié)果保留整數(shù))； (2)以頻率視為概率，若在本次購買的生蠔中隨機(jī)挑選4個(gè)，記質(zhì)量在5，25)間的生蠔的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.,解(1)由表中的數(shù)據(jù)可以估算一只生蠔的質(zhì)量為,所以購進(jìn)500 kg生蠔，其數(shù)量為500 00028.517 544(只).,由題意知X的可能取值為0，1，2，3，4，,X的分布列為,考點(diǎn)三均值與方差在決策問題中的應(yīng)用 【例3】 某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇：,解若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元.則X1的分布列為,若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，則X2的分布列為：,所以E(X1)E(X2)，D(X1)<D(X2)， 這說明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥. 綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資.,規(guī)律方法隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.,【訓(xùn)練3】 計(jì)劃在某水庫建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.,(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率； (2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：,若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5 000萬元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？,由二項(xiàng)分布，在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為,(2)記水電站年總利潤(rùn)為Y(單位：萬元). 安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 由于水庫年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1， 對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)Y5 000，E(Y)5 00015 000.,安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 依題意，當(dāng)40<X<80時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 0008004 200， 因此P(Y4 200)P(40<X<80)p10.2； 當(dāng)X80時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000210 000， 因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8. 由此得Y的分布列如下：,所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.,安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形. 依題意，當(dāng)40120時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)Y5 000315 000， 因此P(Y15 000)P(X120)p30.1. 因此得Y的分布列如下：,所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).,思維升華 基本方法 1.已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； 2.已知隨機(jī)變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)YaXb的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用均值、方差的性質(zhì)求解； 3.如能分析所給隨機(jī)變量服從常用的分布(如二項(xiàng)分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解.,易錯(cuò)防范 1.在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式. 2.對(duì)于應(yīng)用問題，必須對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行具體分析，一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)行分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差.,