第2講空間中的平行與垂直,專題四立體幾何,板塊三專題突破核心考點(diǎn),考情考向分析,1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面平行和垂直的判定定理與性質(zhì)定理對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題. 2.以解答題的形式考查，主要是對(duì)線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系的交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中檔.,熱點(diǎn)分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點(diǎn)分類突破,空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法 (1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來解決問題. (2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來進(jìn)行判斷.,熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定,例1(1)若m，n是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是 A.若m，n，則mn B.若m，n，則mn C.若m，n，則mn D.若m，n，則mn,解析,答案,解析對(duì)于選項(xiàng)A，由n，可得n或n， 又m，所以可得mn，故A正確； 對(duì)于選項(xiàng)B，由條件可得mn或mn，故B不正確； 對(duì)于選項(xiàng)C，由條件可得mn或m，n相交或m，n異面，故C不正確； 對(duì)于選項(xiàng)D，由題意得mn，故D不正確.,解答,(2)如圖，平面平面，l，A，C是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，B，D是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且A，B，C，D直線l，M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn).下列判斷正確的是 A.當(dāng)CD2AB時(shí)，M，N兩點(diǎn)不可能重合 B.M，N兩點(diǎn)可能重合，但此時(shí)直線AC與 l不可能相交 C.當(dāng)AB與CD相交，直線AC平行于l時(shí)，直線BD可以與l相交 D.當(dāng)AB，CD是異面直線時(shí)，直線MN可能與l平行,解析,答案,解析由于直線CD的兩個(gè)端點(diǎn)都可以動(dòng)，所以M，N兩點(diǎn)可能重合， 此時(shí)兩條直線AB，CD共面，由于兩條線段互相平分， 所以四邊形ACBD是平行四邊形， 因此ACBD，而BD，ACB， 所以由線面平行的判定定理可得AC， 又因?yàn)锳C，l， 所以由線面平行的性質(zhì)定理可得ACl，故選B.,解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.,跟蹤演練1(1)(2018揭陽模擬)已知直線a，b，平面，下列命題正確的是 A.若，a，則a B.若a，b，c，則abc C.若a，ba，則b D.若，a，b，則ba,解析,答案,解析A中，若，a，則a，該說法正確； B中，若a，b，c， 在三棱錐PABC中，令平面，分別為平面PAB，PAC，PBC， 交線a，b，c為PA，PB，PC，不滿足abc，該說法錯(cuò)誤； C中，若a，ba，有可能b，不滿足b，該說法錯(cuò)誤； D中，若，a，b， 正方體ABCDA1B1C1D1中，取平面，為平面ABCD，ADD1A1， 直線b為A1C1，滿足b，不滿足ba，該說法錯(cuò)誤.,解析,答案,(2)(2018資陽模擬)如圖，平面與平面相交于BC， AB，CD，點(diǎn)ABC，點(diǎn)DBC，則下列敘述錯(cuò) 誤的是 A.直線AD與BC是異面直線 B.過AD只能作一個(gè)平面與BC平行 C.過AD只能作一個(gè)平面與BC垂直 D.過D只能作唯一平面與BC垂直，但過D可作無數(shù)個(gè)平面與BC平行,解析由異面直線的判定定理得直線AD與BC是異面直線； 在平面內(nèi)僅有一條直線過點(diǎn)D且與BC平行，這條直線與AD確定一個(gè)平面與BC平行，即過AD只能作一個(gè)平面與BC平行； 若AD垂直于平面，則過AD的平面都與BC垂直，因此C錯(cuò)； 過D只能作唯一平面與BC垂直，但過D可作無數(shù)個(gè)平面與BC平行.,熱點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明,空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定定理、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.,例2(1)(2018衡水調(diào)研)如圖，四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，平面PAB平面ABCD，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，棱PA與平面BCE交于點(diǎn)F. 求證：ADEF；,證明,證明因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為2的正方形， 所以BCAD. 又因?yàn)锽C平面PAD，AD平面PAD， 所以BC平面PAD. 又因?yàn)锽，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且平面BCEF平面PADEF， 所以BCEF. 又因?yàn)锽CAD，所以ADEF.,若PAB是正三角形，求三棱錐PBEF的體積.,解答,解由知，ADEF，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)，,又因?yàn)槠矫鍼AB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，ADAB， 所以AD平面PAB，所以EF平面PAB. 又因?yàn)镻AB是正三角形，所以PAPBAB2，,(2)(2018北京)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn).,證明,求證：PEBC；,證明因?yàn)镻APD，E為AD的中點(diǎn)， 所以PEAD. 因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以BCAD，所以PEBC.,求證：平面PAB平面PCD；,證明,證明因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形， 所以ABAD. 又因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， AB平面ABCD， 所以AB平面PAD， 又PD平面PAD，所以ABPD. 又因?yàn)镻APD，PAABA，PA，AB平面PAB， 所以PD平面PAB. 又PD平面PCD， 所以平面PAB平面PCD.,求證：EF平面PCD.,證明,證明如圖，取PC的中點(diǎn)G，連接FG，DG. 因?yàn)镕，G分別為PB，PC的中點(diǎn)，,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，且E為AD的中點(diǎn)，,所以DEFG，DEFG. 所以四邊形DEFG為平行四邊形，所以EFDG. 又因?yàn)镋F平面PCD，DG平面PCD， 所以EF平面PCD.,垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下： (1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證明線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換. (2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可，l，ala.,跟蹤演練2(2018全國)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧 所在平面垂直，M是 上異于C，D的點(diǎn).,證明,(1)證明：平面AMD平面BMC.,證明由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD. 因?yàn)锽CCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD， 又DM平面CMD，故BCDM.,因?yàn)镸為 上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，,所以DMCM. 又BCCMC，BC，CM平面BMC， 所以DM平面BMC. 又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.,(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC平面PBD？說明理由.,解答,解當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC平面PBD. 證明如下：連接AC，BD，交于點(diǎn)O. 因?yàn)锳BCD為矩形， 所以O(shè)為AC的中點(diǎn). 連接OP，因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)， 所以MCOP. 又MC平面PBD，OP平面PBD， 所以MC平面PBD.,平面圖形經(jīng)過翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化，有的沒有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.一般地，在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類問題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類幾何量的度量值，這是解決翻折問題的主要方法.,熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題,例3(2018北京海淀區(qū)期末)如圖1，已知菱形AECD的對(duì)角線AC，DE交于點(diǎn)F，點(diǎn)E為AB中點(diǎn).將ADE沿線,證明折疊前，因?yàn)樗倪呅蜛ECD為菱形， 所以ACDE， 所以折疊后，DEPF，DECF， 又PFCFF，PF，CF平面PCF， 所以DE平面PCF.,證明,段DE折起到PDE的位置，如圖2所示. (1)求證：DE平面PCF；,證明,(2)求證：平面PBC平面PCF；,證明因?yàn)樗倪呅蜛ECD為菱形， 所以DCAE，DCAE. 又點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)， 所以DCEB，DCEB， 所以四邊形DEBC為平行四邊形， 所以CBDE. 又由(1)得，DE平面PCF， 所以CB平面PCF. 因?yàn)镃B平面PBC， 所以平面PBC平面PCF.,解答,(3)在線段PD，BC上是否分別存在點(diǎn)M，N，使得平面CFM平面PEN？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M，N的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.,解存在滿足條件的點(diǎn)M，N， 且M，N分別是PD和BC的中點(diǎn). 如圖，分別取PD和BC的中點(diǎn)M，N. 連接EN，PN，MF，CM. 因?yàn)樗倪呅蜠EBC為平行四邊形，,所以四邊形ENCF為平行四邊形， 所以FCEN.,在PDE中，M，F(xiàn)分別為PD，DE的中點(diǎn)， 所以MFPE. 又EN，PE平面PEN，PEENE，MF，CF平面CFM，MFCFF， 所以平面CFM平面PEN.,(1)折疊問題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口. (2)存在探索性問題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾則否定假設(shè)，否則給出肯定結(jié)論.,跟蹤演練3如圖，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖所示的空間幾何體.,證明,(1)求證：AB平面ADC；,證明因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD， 平面ABD平面BCDBD， 又BDDC，DC平面BCD，所以DC平面ABD. 因?yàn)锳B平面ABD，所以DCAB. 又ADAB，DCADD，AD，DC平面ADC， 所以AB平面ADC.,解答,(2)若AD1，AB ，求點(diǎn)B到平面ADE的距離.,依題意ABDDCB，,故BC3. 由于AB平面ADC，所以ABAC，,因?yàn)镈C平面ABD，,設(shè)點(diǎn)B到平面ADE的距離為d，,真題押題精練,真題體驗(yàn),解析,1.(2017全國改編)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是_.(填序號(hào)),(1),答案,解析對(duì)于(1)，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QDAB. QD平面MNQQ， QD與平面MNQ相交， 直線AB與平面MNQ相交； 對(duì)于(2)，作如圖所示的輔助線， 則ABCD，CDMQ， ABMQ， 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ， AB平面MNQ；,對(duì)于(3)，作如圖所示的輔助線， 則ABCD，CDMQ， ABMQ， 又AB平面MNQ，MQ平面MNQ， AB平面MNQ； 對(duì)于(4)，作如圖所示的輔助線， 則ABCD，CDNQ， ABNQ，又AB平面MNQ，NQ平面MNQ， AB平面MNQ.,2.(2017江蘇)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD. 求證：(1)EF平面ABC；,證明,證明在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD， 所以ABEF.又EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF平面ABC.,(2)ADAC.,證明,證明因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD， 平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD， 所以BC平面ABD. 因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD. 又ABAD，BCABB，AB平面ABC， BC平面ABC，所以AD平面ABC. 又AC平面ABC，所以ADAC.,押題預(yù)測,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)空間兩條直線、兩個(gè)平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn).此類題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識(shí)相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力.,1.不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個(gè)平面，內(nèi)，下列為真命題的是 A.mnm B.mn C.m D.mn,答案,解析構(gòu)造長方體，如圖所示. 因?yàn)锳1C1AA1，A1C1平面AA1C1C， AA1平面AA1B1B， 但A1C1與平面AA1B1B不垂直， 平面AA1C1C與平面AA1B1B也不垂直， 所以選項(xiàng)A，B都是假命題. CC1AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以選項(xiàng)D為假命題. “若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個(gè)平面”是真命題，故選C.,押題依據(jù)以平面圖形的翻折為背景，探索空間直線與平面位置關(guān)系，可以考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，預(yù)計(jì)將成為今年高考的命題方向.,證明,押題依據(jù),2.如圖(1)，在正ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且BEAF2CF.點(diǎn)P為邊BC上的點(diǎn)，將AEF沿EF折起到,A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC， 連接A1B，A1P，EP，如圖(2)所示. (1)求證：A1EFP；,證明在正ABC中，取BE的中點(diǎn)D，連接DF，如圖所示. 因?yàn)锽EAF2CF， 所以AFAD，AEDE，而A60， 所以ADF為正三角形.又AEDE，所以EFAD. 所以在題圖(2)中，A1EEF， 又A1E平面A1EF，平面A1EF平面BEFC， 且平面A1EF平面BEFCEF， 所以A1E平面BEFC. 因?yàn)镕P平面BEFC，所以A1EFP.,解答,(2)若BPBE，點(diǎn)K為棱A1F的中點(diǎn)，則在平面A1FP上是否存在過點(diǎn)K的直線與平面A1BE平行，若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.,解在平面A1FP上存在過點(diǎn)K的直線與平面A1BE平行. 理由如下： 如題圖(1)，在正ABC中，因?yàn)锽PBE，BEAF， 所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE. 如圖所示，取A1P的中點(diǎn)M，連接MK， 因?yàn)辄c(diǎn)K為棱A1F的中點(diǎn)， 所以MKFP. 因?yàn)镕PBE，所以MKBE.,因?yàn)镸K平面A1BE，BE平面A1BE， 所以MK平面A1BE. 故在平面A1FP上存在過點(diǎn)K的直線MK與平面A1BE平行.,