專題一 三角函數(shù)和平面向量 第1講三角函數(shù)的化簡與求值,第1講三角函數(shù)的化簡與求值 1.已知,若sin=,則sin =.,答案,解析由題意可得cos=, 所以sin = sin=+=.,2.計(jì)算=.,答案,解析= =.,3.若2sin -3cos =-,2cos -3sin =-,則sin(+)=.,答案,解析兩式平方相加得13-12sin cos -12cos sin =, 則12sin(+)=13- =,sin(+)=.,4.設(shè)當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則cos =.,答案-,解析f(x)=sin x-2cos x=sin(x-),cos =,sin =,當(dāng)=+2k+,kZ 時(shí),函數(shù)取得最大值, 此時(shí)cos =cos=-sin =-.,5.已知銳角,滿足(tan -1)(tan -1)=2,則+的值為 .,答案,解析由題意可得-(tan +tan )=1-tan tan ,則tan(+)=-1,又 ,則+(0,),所以+=.,題型一三角函數(shù)定義與三角函數(shù)的化簡與求值的綜合問題,例1(2018高考數(shù)學(xué)模擬)如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,角的頂點(diǎn)是原點(diǎn),始邊與x軸正半軸重合,終邊交單位圓于點(diǎn)A,且.將角的終邊按逆時(shí)針 方向旋轉(zhuǎn),交單位圓于點(diǎn)B,記A(x1,y1),B(x2,y2).,(1)若x1=,求x2; (2)分別過A,B作x軸的垂線,垂足依次為C,D,記AOC的面積為S1,BOD的面積為S2,若S1=2S2,求角的值.,解析(1)由三角函數(shù)定義知,x1=cos ,x2=cos,因?yàn)?cos =, 所以sin =, 所以x2=cos=cos -sin =. (2)依題意,y1=sin ,y2=sin,所以 S1=x1y1=cos sin =sin 2,S2=|x2|y2 =sin=-sin,依題意,sin 2=-2sin,化簡得 cos 2=0,因?yàn)?lt;<,則<2<,所以2=,即=.,【方法歸納】(1)角的終邊上一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)P(x,y),且|OP|=r=, 可利用三角函數(shù)定義將點(diǎn)P的坐標(biāo)與角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,若已知點(diǎn)P的坐標(biāo),可利用公式sin =,cos =,tan =求角的三角函數(shù)值;若已知角,可 利用公式x=rcos ,y=rsin 求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)三角函數(shù)的給值求角問題,在求出角的三角函數(shù)值后,結(jié)合角的范圍求解,必要時(shí)需要根據(jù)題意縮小角的范圍.,1-1在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A,B,C均在單位圓上,已知點(diǎn)A在第一象限內(nèi),且其橫坐標(biāo)是,點(diǎn)B在第二象限內(nèi),點(diǎn)C(1,0). (1)設(shè)COA=,求sin 2的值; (2)若AOB為正三角形,求點(diǎn)B的坐標(biāo).,題型二給定三角函數(shù)值,對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡與求值,例2(2018江蘇,16,14分)已知,為銳角,tan =,cos(+)=-. (1)求cos 2的值; (2)求tan(-)的值.,解析(1)因?yàn)閠an =,所以sin =cos . 因?yàn)閟in2+cos2=1,所以cos2=, 因此,cos 2=2cos2-1=-. (2)因?yàn)?為銳角,所以+(0,). 又因?yàn)閏os(+)=-, 所以sin(+)=, 因此,tan(+)=-2.,因?yàn)閠an =,所以tan 2=-, 因此,tan(-)=tan2-(+)=-.,【方法歸納】解決三角函數(shù)的給值求角問題的關(guān)鍵是角的變換和三角公式的選擇,對于角的變換,若已知角與所求角之間有2倍的關(guān)系,則利用二倍角公式求解,在此過程中,要注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式sin2+cos2=1與tan =的應(yīng)用;若已知角與所求角之間是和或差的形式,則先用已知角和特 殊角表示所求角,再確定選用的三角公式.,2-1(2018江蘇如東高級中學(xué)高三期中)已知,都是銳角,且sin =,tan(-) =-. (1)求sin(-)的值; (2)求cos 的值.,解析(1)因?yàn)?所以-<-<. 又因?yàn)閠an(-)=-<0,所以-<-<0. 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得sin2(+)+cos2(+)=1,且=-, 解得sin(-)=-. (2)由(1)可得cos(-)=. 因?yàn)闉殇J角,sin =,所以cos =.,所以cos =cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=+= .,題型三已知三角恒等式的三角函數(shù)式的化簡與求值,例3已知sin(2+)=3sin ,設(shè)tan =x,tan =y,記y=f(x). (1)求f(x)的解析式; (2)若角是一個(gè)三角形的最小內(nèi)角,試求函數(shù)f(x)的值域.,解析(1)解法一:注意角的變換:2+=(+)+,=(+)-. 由sin(2+)=3sin , 得sin(+)+=3sin(+)-, 則sin(+)cos +cos(+)sin =3sin(+)cos -3cos(+)sin , 所以sin(+)cos =2cos(+)sin , 所以tan(+)=2tan , 即=2tan ,即=2x,所以y=,即f(x)=. 解法二:直接展開,利用“1”的變換. 因?yàn)閟in(2+)=sin 2cos +cos 2sin =3sin , 所以2sin cos cos +(cos2-sin2)sin =3sin , 所以+tan =3tan , 所以+tan =3tan , 即+y=3y,所以y=,即f(x)=. (2)因?yàn)榻鞘且粋€(gè)三角形的最小內(nèi)角, 所以0<,所以0<x. 又f(x)=,設(shè)g(x)=2x+(0<x), 則g(x)=2x+2, 故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,【方法歸納】已知三角恒等式的三角函數(shù)式的化簡與求值,常用所求角表示已知角,即對已知恒等式中的角進(jìn)行變換,使其與所求角建立聯(lián)系,同時(shí)要注意同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在解題中的應(yīng)用.,3-1若sin =3sin(2-),則2tan(-)+tan =.,答案0,解析由sin =3sin(2-)得sin-(-)=3sin+(-),則sin cos(-)-cos sin(-)=3sin cos(-)+cos sin(-),化簡得sin cos(-)=-2cos sin(-),則tan =-2tan(-),所以2tan(-)+tan =0.,