2.2雙曲線 2.2.1雙曲線及其標準方程,新知探求,課堂探究,新知探求 素養(yǎng)養(yǎng)成,知識點一,問題1:在平面直角坐標系中,若A(-5,0),B(5,0),當|PA|-|PB|=6,|PA|-|PB|=10,|PA|-|PB|=12時,點P的軌跡分別是什么圖形? 答案:當|PA|-|PB|=6時,點P的軌跡是以A(-5,0),B(5,0)為焦點的雙曲線;當|PA|-|PB|=10時,點P的軌跡是兩條射線;當|PA|-|PB|=12時,點P的軌跡不存在. 梳理平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離 等于常數(shù)(小于|F1F2|且大于零)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的 ,兩焦點間的距離叫 .集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c為常數(shù)且a0,c0.,雙曲線的定義,差的絕對值,焦點,焦距,知識點二,雙曲線的標準方程,問題2:怎樣利用雙曲線的標準方程確定焦點的位置? 答案:如果x2項的系數(shù)是正的,那么焦點在x軸上;如果y2項的系數(shù)是正的,那么焦點在y軸上. 問題3:雙曲線標準方程中a,b,c之間的關(guān)系如何? 答案:雙曲線標準方程中a,b,c的關(guān)系是c2=a2+b2,不同于橢圓方程中c2=a2-b2. 名師點津:(1)在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(動點)具備的幾何條件,即“到兩定點(焦點)的距離之差的絕對值為一常數(shù),且該常數(shù)必須小于兩定點的距離”.若定義中的“絕對值”去掉,點的軌跡是雙曲線的一支.同時注意定義的轉(zhuǎn)化應用. (2)求雙曲線方程時一是注意標準形式判斷;二是注意a,b,c的關(guān)系易錯易混.,題型一,利用雙曲線的定義求軌跡方程,課堂探究 素養(yǎng)提升,【例1】如圖,圓E:(x+2)2+y2=4,點F(2,0),動圓P過點F, 且與圓E內(nèi)切于點M,求動圓P的圓心P的軌跡方程.,方法技巧 利用定義法求雙曲線的標準方程的步驟 (1)找出兩個定點(即雙曲線的兩個焦點). (2)根據(jù)條件確定動點到兩個定點的距離的差(或差的絕對值)等于常數(shù). (3)確定c和a的值,再由c2=a2+b2求出b2. (4)寫出雙曲線(或雙曲線一支)的標準方程.,即時訓練1:動圓C與定圓C1:(x+3)2+y2=9,C2:(x-3)2+y2=1都外切,求動圓圓心C的軌跡方程.,【備用例1】 (2017綿陽高二期末)已知兩個定圓O1和O2,它們的半徑分別是2和4,且|O1O2|=8,若動圓M與圓O1內(nèi)切,又與O2外切,則動圓圓心M的軌跡方程是() (A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線一支(D)拋物線 解析:設(shè)動圓圓心為M,半徑為R,由題意|MO1|=R-2,|MO2|=R+4, 所以|MO2|-|MO1|=6(常數(shù))且6<8=|O1O2|, 故M點的軌跡為以O(shè)1,O2為焦點的雙曲線的一支.故選C.,題型二,求雙曲線的標準方程,方法技巧 (1)求雙曲線的標準方程與求橢圓標準方程類似,也是“先定型,后定量”,利用待定系數(shù)法求解. (2)當焦點位置不確定時,應按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論. (3)當已知雙曲線經(jīng)過兩點,求雙曲線的標準方程時,把雙曲線方程設(shè)成mx2+ny2=1(mn<0)的形式求解.,題型三,雙曲線定義的應用,方法技巧 雙曲線的定義是解決與雙曲線有關(guān)的問題的主要依據(jù).在應用時,一是注意條件|PF1|-|PF2|=2a(0<2a<|F1F2|)的使用,二是注意與三角形知識相結(jié)合,經(jīng)常利用正、余弦定理,同時要注意整體思想的應用.,即時訓練3:若雙曲線x2-4y2=4的左、右焦點分別是F1,F2,過F2的直線交右支于A,B兩點,若|AB|=5,則AF1B的周長為. 解析:由雙曲線定義可知|AF1|=2a+|AF2|=4+|AF2|, |BF1|=2a+|BF2|=4+|BF2|, 所以|AF1|+|BF1|=8+|AF2|+|BF2|=8+|AB|=13. AF1B的周長為|AF1|+|BF1|+|AB|=18. 答案:18,答案:48,題型四,易錯辨析雙曲線定義理解不清致誤,錯解:A(或B) 糾錯:雙曲線定義理解不清,沒有考慮到點P可能在左右兩支上,僅僅考慮其中一種情況導致丟解. 正解:雙曲線的左右焦點為F1(-5,0),F2(5,0), 則由雙曲線的定義知,|PF1|-|PF2|=2a=8, 而|PF2|=15, 解得|PF1|=7或23. 故選D.,學霸經(jīng)驗分享區(qū),求雙曲線標準方程的方法 (1)如果已知雙曲線的中心在原點,且確定了焦點在x軸上或是y軸上,設(shè)出相應形式的標準方程,然后根據(jù)條件確定關(guān)于a,b,c的方程組,解出a2,b2,從而寫出雙曲線的標準方程(求得的方程可能是一個,也有可能是兩個,注意合理取舍,但不要漏解). (2)當焦點位置不確定時,有兩種方法來解決: 一種是分類討論,注意考慮要全面;另一種是如果已知中心在原點,但不能確定焦點的具體位置,可以設(shè)雙曲線的一般方程mx2+ny2=1(mn<0).,謝謝觀賞！,