2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 2.3.1直線與平面垂直的判定,課標(biāo)要求:1.理解線面垂直的定義和判定定理.2.能運(yùn)用線面垂直的判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.3.能在簡(jiǎn)單的幾何體中計(jì)算線面角.,自主學(xué)習(xí) 新知建構(gòu)自我整合,導(dǎo)入 將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸).觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系.思考如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直.,【情境導(dǎo)學(xué)】,想一想 怎樣折疊才能使AD與桌面垂直? (當(dāng)AD是高時(shí),即ADBD,ADCD時(shí)AD與桌面垂直) 導(dǎo)入(教學(xué)備用) 你能用3根木棒組成12個(gè)直角嗎? 在同一個(gè)平面內(nèi),用3根木棒可以拼成5個(gè)直角、6個(gè)直角、8個(gè)直角.如下圖:,因此,平面內(nèi)3根木棒最多拼成8個(gè)直角.在空間內(nèi)會(huì)如何呢?,如果把2根木棒十字交叉地放在桌面上,另一根木棒的一端擺在前2根木棒的交叉處并使這根木棒與桌面垂直(如圖(4),這時(shí)拼出的直角也是8個(gè). 如果把擺在桌面上的兩根木棒離開(kāi)桌面,緊挨著與桌面垂直的木棒向上方平移(如圖(5).那么,這時(shí)我們會(huì)發(fā)現(xiàn),12個(gè)直角出現(xiàn)了.,想一想 (1)圖(4)與圖(5)中的豎直木棒與由兩根橫向與縱向木棒所確定的平面垂直嗎? (2)如果兩根橫向與縱向木棒不互相垂直,該豎直木棒與它們確定的平面垂直嗎?,答案:(1)垂直. (2)垂直.,1.直線與平面垂直的概念 如果直線l與平面內(nèi)的 都垂直,就說(shuō)直線l與平面互相垂直,記作 ,直線l叫做平面的 ,平面叫做直線l的 ,直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)叫做 .,知識(shí)探究,任意一條直線,l,探究1:若直線a平面,直線b,則a與b互相垂直嗎? 答案:垂直.,垂線,垂面,垂足,2.直線與平面垂直的判定定理,兩條相交直線,ab=P,探究2:若直線ab,直線ac,且b,c,直線a平面嗎? 答案:不一定垂直,當(dāng)b與c相交時(shí),a平面.,3.直線與平面所成的角 (1)如圖,一條直線PA和一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面 ,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做 ,過(guò)斜線上 . 的一點(diǎn)向平面引垂線PO,過(guò)垂足O和 的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的 ,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角. (2)一條直線垂直于平面,稱它們所成的角是 ;一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行,稱它們所成的角是 的角,于是,直線與平面所成的角的范圍是090.,垂直,斜足,斜足以外,斜足A,銳角,直角,0,自我檢測(cè),1.(線面垂直的定義)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的:三角形的兩邊;梯形的兩邊;圓的兩條直徑;正六邊形的兩條邊,則能保證該直線與平面垂直的是( ) (A)(B) (C)(D)交 2.(線面垂直的性質(zhì))已知直線a平面,直線b平面,則a與b的關(guān)系為( ) (A)ab (B)ab (C)a,b相交不垂直(D)a,b異面不垂直,A,B,3.(線面垂直的判定)若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于( ) (A)平面OAB(B)平面OAC (C)平面OBC(D)平面ABC 4.(直線與平面所成的角)若直線a和直線b與平面所成的角相等,則直線a與直線b的位置關(guān)系是( ) (A)平行(B)相交 (C)異面(D)不確定,C,D,5.(直線與平面所成的角)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1與底面ABCD所成角的正弦值為.,答案:,題型一,線面垂直的概念與定理的理解,【例1】 下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是() 若直線l與平面內(nèi)一條直線垂直,則l; 若直線l與平面內(nèi)兩條直線垂直,則l; 若直線l與平面內(nèi)兩條相交直線垂直,則l; 若直線l與平面內(nèi)任意一條直線垂直,則l; 若直線l與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直,則l. (A)1(B)2(C)3(D)4,課堂探究 典例剖析舉一反三,解析:由直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是,故選B.,誤區(qū)警示,線面垂直的判定定理中,直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,“相交”兩字必不可少,否則,就是換成無(wú)數(shù)條直線,這條直線也不一定與平面垂直.,即時(shí)訓(xùn)練1-1:如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的三角形的兩邊;梯形的兩邊;圓的兩條直徑;正六邊形的兩條邊.則能保證該直線與平面垂直的是.,解析:三角形兩邊必相交,圓的兩條直徑必相交,梯形的兩邊有可能是平行的一組對(duì)邊,正六邊形的兩邊也可能是一組平行對(duì)邊.故由線面垂直的判定定理知,能保證該直線與平面垂直的是. 答案:,【備用例1】 下列命題中,正確命題的序號(hào)是. 如果直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直,那么l;如果直線l與平面內(nèi)的兩條直線垂直,那么l;若l不垂直于,則在內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線;過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條;若a,b,則ab;若ab,a,則b.,解析:根據(jù)線面垂直的定義,當(dāng)直線l與平面內(nèi)的任意一條直線垂直時(shí),l,如果內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線互相平行,l與不一定垂直,故不正確;根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,如果平面內(nèi)的兩條直線不相交時(shí),l與不一定垂直,故不正確;當(dāng)l與不垂直時(shí),l可能與內(nèi)的無(wú)數(shù)條互相平行的直線垂直,故不正確;由于過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.故正確;,顯然正確. 答案:,題型二,直線與平面垂直的判定,【思考】 1.若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”,直線與平面一定垂直嗎?,提示:當(dāng)這兩條直線平行時(shí),直線可與平面相交但不一定垂直.,2.如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面嗎?,提示:垂直.,【例2】 (12分)在三棱錐P-ABC中,H為ABC的垂心,APBC,PCAB,求證: PH平面ABC.,規(guī)范解答:如圖,連接AH,因?yàn)镠為ABC的垂心, 所以AHBC,2分 又APBC,AHAP=A, 所以BC平面AHP,4分 又PH平面AHP, 所以PHBC.6分 同理可證PHAB,8分 又ABBC=B,所以PH平面ABC.12分,變式探究:在三棱錐P-ABC中,H為ABC的垂心,且PH平面ABC,求證: ABPC,BCAP.,證明:如圖,連接AH,因?yàn)镠為ABC的垂心, 所以AHBC,又PH平面ABC, 所以PHBC,又PHAH=H, 所以BC平面PAH, 所以BCAP, 同理可證:ABPC.,利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的關(guān)鍵是在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線,證明它們都和這條直線垂直.,方法技巧,即時(shí)訓(xùn)練2-1:如圖,四棱錐P-ABCD中,O是底面正方形ABCD 的中心,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn).,解:(1)連接AC,因?yàn)辄c(diǎn)O是底面正方形ABCD的中心, 所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn),所以在PAC中,EO是中位線,所以PAEO. 因?yàn)镋O平面PAD,PA平面PAD,所以EO平面PAD.,(2)證明:DE平面PBC.,解:(2)因?yàn)镻D平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC, 因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形,有BCDC, 所以BC平面PDC. 而DE平面PDC,所以BCDE. 因?yàn)镻D=DC,可知PDC是等腰直角三角形, 而DE是斜邊PC的中線, 所以DEPC. 又BC,PC平面PBC,且BCPC=C, 所以DE平面PBC.,【備用例2】 如圖,RtABC所在平面外一點(diǎn)S,且SA=SB=SC.點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn). (1)求證:SD平面ABC;,證明:(1)如圖,取AB中點(diǎn)E,連接SE,DE, 在RtABC中,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn), 所以DEBC,且DEAB. 在SAB中,因?yàn)镾A=SB,所以SEAB.又SEDE=E,所以AB平面SDE. 因?yàn)镾D平面SDE,所以ABSD. 在SAC中,因?yàn)镾A=SC,D為AC的中點(diǎn),所以SDAC. 因?yàn)镾DAC,SDAB,ACAB=A,所以SD平面ABC.,(2)若AB=BC,求證:BD平面SAC.,證明:(2)因?yàn)锳B=BC,D為斜邊AC的中點(diǎn), 所以BDAC.由(1)可知,SD平面ABC. 而B(niǎo)D平面ABC,所以SDBD. 因?yàn)镾DBD,BDAC,SDAC=D, 所以BD平面SAC.,題型三,直線與平面所成的角,(1)求證:EF平面A1B1BA;,(1)證明:如圖,連接A1B.在A1BC中,因?yàn)镋和F分別是BC和A1C的中點(diǎn), 所以EFBA1.又因?yàn)镋F平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.,(2)求證:直線AE平面BCB1;,(2)證明:因?yàn)锳B=AC,E為BC的中點(diǎn),所以AEBC.因?yàn)锳A1平面ABC,BB1 AA1,所以BB1平面ABC,從而B(niǎo)B1AE.又因?yàn)锽CBB1=B,所以AE平面BCB1.,(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小.,求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟: (1)確定斜線與平面的交點(diǎn)(斜足);(2)通過(guò)斜線上除斜足以外的某一點(diǎn)作平面的垂線,連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影,則斜線和射影所成的銳角即為所求的角;(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.,方法技巧,即時(shí)訓(xùn)練3-1:已知正三棱錐S-ABC的所有棱長(zhǎng)都相等,則SA與平面ABC所成角的余弦值為.,答案:,【備用例3】 (2015浙江卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90, AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn),D是B1C1的中點(diǎn). (1)證明:A1D平面A1BC;,(1)證明:設(shè)E為BC的中點(diǎn),連接A1E,AE.由題意得A1E平面ABC,所以A1EAE. 因?yàn)锳B=AC,所以AEBC.故AE平面A1BC. 連接DE,由D,E分別為B1C1,BC的中點(diǎn),得DEB1B且DE=B1B, 從而DEA1A且DE=A1A,所以AA1DE為平行四邊形.于是A1DAE. 又因?yàn)锳E平面A1BC,所以A1D平面A1BC.,(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.,謝謝觀賞！,