2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 2.3.1直線與平面垂直的判定,目標(biāo)導(dǎo)航,新知探求,課堂探究,新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成,點擊進(jìn)入 情境導(dǎo)學(xué),知識探究,1.直線與平面垂直的概念 如果直線l與平面內(nèi)的 都垂直,就說直線l與平面互相垂直,記作 ,直線l叫做平面的 ,平面叫做直線l的 ,直線與平面垂直時,它們唯一的公共點叫做 . 探究1:若直線a平面,直線b,則a與b互相垂直嗎? 答案:垂直.,任意一條直線,l,垂線,垂面,垂足,2.直線與平面垂直的判定定理,兩條相交直線,ab=P,探究2:若直線ab,直線ac,且b,c,直線a平面嗎? 答案:不一定垂直,當(dāng)b與c相交時,a平面.,3.直線與平面所成的角 (1)如圖,一條直線PA和一個平面相交,但不和這個平面 ,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做 ,過斜線上 的一點向平面引垂線PO,過垂足O和 的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影,平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的 ,叫做這條直線和這個平面所成的角.,垂直,斜足以外,斜足,斜足A,銳角,(2)一條直線垂直于平面,稱它們所成的角是 ;一條直線在平面內(nèi)或一條直線和平面平行,稱它們所成的角是 的角,于是,直線與平面所成的角的范圍是090.,直角,0,自我檢測,1.(線面垂直的性質(zhì))已知直線a平面,直線b平面,則a與b的關(guān)系為( ) (A)ab (B)ab (C)a,b相交不垂直 (D)a,b異面不垂直,B,2.(線面垂直定理的理解)下列條件中,能使直線m的是( ) (A)mb,mc,b,c(B)mb,b (C)mb=A,b (D)mb,b,D,3.(線面垂直的判定)若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于() (A)平面OAB (B)平面OAC (C)平面OBC (D)平面ABC,C,4.(直線與平面所成的角)空間四邊形ABCD的四邊相等,則它的兩對角線AC,BD的關(guān)系是( ) (A)垂直且相交(B)相交但不一定垂直 (C)垂直但不相交(D)不垂直也不相交,C,解析:取BD的中點O,連接AO,CO, 則BDAO,BDCO, 所以BD平面AOC,BDAC,又BD,AC異面,故選C.,5.(直線與平面所成的角)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC1與底面ABCD所成角的正弦值為.,答案:,題型一,線面垂直的概念與定理的理解,【例1】列說法中正確的個數(shù)是() 若直線l與平面內(nèi)一條直線垂直,則l; 若直線l與平面內(nèi)兩條直線垂直,則l; 若直線l與平面內(nèi)兩條相交直線垂直,則l; 若直線l與平面內(nèi)任意一條直線垂直,則l; 若直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直,則l. (A)1(B)2(C)3(D)4,課堂探究素養(yǎng)提升,解析:由直線與平面垂直的判定定理和定義知正確的是,故選B.,方法技巧 線面垂直的判定定理中,直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,“相交”兩字必不可少,否則,就是換成無數(shù)條直線,這條直線也不一定與平面垂直.,即時訓(xùn)練1-1:下列說法中錯誤的是( ) 如果一條直線和平面內(nèi)的一條直線垂直,該直線與這個平面必相交; 如果一條直線和平面的一條平行線垂直,該直線必在這個平面內(nèi); 如果一條直線和平面的一條垂線垂直,該直線必定在這個平面內(nèi); 如果一條直線和一個平面垂直,該直線垂直于平面內(nèi)的任何直線. (A)(B)(C)(D),解析:由線面垂直的判定定理可得錯誤,正確.故選D.,D,【備用例1】 下列命題中,正確命題的序號是. 若l不垂直于,則在內(nèi)沒有與l垂直的直線;過一點和已知平面垂直的直線有且只有一條;若a,b,則ab;若ab,a,則b.,解析:當(dāng)l與不垂直時,l可能與內(nèi)的無數(shù)條互相平行的直線垂直,故不正確;由于過一點有且只有一條直線與已知平面垂直.故正確;,顯然正確. 答案:,題型二,直線與平面垂直的判定,【思考】 1.若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”,直線與平面一定垂直嗎? 提示:當(dāng)這兩條直線平行時,直線可與平面相交但不一定垂直. 2.如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面嗎? 提示:垂直.,【例2】 (12分)在三棱錐P-ABC中,H為ABC的垂心,APBC,PCAB,求證:PH平面ABC.,變式探究:在三棱錐P-ABC中,H為ABC的垂心,且PH平面ABC,求證:ABPC, BCAP.,方法技巧 利用直線與平面垂直的判定定理證明線面垂直的關(guān)鍵是在這個平面內(nèi)找到兩條相交直線,證明它們都和這條直線垂直.,證明:因為ACB=90, 所以BCAC. 又SA平面ABC,所以SABC. 又ACSA=A,所以BC平面SAC. 因為AD平面SAC,所以BCAD. 又SCAD,SCBC=C, 所以AD平面SBC.,即時訓(xùn)練2-1:如圖,已知ABC中,ACB=90,SA平面ABC,ADSC于D,求證:AD平面SBC.,【備用例2】 如圖,在錐體P-ABCD中,ABCD是菱形,且DAB=60,PA=PD,E, F分別是BC,PC的中點. 證明:AD平面DEF.,題型三,直線與平面所成的角,(1)證明:如圖,連接A1B.在A1BC中,因為E和F分別是BC和A1C的中點, 所以EFBA1.又因為EF平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.,(1)求證:EF平面A1B1BA;,(2)求證:直線AE平面BCB1;,(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小.,方法技巧 求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟: (1)確定斜線與平面的交點(斜足);(2)通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線,連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影,則斜線和射影所成的銳角即為所求的角;(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.,即時訓(xùn)練3-1:(2018福州一中高一測試)已知正三棱錐S-ABC的所有棱長都相等,則SA與平面ABC所成角的余弦值為.,【備用例3】 (2015浙江卷)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90, AB=AC=2,A1A=4,A1在底面ABC的射影為BC的中點,D是B1C1的中點.,(1)證明:設(shè)E為BC的中點,連接A1E,AE.由題意得A1E平面ABC,所以A1EAE. 因為AB=AC,所以AEBC. 故AE平面A1BC. 連接DE,由D,E分別為B1C1,BC的中點,得DEB1B且DE=B1B, 從而DEA1A且DE=A1A, 所以AA1DE為平行四邊形. 于是A1DAE. 又因為AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.,(1)證明:A1D平面A1BC;,(2)求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.,題型四,易錯辨析忽視條件限制而致誤,【例4】 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是AB,B1B,C1C的中點,求證:B1E平面A1FGD1.,錯解:因為F,G分別為棱B1B,C1C的中點,所以BCFG. 因為BCAB,BCB1B,且B1BAB=B, 所以BC平面A1ABB1. 又因為B1E平面A1ABB1, 所以BCB1E, 即FGB1E. 同理A1D1B1E,所以B1E平面A1FGD1. 糾錯:本題的錯誤在于只證明了直線和平面內(nèi)的兩條平行直線垂直,不符合判定定理的要求.根據(jù)線面垂直的判定定理,直線要垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線時才能垂直于這個平面.,正解:因為E,F分別為AB,B1B的中點,且AB=B1B,所以B1F=BE. 所以RtA1B1FRtB1BE,所以B1A1F=BB1E. 因為B1A1F+B1FA1=90,所以B1FA1+BB1E=90, 所以B1EA1F. 因為F,G分別為棱B1B,C1C的中點,所以FGBC. 又因為BCBA,BCB1B,且BAB1B=B, 所以BC平面A1ABB1. 又因為B1E平面A1ABB1,所以BCB1E. 所以FGB1E. 因為FGA1F=F, 所以B1E平面A1FGD1.,謝謝觀賞！,