3平均值不等式,1.回顧和復(fù)習(xí)平均值不等式. 2.理解三個正數(shù)的平均值不等式,了解n個正數(shù)的平均值不等式. 3.會用相關(guān)定理解決簡單的最大(最小)值問題.,1.二元平均值不等式 (1)定理1: 對任意實數(shù)a,b,有a2+b22ab(此式當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號). (2)定理2: 定理2可敘述為:兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.,答案:A,A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案:A,2.三元平均值不等式及其推廣 (1)定理3: 對任意三個正數(shù)a,b,c,有a3+b3+c33abc(此式當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號). (2)定理4:,定理4可敘述為:三個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.,(3)n個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均值不等式:,分析:本題需變式出現(xiàn)積為定值的情況,而條件中是和為定值x+y+z=1,所以對所證不等式的左邊需變形出現(xiàn)積為定值的情況.,題型一,題型二,題型三,題型一 利用平均值不等式證明不等式,分析:本題是有條件的證明不等式問題,要巧用“x+y=1”來證明.,題型一,題型二,題型三,反思利用平均值不等式證明不等式時,要注意把握平均值不等式的結(jié)構(gòu)特點,以便靈活地用于解題.另外,對式子進行拆項、湊項的靈活變形,也是常用的方法.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練1】 已知a,b,c(0,+),且a+b+c=1.,題型一,題型二,題型三,題型二 利用平均值不等式求最值,分析:對于x(5-2x)2無法直接利用平均值不等式求最值,可先拼湊出平均值不等式的形式后再求最值.,題型一,題型二,題型三,反思 .在求最值時,除了注意“一正”“二定”“三相等”之外,還要掌握配項、湊系數(shù)等變形技巧.有時為了便于應(yīng)用公式,還用換元法,多用于分母中有根式的情況.,題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,題型三 利用平均值不等式解決實際問題 【例3】 如圖,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一個底面寬為2 m的無蓋長方體沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出.設(shè)箱體的長為a m,高為b m,已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a,b的乘積成反比.現(xiàn)有制箱材料60 m2,問當(dāng)a,b各為多長時,沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小?(A,B孔的面積忽略不計),題型一,題型二,題型三,題型一,題型二,題型三,a=6. 由a=6,可得b=3. 綜上所述,當(dāng)a=6,b=3時,經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.,題型一,題型二,題型三,反思1.對于分母是一次式,分子是二次式的分式 ,可采用本題中的變形方法. 2.本題的難度不在于建立數(shù)學(xué)模型,而在于建模后如何求函數(shù)的最值,這需要有扎實的數(shù)學(xué)知識和靈活應(yīng)用基本定理、公式解題的能力. 3.可以說解應(yīng)用題需要過兩關(guān):一關(guān)是如何對由文字給出的應(yīng)用問題建立數(shù)學(xué)模型;另一關(guān)就是對于建模后的數(shù)學(xué)模型,如何用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識將其解答出來.,題型一,題型二,題型三,【變式訓(xùn)練3】 已知圓柱的軸截面周長為6,體積為V,則下列不等式正確的是() A.VB.V,解析: 如圖,設(shè)圓柱的半徑為R,高為h,則4R+2h=6,即2R+h=3. V=R2h=RRh =,當(dāng)且僅當(dāng)R=R=h=1時“=”號成立. 答案:B,1,2,3,4,5,1下列結(jié)論正確的是(),答案:B,1,2,3,4,5,A.10B.3C.9D.不存在,答案:C,1,2,3,4,5,答案:A,1,2,3,4,5,4若長方體的體積為8,則其表面積的最小值為. 解析:設(shè)長方體相交于同一點的三條棱長分別為a,b,c,則依題意有abc=8. 而長方體的表面積S=2ab+2bc+2ac ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立,即長方體的表面積的最小值為24. 答案:24,1,2,3,4,5,5設(shè)計一幅宣傳畫,要求畫面面積為4 840 cm2,畫面的寬與高的比為(<1),畫面的上、下各留8 cm的空白,左、右各留5 cm的空白.怎樣確定畫面的高與寬,才能使宣傳畫所用紙張面積最小?,