5簡單復合函數的求導法則,1.理解復合函數的概念,記住復合函數的求導法則. 2.會運用復合函數的求導法則求一些復合函數的導數. 3.能把一個函數看成兩個或幾個簡單函數的和差積商或復合函數,運用導數運算法則或復合函數求導法則求函數的導數.,1.復合函數的概念 一般地,對于兩個函數y=f(u)和u=(x)=ax+b,給定x的一個值,就得到了u的值,進而確定了y的值,這樣y可以表示成x的函數,我們稱這個函數為函數y=f(u)和u=(x)的復合函數,記作y=f(x).其中u為中間變量. 2.復合函數的求導法則 復合函數y=f(x)的導數為yx=f(x)=f(u)(x)(u=(x).,3.復合函數求導的基本步驟 求復合函數的導數,一般按以下三個步驟進行: (1)分解:分解復合函數為初等函數,注意適當選擇中間變量; (2)層層求導:求每一層初等函數的導數(弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導); (3)作積還原:將各層初等函數的導數相乘,并將中間變量還原為原來的函數. 以上步驟可稱之為復合函數求導三步曲.,【做一做2】 求下列函數的導數: (1)y=(3x-2)2;(2)y=(2x+1)5. 解(1)(方法一)y=(3x-2)2=(9x2-12x+4)=18x-12. (方法二)將函數y=(3x-2)2看作是函數y=u2和函數u=3x-2復合所成的函數,并分別求對應變量的導數如下: yu=(u2)=2u,ux=(3x-2)=3. 兩個導數相乘,得 yx=yuux=2u3=2(3x-2)3=18x-12. (2)設y=u5,u=2x+1,則 yx=yuux=(u5)(2x+1) =5u42=5(2x+1)42=10(2x+1)4.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思解決復合關系問題的關鍵是正確分析函數的復合層次,一般是從最外層開始,由外及里,一層一層地分析,把復合函數分解成若干個常見的初等函數,逐步確定復合過程.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,分析:選擇中間變量是復合函數求導的關鍵,要善于把一部分式子暫時當作一個整體,這個暫時的整體就是中間變量,求導時需要記住中間變量,注意逐層求導,不遺漏.而其中特別要注意中間變量的系數,求導數后,要把中間變量轉換成自變量的函數.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思求復合函數的導數,關鍵要分清此函數是由哪幾個初等函數復合而成的,然后根據求復合函數導數的法則進行求導即可.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,易錯點:忽視復合函數求導而致錯 【例4】 已知函數f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,cR且為常數,若b24(c-1),求證:方程f(x)=0有兩個不相等的實數根. 錯解:f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x) =(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x =e-xx2+(b+2)x+b+c. 由f(x)=e-xx2+(b+2)x+b+c=0, 得x2+(b+2)x+b+c=0. =(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4. 因為b24(c-1),所以0. 故方程f(x)=0有兩個不相等的實數根.,題型一,題型二,題型三,題型四,錯因分析:錯解“歪打正著”,雖然未注意到復合函數的求導,但結論居然也被“證”出來了,這也說明了這種錯誤的隱蔽性很好.本題要注意對e-x的求導. 正解:f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x) =(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x =e-x-x2+(-b+2)x+b-c. 由f(x)=e-x-x2+(-b+2)x+b-c=0, 得x2+(b-2)x-b+c=0. =(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4. 因為b24(c-1),所以0. 故方程f(x)=0有兩個不相等的實數根.,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,2.已知函數f(x)=e5x+3-3x,則f(0)=() A.0B.-5C.5e3-3D.e3-3 解析:f(x)=5e5x+3-3,f(0)=5e3-3.故選C. 答案:C,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,1 2 3 4 5,