5.3平面向量的數(shù)量積與平面 向量的應(yīng)用,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,1.平面向量的數(shù)量積 (1)定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=0. (2)幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.,8,|a|b|cos ,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),為向量a,b的夾角. (1)數(shù)量積:ab=|a|b|cos = .,8,x1x2+y1y2,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,(5)已知兩非零向量a與b,abab=0;abab=|a|b|. (6)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立),即,8,x1x2+y1y2=0,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,3.平面向量數(shù)量積的運算律 (1)ab=ba(交換律). (2)ab=(ab)=a(b)(結(jié)合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,8,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,4.平面向量數(shù)量積運算的常用公式 (1)(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(ab)2=a22ab+b2.,8,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,8,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,6.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 對于向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目,其解題思路是用向量運算進行轉(zhuǎn)化,化歸為三角函數(shù)問題或三角恒等變形等問題或解三角形問題.,8,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,7.向量在解析幾何中的應(yīng)用 向量在解析幾何中的應(yīng)用,主要是以向量的數(shù)量積給出一種條件,通過向量轉(zhuǎn)化,進而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系等相關(guān)知識來解答.,8,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,7,8,8.向量在物理中的應(yīng)用 物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解、合成與向量的加減法相似,因此可以用向量的知識來解決某些物理問題;物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量,是力F與位移s的數(shù)量積, 即W=(為F與s的夾角).,|F|s|cos ,2,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負(fù). () (2)若ab0,則a和b的夾角為銳角;若ab<0,則a和b的夾角為鈍角. () (3)若ab=0,則必有ab. () (4)(ab)c=a(bc). () (5)若ab=ac(a0),則b=c. (),答案,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,A.30B.45C.60D.120,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,3.已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b與a垂直,則m=.,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,4.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,則m=.,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,自測點評 1.因為|a|b|cos 和|b|cos 都是數(shù)量,所以ab和b在a方向上的投影都是一個數(shù)量,而不是向量. 2.對于兩個非零向量a與b,因為當(dāng)=0時,ab0,所以“ab0”是“兩個向量a,b夾角為銳角”的必要不充分條件;ab=0也不能推出a=0或b=0,因為當(dāng)ab=0時,有可能ab. 3.在實數(shù)運算中,若a,bR,則|ab|=|a|b|;若ab=ac(a0),則b=c.但對于向量a,b卻有|ab|a|b|;若ab=ac(a0),則b=c不一定成立,原因是ab=|a|b|cos ,當(dāng)cos =0時,b與c不一定相等. 4.向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量,而a(bc)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線.,考點1,考點2,考點3,例1(1)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得DE=2EF,則 的值為(),思考求向量數(shù)量積的運算有幾種形式?,答案: (1)B(2)6,考點1,考點2,考點3,解析:(1)法一(基向量法):,考點1,考點2,考點3,法二(坐標(biāo)法): 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,考點1,考點2,考點3,(2)(方法1)設(shè)P(cos ,sin ),R,考點1,考點2,考點3,解題心得1.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法: (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時,利用定義求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a與b的夾角). (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義.數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 2.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時,可利用向量的加減運算或數(shù)量積的運算律化簡.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補.,考點1,考點2,考點3,A.-15B.-9C.-6D.0 (3)(2018寧夏銀川模擬)已知|a|=1,|b|= ,且a(a-b),則向量a在向量b方向上的投影為.,考點1,考點2,考點3,解析:(1)以C為原點,CB為x軸正半軸,建立坐標(biāo)系,則B(3,0).,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,(2)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是. 思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?,考點1,考點2,考點3,解析:(1)設(shè)ABC的外心為D,以D為原點,直線DA為x軸,過點D且與DA垂直的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,考點1,考點2,考點3,(2)設(shè)向量a,b的夾角為,考點1,考點2,考點3,解題心得1.求向量的模的方法: 的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算; (2)幾何法,先利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范圍)的方法: (1)求函數(shù)最值法,把所求向量的模表示成某個變量的函數(shù)再求; (2)數(shù)形結(jié)合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點表示的圖形求解.,考點1,考點2,考點3,答案,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,答案,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考向二求參數(shù)的值或范圍,思考兩個向量的垂直與其數(shù)量積有何關(guān)系?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,考向三在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例5已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值. 思考利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路是什么?,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,答案,解析,考點1,考點2,考點3,解題心得1.數(shù)量積大于0說明不共線的兩個向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明不共線的兩個向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0說明不共線的兩個向量的夾角為鈍角. 2.若a,b為非零向量,則abab=0. 3.解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的一般思路是應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題. 4.向量在解析幾何中的作用: (1)載體作用:解決向量在解析幾何中的問題時關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. (2)工具作用:利用數(shù)量積與共線定理可解決垂直、平行問題.特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法.,考點1,考點2,考點3,(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=.,B,2,考點1,考點2,考點3,A,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,1.平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a與b的夾角.,考點1,考點2,考點3,2.計算數(shù)量積的三種方法:定義、坐標(biāo)運算、數(shù)量積的幾何意義,要靈活選用,與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用. 3.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧. 4.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題,關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運算化簡已知條件,將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決. 5.解決向量與解析幾何的綜合問題,可將向量用點的坐標(biāo)表示,利用向量運算及性質(zhì)轉(zhuǎn)化為解析幾何問題. 6.向量中有關(guān)最值問題的求解思路:一是“形化”,利用向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題;二是“數(shù)化”,利用平面向量的坐標(biāo)運算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值、不等式的解集、方程有解等問題.,考點1,考點2,考點3,1.根據(jù)兩個非零向量夾角為銳角或鈍角與數(shù)量積的正、負(fù)進行轉(zhuǎn)化時,不要遺漏共線的情況. 2.|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立. 3.注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系.,思想方法數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)量積中的應(yīng)用 典例若平面向量,滿足|=1,|1,且以向量,為鄰邊的平行四邊形的面積為 ,則與的夾角的取值范圍是 .,反思提升求向量夾角的范圍問題經(jīng)常應(yīng)用函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想.求向量夾角的范圍問題,根據(jù)條件,利用向量的線性運算的幾何意義,依據(jù)圖形通過數(shù)形結(jié)合確定夾角的范圍.,