水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡,曲面方程的定義：,曲面的實(shí)例：,第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面,觀察柱面的形成過程:,定義4.1.1 平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.,這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動直線叫柱面的母線.,4.1 柱面,母線,準(zhǔn)線,柱面舉例：,拋物柱面,平面,拋物柱面方程：,平面方程：,從柱面方程看柱面的特征：,（其他類推）,實(shí) 例,橢圓柱面，,雙曲柱面 ，,拋物柱面，,母線/ 軸,母線/ 軸,母線/ 軸,1. 橢圓柱面,2. 雙曲柱面,4.2 錐面,定義4.2.1 通過一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面叫做錐面.,這些直線都叫做錐面的母線.,那個(gè)定點(diǎn)叫做錐面的頂點(diǎn).,錐面的方程是一個(gè)三元方程.,特別當(dāng)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)：,n次齊次方程,F(x,y,z)= 0,的圖形是以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面；,方程 F(x,y,z)= 0是 n次齊次方程：,準(zhǔn)線,頂點(diǎn),F(x,y,z)= 0.,反之，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面的方程是n次齊次方程,錐面是直紋面,錐面的準(zhǔn)線不唯一，和一切母線都相交的每一條曲線都可以作為它的母線.,請同學(xué)們自己用截痕法 研究其形狀.,橢圓錐面,解,圓錐面方程,或,43 旋轉(zhuǎn)曲面,目標(biāo)：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，掌握旋轉(zhuǎn)曲面的有關(guān)概念，熟練掌握旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法，了解幾個(gè)常見的旋轉(zhuǎn)曲面. 重點(diǎn)難點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法.,圖4-3,方程,解,下面特殊的旋轉(zhuǎn)曲面,曲線 C,C,繞 z軸,曲線 C,C,繞z軸,.,曲線 C,旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面 S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,繞 z軸,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),., S,曲線 C,旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面 S,C,S,M,N,z,P,.,繞 z軸,.,.,f (y1, z1)=0,M(x,y,z),f (y1, z1)=0,f (y1, z1)=0,., S,建立旋轉(zhuǎn)曲面的方程：,如圖,將 代入,得方程,方程,結(jié)論（規(guī)律）： 當(dāng)坐標(biāo)面上的曲線繞此坐標(biāo)面上的一個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，求此旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只需將在 此坐標(biāo)面里的方程改變即得，改變的方法是：保留與旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其他兩個(gè) 坐標(biāo)的平方和的平方根代替方程中的另一坐標(biāo)。,旋轉(zhuǎn)橢球面,旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面,旋轉(zhuǎn)拋物面,幾種 特殊旋轉(zhuǎn)曲面,1 雙葉旋轉(zhuǎn)曲面 2 單葉旋轉(zhuǎn)曲面 3 旋轉(zhuǎn)錐面 4 旋轉(zhuǎn)拋物面 5 環(huán)面,x,0,1 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,繞 x 軸一周,x,0,.,繞 x 軸一周,1 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,x,0,.,1 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,.,繞 x 軸一周,a,2 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上題雙曲線,繞 y 軸一周,a,.,上題雙曲線,繞 y 軸一周,2 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,a,.,.,.,2 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面,上題雙曲線,繞 y 軸一周,3 旋轉(zhuǎn)錐面,兩條相交直線,繞 x 軸一周,.,兩條相交直線,繞 x 軸一周,3 旋轉(zhuǎn)錐面,.,兩條相交直線,繞 x 軸一周,得旋轉(zhuǎn)錐面,.,3 旋轉(zhuǎn)錐面,o,4 旋轉(zhuǎn)拋物面,拋物線,繞 z 軸一周,o,.,拋物線,繞 z 軸一周,4 旋轉(zhuǎn)拋物面,y,.,o,x,z,生活中見過這個(gè)曲面嗎？,.,4 旋轉(zhuǎn)拋物面,拋物線,繞 z 軸一周,得旋轉(zhuǎn)拋物面,5環(huán)面,r,R,繞 y軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面,5環(huán)面,繞 y軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面,.,5環(huán)面,繞 y軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面,環(huán)面方程,.,生活中見過這個(gè)曲面嗎？,.,.,救生圈,.,5 環(huán)面,二次曲面的定義：,三元二次方程所表示的曲面稱之為二次曲面,相應(yīng)地平面被稱為一次曲面,討論二次曲面形狀的截痕法：,用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌,以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面,二次曲面,截痕法,用z = h截曲面,用y = m截曲面,用x = n截曲面,a,b,c,4.4 橢球面,橢球面的方程,橢球面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線：,橢球面,橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.,橢球面與平面 的交線為橢圓,同理與平面 和 的交線也是橢圓.,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,由橢圓 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成,旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別：,方程可寫為,與平面 的交線為圓.,球面,截面上圓的方程,方程可寫為,4.5 (1) 單葉雙 曲 面,解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，其主要內(nèi)容可示意如下：,第一章,點(diǎn),坐標(biāo),軌跡,方程,第二章,曲面,曲線,普通,參數(shù),平面,與直線,第三章,方程與關(guān)系,一般曲面,第四章,常見曲面和二次曲面,第五章,二次曲線的一般理論,一般曲線,一、概念,在空間直角坐標(biāo)系中，由方程,所表示的曲面，叫做單葉雙曲面, 此方程叫做單葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.,方程,與,表示的曲面也是單葉雙曲面.,二、性質(zhì),1. 對稱性,中心 ：,坐標(biāo)原點(diǎn)（1個(gè)）;,主軸 ：,x軸、y軸和z軸（3條）;,主平面：,xOy面、yOz面和zOx面（3個(gè)）.,2. 截距和頂點(diǎn),x=0, y=0 z無解,則z 軸上沒有頂點(diǎn)；,x=0, z=0 y = b,則y軸上有頂點(diǎn):,z=0, y=0 x = a,則x軸上有頂點(diǎn):,（0，b ，0）（2個(gè)）；,（a，0，0）（2個(gè)）.,3.主截線,(1),: 雙曲線,實(shí)軸為y軸, 虛軸為z軸;,: 雙曲線,實(shí)軸為x軸, 虛軸為z軸;,(2),(3),: (腰橢圓）.,4.平行截線,無論h取何值，此方程組總表示在平面:,上的橢圓，,它的兩半軸為：,與,此時(shí)橢圓的兩軸端點(diǎn),（ ，0， h）,與,（0， ， h）,分別在兩條主截線,（雙,曲線）上，,且所在平面與腰橢圓平行.,結(jié)論：單葉雙曲面可以看成是由一個(gè)橢圓變動其大小和位置而產(chǎn)生的，在變動中這個(gè)橢圓始終保持：所在平面平行于xOy面，且兩軸的端點(diǎn)分別沿著yOz和zOx面上的主截線（雙曲線）滑動。,三、圖形,根據(jù)以上討論，可畫出單葉雙曲面的圖形如下：,主雙曲線（yoz面）,腰橢圓（xoy面）,主雙曲線 （xoz面）,主雙曲線 （yoz面）,主雙曲線 （xoz面）,腰橢圓 （xoy面）,四、總結(jié),單葉雙曲面的圖形可由一族橢圓生成，由這個(gè)無界的曲面可聯(lián)想到宇宙的廣袤。因此，在美國有一座天文館，就建成單葉雙曲面的形狀，其設(shè)計(jì)師就是由彗星的橢圓、雙曲線軌道聯(lián)想到這幅探索宇宙空間的精美圖畫。這充分表現(xiàn)了設(shè)計(jì)者極高的數(shù)學(xué)素質(zhì)和審美意識。,由此我們聯(lián)想到圓柱面在建筑藝術(shù)上的應(yīng)用：圓柱面是由與一條定圓相交且垂直于此定圓所在平面的一族直線產(chǎn)生的軌跡，因而既具有圓的柔軟性，又具有直線的堅(jiān)硬性，融剛直與柔軟于一體。正是這種特有的性質(zhì)，世界上眾多的建筑尤其是體育館都建成圓柱形（如上海的萬體館等），這種建筑形狀所包含的審美內(nèi)容是豐富的，它是團(tuán)結(jié)、友誼的顯現(xiàn)（圓的意義），又是力量、意志的象征（直線的意義），即奧林匹克精神。,抽象的幾何圖形，一旦納入審美的藝術(shù)范疇，會帶來特殊的美感，抽象的幾何圖形被美學(xué)家稱為“有意味的形式”，正好表現(xiàn)出它有特殊意味的審美內(nèi)容，因此，在觀察幾何圖形時(shí)應(yīng)重視美的聯(lián)想。,作業(yè)：P165習(xí)題3,4,5.,（摘自“解析幾何教學(xué)中,的審美教育”，馬世祥等，甘肅高師學(xué)報(bào)，2005，Vol.10 NO.2）,上海萬體館,夜景,近景,已知軌跡求方程：,1.求出,矢量式參數(shù)方程；,2.寫出,坐標(biāo)式參數(shù)方程；,3. 轉(zhuǎn)化,為普通方程。,已知方程，,求空間軌跡：,參數(shù)方程,數(shù)參數(shù),1.,（一個(gè)參數(shù)為曲線，,兩個(gè)參數(shù)為曲面。）,2.,普通方程,看形式,（聯(lián)立方程組為,曲線，,單獨(dú)一個(gè)方程,為曲面。）,(0t <+),表示空間曲線。,只有一個(gè)參數(shù)t,1.,2.,(<u<+, <t<+),有兩個(gè)參數(shù)u、t,表示空間曲面。,1.,聯(lián)立方程組的形式，,表示曲線。,2.,x=0,單獨(dú)一個(gè)方程，,表示曲面,（平面）。,判斷：,（1）,（2）,圖形 方程,1.常見曲面,方程 圖形,2.二次曲面,(1)對稱性,(3)主截線,(2)頂點(diǎn),(4)平行截線,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,4.6 拋物面,一、橢圓拋物面,截痕法,用z = a截曲面,用y = b截曲面,用x = c截曲面,.,4.6 拋物面,一、橢圓拋物面,（ 與 同號）,橢圓拋物面,用截痕法討論：,（1）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得一點(diǎn)，即坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).,橢圓拋物面方程,與平面 的交線為橢圓.,當(dāng) 變動時(shí)，這種橢圓的中心都在 軸上.,與平面 不相交.,（2）用坐標(biāo)面 與曲面相截,截得拋物線,與平面 的交線為拋物線.,它的軸平行于 軸.,頂點(diǎn),（3）用坐標(biāo)面 ， 與曲面相截,均可得拋物線.,同理當(dāng) 時(shí)可類似討論.,橢圓拋物面的圖形如下：,特殊地：當(dāng) 時(shí)，方程變?yōu)?旋轉(zhuǎn)拋物面,（由 面上的拋物線 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)而成的）,與平面 的交線為圓.,當(dāng) 變動時(shí)，這種圓的中心都在 軸上.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,截痕法,一、雙曲拋物面（馬鞍面）,截痕法,.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,一、雙曲拋物面（馬鞍面）,截痕法,.,用z = a截曲面,用y = 0截曲面,用x = b截曲面,一、雙曲拋物面（馬鞍面）,（ 與 同號）,雙曲拋物面（馬鞍面）,用截痕法討論：,設(shè),圖形如下：,