第5節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì),最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.,1.直線與平面垂直,(1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面內(nèi)的_直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面互相垂直.,知 識(shí) 梳 理,任意,(2)判定定理與性質(zhì)定理,兩條相交直線,la,lb,a,b,平行,a,b,2.平面與平面垂直,(1)平面與平面垂直的定義 兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是_，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.,直二面角,(2)判定定理與性質(zhì)定理,垂線,l,l,交線,a,la,l,常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化,(1)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線. (2)若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面. (3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行. (4)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直. (5)過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.,2.直線與平面垂直的五個(gè)結(jié)論,診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”),(1)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l.() (2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行.() (3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面.() (4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則.(),解析(1)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)或l與斜交或l或l，故(1)錯(cuò)誤. (2)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行或相交，故(2)錯(cuò)誤. (3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內(nèi)，故(3)錯(cuò)誤. (4)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面內(nèi)的所有直線，則，故(4)錯(cuò)誤.,答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2P56A組7T改編)下列命題中錯(cuò)誤的是() A.如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 B.如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面 C.如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D.如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面,解析對(duì)于D，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，即與平面的關(guān)系還可以是斜交、平行或在平面內(nèi)，其他選項(xiàng)易知均是正確的. 答案D,3.(2016浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿(mǎn)足m，n，則() A.ml B.mnC.nl D.mn 解析因?yàn)閘，所以l，又n，所以nl， 故選C. 答案C,4.(2017全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則() A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC,解析如圖，由題設(shè)知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，從而A1B1BC1，又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1.,答案C,答案B,6.(必修2P67練習(xí)2改編)在三棱錐PABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O， (1)若PAPBPC，則點(diǎn)O是ABC的_心. (2)若PAPB，PBPC，PCPA，則點(diǎn)O是ABC的_心.,解析(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP， 在RtPOA、RtPOB和RtPOC中，PAPCPB， 所以O(shè)AOBOC，即O為ABC的外心.,圖1,圖2,(2)如圖2，PCPA，PBPC，PAPBP， PC平面PAB，AB平面PAB， PCAB，又ABPO，POPCP， AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG， 即CG為ABC邊AB的高. 同理可證BD，AH分別為ABC邊AC，BC上的高，即O為ABC的垂心. 答案(1)外(2)垂,考點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì),【例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD， ABAD，ACCD，,ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn).證明： (1)CDAE； (2)PD平面ABE.,證明(1)在四棱錐PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD， 又ACCD，且PAACA， CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中點(diǎn)，AEPC. 由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD. 而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.,又ABAD，且PAADA， AB平面PAD，而PD平面PAD， ABPD. 又ABAEA，PD平面ABE. 規(guī)律方法(1)證明直線和平面垂直的常用方法有： 判定定理；垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；面面平行的性質(zhì)(a，a)；面面垂直的性質(zhì)(，a，la，ll). (2)證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想.,求證：PACD.,考點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì),【例2】 (2017江蘇卷)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.,求證：(1)EF平面ABC； (2)ADAC.,證明(1)在平面ABD內(nèi)，ABAD，EFAD， 則ABEF. AB平面ABC，EF平面ABC， EF平面ABC. (2)BCBD，平面ABD平面BCDBD，平面ABD平面BCD，BC平面BCD，BC平面ABD. AD平面ABD，BCAD. 又ABAD，BC，AB平面ABC，BCABB， AD平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，ADAC.,規(guī)律方法(1)證明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定義；面面垂直的判定定理. (2)已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.,【訓(xùn)練2】 (2017山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，A1E平面ABCD.,(1)證明：A1O平面B1CD1； (2)設(shè)M是OD的中點(diǎn)，證明：平面A1EM平面B1CD1.,證明(1)取B1D1的中點(diǎn)O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1OC，A1O1OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形， 所以A1OO1C， 又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1， 所以A1O平面B1CD1.,(2)因?yàn)锳CBD，E，M分別為AD和OD的中點(diǎn)， 所以EMBD， 又A1E平面ABCD，BD平面ABCD， 所以A1EBD， 因?yàn)锽1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1， 又A1E，EM平面A1EM，A1EEME， 所以B1D1平面A1EM， 又B1D1平面B1CD1， 所以平面A1EM平面B1CD1.,考點(diǎn)三平行與垂直的綜合問(wèn)題(多維探究) 命題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明,【例31】 如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：,(1)直線DE平面A1C1F； (2)平面B1DE平面A1C1F.,證明(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC. 在ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， 所以DEAC，于是DEA1C1. 又因?yàn)镈E平面A1C1F，A1C1平面A1C1F， 所以直線DE平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1. 因?yàn)锳1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1. 又因?yàn)锳1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，,A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1. 因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D. 又因?yàn)锽1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F. 因?yàn)橹本€B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F.,規(guī)律方法(1)三種垂直的綜合問(wèn)題，一般通過(guò)作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化. (2)垂直與平行的結(jié)合問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用.,命題角度2平行垂直中探索性問(wèn)題,【例32】 如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BCCE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn).,(1)證明：AE平面BDF. (2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PMBE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.,(1)證明連接AC交BD于O，連接OF，如圖. 四邊形ABCD是矩形，O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)， OF為ACE的中位線， OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF， AE平面BDF.,(2)解當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PMBE， 證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH，P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)， PHAB，又ABCD，PHCD，P，H，C，D四點(diǎn)共面. 平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC.CD平面BCE，又BE平面BCE， CDBE，BCCE，H為BE的中點(diǎn)，CHBE， 又CDCHC，BE平面DPHC，又PM平面DPHC， BEPM，即PMBE.,規(guī)律方法(1)求條件探索性問(wèn)題的主要途徑：先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；先通過(guò)命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性. (2)涉及點(diǎn)的位置探索性問(wèn)題一般是先根據(jù)條件猜測(cè)點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)存在問(wèn)題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識(shí)建點(diǎn).,(1)求證：AC平面FBC. (2)求四面體FBCD的體積. (3)線段AC上是否存在點(diǎn)M，使EA平面FDM？若存在，請(qǐng)說(shuō)明其位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.,(3)解線段AC上存在點(diǎn)M，且點(diǎn)M為AC中點(diǎn)時(shí)，有EA平面FDM.證明如下：,連接CE，與DF交于點(diǎn)N，取AC的中點(diǎn)M，連接MN. 因?yàn)樗倪呅蜟DEF是正方形， 所以點(diǎn)N為CE的中點(diǎn). 所以EAMN.因?yàn)镸N平面FDM，EA平面FDM， 所以EA平面FDM. 所以線段AC上存在點(diǎn)M，且M為AC的中點(diǎn)，使得EA平面FDM成立.,