第41講簡單的線性規(guī)劃,考試要求1.從實際情境中抽象出二元一次不等式(組)，二元一次不等式的幾何意義(A級要求)；2.用平面區(qū)域表示二元一次不等式組(A級要求)；3.從實際情況中抽象出一些簡單的線性規(guī)劃問題，并加以解決(A級要求).,1.(教材改編)已知點(diǎn)A(1，0)，B(2，m)，若A，B兩點(diǎn)在直線x2y30的同側(cè)，則m的取值集合是_.,診 斷 自 測,2.(教材改編)如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是_.,解析可行域如圖陰影部分所示，當(dāng)直線y2xz取到點(diǎn)(6，3)時，所求最小值為15.,答案15,解析作出可行域如圖中陰影部分所示，zx2y2的最小值表示陰影部分(包含邊界)中的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值的平方，由圖可知直線xy10與直線x1的交點(diǎn)(1，2)到原點(diǎn)的距離最近，故zx2y2的最小值為12225.,答案5,1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域,(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的_.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域_邊界直線.當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式AxByC0所表示的 平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)_邊界直線，則把邊界直線畫成_. (2)由于對直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入AxByC，所得的符號都_，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測試點(diǎn)，由Ax0By0C的_即可判斷AxByC0表示的直線是AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域.,知 識 梳 理,平面區(qū)域,不包括,包括,實線,相同,符號,2.線性規(guī)劃相關(guān)概念,一次,最大值,最小值,一次,線性約束條件,可行解,最大值,最小值,最大值,最小值,3.重要結(jié)論,畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點(diǎn)定域： (1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線； (2)特殊點(diǎn)定域：若直線不過原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線過原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0，1)或(1，0)來驗證.,4.判斷區(qū)域方法,(1)利用“同號上，異號下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域： 對于AxByC0或AxByC0時，區(qū)域為直線AxByC0的上方； 當(dāng)B(AxByC)<0時，區(qū)域為直線AxByC0的下方. (2)最優(yōu)解和可行解的關(guān)系： 最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時唯一，有時有多個.,考點(diǎn)一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域,C點(diǎn)橫坐標(biāo)xC2m，,(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.,規(guī)律方法(1)求平面區(qū)域的面積： 首先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題，從而再作出平面區(qū)域； 對平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個三角形分別求解再求和即可. (2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.,由圖可知，當(dāng)m1時， 函數(shù)y2x的圖象上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件， 故m的最大值為1. (2)不等式xy50和0 x2表示的平面區(qū)域如圖所示.,因為原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形及其內(nèi)部，所以由圖可知5a<7. 答案(1)1(2)5，7),考點(diǎn)二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題,解析(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.,易知A(2，0)，,由zaxy，得yaxz. 當(dāng)a0時，zaxy在A(2，0)或B(1，1)處取得最大值， 2a4或a14，a2，a3(經(jīng)檢驗舍去)，則a2滿足題意. (2)作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).,易知直線z2xy過交點(diǎn)A時，z取最小值，,規(guī)律方法(1)此題中與z有關(guān)量的幾何意義不再是縱截距，而是點(diǎn)到點(diǎn)的距離、斜率、點(diǎn)到直線的距離.(2)在第(3)問中才是點(diǎn)到直線的距離.,考點(diǎn)三可轉(zhuǎn)化線性規(guī)劃的問題,答案e，7,作出可行域如圖中陰影部分所示，,考點(diǎn)四線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題 【例4】 某玩具生產(chǎn)公司每天計劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時間不超過10小時.若生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元.,(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤(元)； (2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？,解(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100 xy， 所以利潤5x6y3(100 xy)2x3y300.,作出可行域，如圖所示，,作初始直線l0：2x3y0，平移l0，當(dāng)l0經(jīng)過點(diǎn)A時， 有最大值，,最優(yōu)解為A(50，50)，此時max550元. 故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，且最大利潤為550元.,規(guī)律方法解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟 (1)審題：仔細(xì)閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系. (2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù). (3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(diǎn)(最優(yōu)解). (4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值). (5)檢驗：根據(jù)結(jié)果，檢驗反饋.,