第 三 講,1.5 系統(tǒng)的特性與分類,系統(tǒng)的定義,系統(tǒng)的分類及性質(zhì),一、系統(tǒng)的定義,系統(tǒng)： 具有特定功能的總體，可以看作信號的變換器、處理器。 電系統(tǒng)是電子元器件的集合體。 電路側(cè)重于局部，系統(tǒng)側(cè)重于整體。 電路、系統(tǒng)兩詞通用。,二、 系統(tǒng)的分類及性質(zhì),可以從多種角度來觀察、分析研究系統(tǒng)的特征，提出對系統(tǒng)進(jìn)行分類的方法。常用的分類有：,連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng) 單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng) 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng) 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng),1. 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng),連續(xù)(時間)系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為連續(xù)信號。,離散(時間)系統(tǒng)：系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)均為離散信號。,混合系統(tǒng)： 系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)一個是連續(xù)信號，一個是離散信號。如A/D、D/A轉(zhuǎn)換器。,2. 動態(tài)系統(tǒng)與即時系統(tǒng),動態(tài)系統(tǒng)也稱為記憶系統(tǒng)。 若系統(tǒng)在任一時刻的響應(yīng)不僅與該時刻的激勵有關(guān)，而且與它過去的歷史狀況有關(guān)，則稱為動態(tài)系統(tǒng) 或記憶系統(tǒng)。 含有記憶元件(電容、電感等)的系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)。 否則稱即時系統(tǒng)或無記憶系統(tǒng)。,3. 單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng),單輸入單輸出系統(tǒng)： 系統(tǒng)的輸入、輸出信號都只有一個。 多輸入多輸出系統(tǒng)： 系統(tǒng)的輸入、輸出信號有多個。,4. 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng),線性系統(tǒng)：指滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)。,線性性質(zhì)：齊次性和可加性,可加性：,齊次性：,f() y(),y() = T f () f () y(),a f() a y(),f1() y1(),f2() y2(),f1() +f2() y1()+y2(),af1() +bf2() ay1()+by2(),綜合，線性性質(zhì)：,動態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件,動態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵 f () 有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)有關(guān)。 初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵”。,(1) 可分解性： y () =yzs() + yzi(),(2) 零狀態(tài)線性： Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0,y () = T f () , x(0) yzs() = T f () , 0， yzi() = T 0，x(0),(3) 零輸入線性： T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0),舉例1,舉例2,判斷線性系統(tǒng)舉例,例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t),解： （1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 顯然， y (t) yzs(t) yzi(t) 不滿足可分解性，故為非線性 （2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 滿足可分解性； 由于 Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t) 不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。 （3） yzi(t) = x2(0)，T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不,滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。,例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？,解：,y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 滿足可分解性；,Ta f1(t)+ b f2(t) , 0,= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，滿足零狀態(tài)線性；,T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 滿足零輸入線性；,所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。,5. 時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng),時不變系統(tǒng)：指滿足時不變性質(zhì)的系統(tǒng)。,時不變性（或移位不變性） ： f(t ) yzs(t ),f(t - td) yzs(t - td),舉例,判斷時不變系統(tǒng)舉例,例：判斷下列系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)？ （1） yzs(k) = f (k) f (k 1) （2） yzs (t) = t f (t) （3） y zs(t) = f ( t),解: (1) 令g (k) = f(k kd) T0， g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而 yzs (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 顯然 T0，f(k kd) = yzs (k kd) 故該系統(tǒng)是時不變的。 (2) 令g (t) = f(t td) ， T0， g (t) = t g (t) = t f (t td) 而 yzs (t td)= (t td) f (t td) 顯然T0，f(t td) yzs (t td) 故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。,(3) 令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而 yzs (t td) = f ( t td)，顯然 T0，f(t td) yzs (t td) 故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。,直觀判斷方法： 若f ()前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。,LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性,本課程重點(diǎn)討論線性時不變系統(tǒng) (Linear Time-Invariant)，簡稱LTI系統(tǒng)。,(1) 微分特性： 若 f (t) yzs(t) ， 則 f (t) yzs (t) (2) 積分特性： 若 f (t) yzs(t) ， 則,證明,LTI系統(tǒng)微分特性證明,f(t) yzs(t),f(t - t) yzs(t - t),根據(jù)時不變性質(zhì)，有,利用線性性質(zhì)得,對零狀態(tài)系統(tǒng),t 0 得,6. 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng),因果系統(tǒng)： 指零狀態(tài)響應(yīng)不會出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng)。,即對因果系統(tǒng)， 當(dāng)t < t0 ，f(t) = 0時，有t < t0 ，yzs(t) = 0。,輸出不超前于輸入。,判斷方法：,舉例,綜合舉例,因果系統(tǒng)判斷舉例,如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：,yzs(t) = 3f(t 1),而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：,(1) yzs(t) = 2f(t + 1),(2) yzs(t) = f(2t),因?yàn)?，令t=1時，有yzs(1) = 2f(2),因?yàn)?，若f(t) = 0， t < t0，有yzs(t) = f(2t)=0, t < 0.5 t0 。,綜合舉例,例: 某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0)。已知，當(dāng)x(0) =1，輸入因果信號f1(t)時，全響應(yīng) y1(t) = e t + cos (t)，t0； 當(dāng)x(0-) =2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，全響應(yīng) y2(t) = 2e t +3 cos (t)，t0； 求輸入f3(t) = +2f1(t1)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3f(t) 。,解: 設(shè)當(dāng)x(0) =1，輸入因果信號f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1zi(t)、y1zs(t)。當(dāng)x(0) =2，輸入信號f2(t)=3f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2zi(t)、y2zs(t)。,由題中條件，有 y1(t) =y1zi(t) + y1zs(t) = e t + cos (t)，t0 （1） y2(t) = y2zi(t) + y2zs(t) = 2e t +3 cos (t)，t0 （2） 根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，y2zi(t) = 2y1zi(t)， y2zs(t) =3y1zs(t)，代入式（2）得 y2(t) = 2y1zi(t) +3 y1zs(t) = 2e t +3 cos (t)，t0 （3） 式(3) 2式(1)，得 y1zs(t) = 4e t + cos (t)，t0 由于y1zs(t) 是因果系統(tǒng)對因果輸入信號f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1zs(t)=0；因此y1zs(t)可改寫成 y1zs(t) = 4e t + cos (t)(t) (4),f1(t) y1zs(t) = 4e t + cos (t)(t),根據(jù)LTI系統(tǒng)的微分特性,= 3(t) + 4et sin (t)(t),根據(jù)LTI系統(tǒng)的時不變特性,f1(t1) y1zs(t 1) = 4e (t1) + cos (t1)(t1),由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入f3(t) = +2f1(t1)時，,y3zs(t) = + 2y1(t1) = 3(t) + 4e tsin (t)(t) + 24e (t1) + cos (t1)(t1),實(shí)際的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)均為因果系統(tǒng),非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實(shí)際的意義，如信號的壓縮、擴(kuò)展，語音信號處理等。 若信號的自變量不是時間，如位移、距離、亮度等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要。,因果信號,可表示為：,t = 0接入系統(tǒng)的信號稱為因果信號。,7. 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng),一個系統(tǒng)，若對有界的激勵f()所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yzs()也是有界時，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。即 若f()<，其yzs()< 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,如yzs(k) = f(k) + f(k1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而,是不穩(wěn)定系統(tǒng)。,因?yàn)?，?dāng)f(t) =(t)有界，,當(dāng)t 時，它也，無界。,1.6 系統(tǒng)的描述和分析方法,系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,系統(tǒng)的框圖描述,系統(tǒng)分析方法概述,系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。,形象地表示其功能。,一、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,連續(xù)系統(tǒng)解析描述：微分方程 離散系統(tǒng)解析描述：差分方程,1. 連續(xù)系統(tǒng)的解析描述,圖示RLC電路，以uS(t)作激勵，以uC(t)作為響應(yīng)，由KVL和VAR列方程，并整理得,二階常系數(shù)線性微分方程。,抽去具有的物理含義，微分方程寫成,這個方程也可以描述下面的一個二階機(jī)械減振系統(tǒng)。,機(jī)械減振系統(tǒng),其中，k為彈簧常數(shù)，M為物體質(zhì)量，C為減振液體的阻尼系數(shù)，x為物體偏離其平衡位置的位移，f(t)為初始外力。其運(yùn)動方程為,能用相同方程描述的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。,2. 離散系統(tǒng)的解析描述,例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為元/月，求第k個月初存折上的款數(shù)。 設(shè)第k個月初的款數(shù)為y(k),這個月初的存款為f(k),上個月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為y(k-1),則 y(k)= y(k-1)+ y(k-1)+f(k) 即 y(k)-(1+)y(k-1) = f(k) 若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)= f(0)。 上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項與輸入序列項構(gòu)成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。,由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。,描述LTI系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程,例：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時不變？ 并寫出方程的階數(shù)。 （1）y(k) + (k 1)y(k 1) = f(k) （2） y(k) + y(k+1) y(k 1) = f2(k) （3） y(k) + 2 y(k 1) = f(1 k)+1,解：判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項，則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時不變的。,線性、時變，一階,非線性、時不變，二階,非線性、時變，一階,二、系統(tǒng)的框圖描述,連續(xù)系統(tǒng)的基本單元 離散系統(tǒng)的基本單元 系統(tǒng)模擬,上述方程從數(shù)學(xué)角度來說代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分（差分）、相加運(yùn)算。將這些基本運(yùn)算用一些基本單元符號表示出來并相互連接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡稱框圖。,1. 連續(xù)系統(tǒng)的基本單元,延時器,加法器,積分器,數(shù)乘器,乘法器,2. 離散系統(tǒng)的基本單元,加法器,遲延單元,數(shù)乘器,3. 系統(tǒng)模擬,實(shí)際系統(tǒng)方程模擬框圖 實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計,例1,例2,例3,例4,方程框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。,由微分方程畫框圖舉例1,例1：已知y(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。,解：將方程寫為 y(t) = f(t) ay(t) by(t),由微分方程畫框圖舉例2,例2 請畫出如下微分方程所代表的系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。,解1：,解法二,解2：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。 設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足 x(t) + 3x(t)+ 2x(t) = f(t) 可推導(dǎo)出 y(t) = x(t) + x(t)，它滿足原方程。,由框圖寫微分方程舉例,例3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。,設(shè)輔助變量x(t)如圖,x(t),x(t),x(t),x(t) = f(t) 2x(t) 3x(t) ,即x(t) + 2x(t) + 3x(t) = f(t),y(t) = 4x(t)+ 3x(t),根據(jù)前面，逆過程，得,y(t) + 2y(t) + 3y(t) = 4f (t)+ 3f(t),由框圖寫差分方程舉例4,例4：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。,解：設(shè)輔助變量x(k)如圖,x(k),x(k 1),x(k 2),即 x(k) +2x(k 1) +3x(k 2) = f(k) y(k) = 4x(k 1) + 5x(k 2) 消去x(k) 得 y(k) +2y(k 1) +3y(k 2) = 4f(k 1) + 5f(k 2),x(k)= f(k) 2x(k 1) 3x(k 2),三 、 LTI系統(tǒng)分析概述,系統(tǒng)分析研究的主要問題：對給定的具體系統(tǒng)，求出它對給定激勵的響應(yīng)。 具體地說：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。,系統(tǒng)的分析方法：,輸入輸出法（外部法）,狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）（chp.8),外部法,時域分析（chp.2,chp.3),變換域法,連續(xù)系統(tǒng)頻域法(chp.4)和復(fù)頻域法(chp.5),離散系統(tǒng)頻域法(chp.4)和z域法(chp.6),系統(tǒng)特性：系統(tǒng)函數(shù)（chp.7),求解的基本思路：,把零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分開求。 把復(fù)雜信號分解為眾多基本信號之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性：多個基本信號作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個基本信號所引起的響應(yīng)之和。,采用的數(shù)學(xué)工具：,時 域： 卷積積分與卷積和 頻 域： 傅里葉變換 復(fù)頻域：拉普拉斯變換與z變換,課外作業(yè),PP. 35-38 1.12， 1.14, 1.20, 1.23 (1), 1.24 (1),END,