2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì),目標導航,新知探求,課堂探究,新知探求素養(yǎng)養(yǎng)成,點擊進入 情境導學,知識探究,1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理,ab,平行,探究1:(1)垂直于同一個平面的兩條直線一定共面嗎? (2)三角形的兩邊可以垂直于同一個平面嗎? (3)過一點有幾條直線與已知平面垂直? 答案:(1)共面.由線面垂直的性質(zhì)定理可知這兩條直線是平行的,故能確定一個平面. (2)不可以.若三角形的兩邊垂直于同一個平面,則這兩條邊平行,不能構(gòu)成三角形. (3)有且僅有一條.假設過一點有兩條直線與已知平面垂直,由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線平行,應無公共點,這與過同一點相矛盾,故只有一條直線.,2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理,al,垂直于交線,探究2:(1)如果,則內(nèi)的直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線嗎? (2)如果,過內(nèi)的任意一點作與交線的垂線,則這條直線必垂直于嗎? 答案:(1)正確.若設=l,a,b,bl,則ab,故內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于內(nèi)的任意直線. (2)錯誤.垂直于交線的直線必須在平面內(nèi)才與平面垂直,否則不垂直.,自我檢測,1.(面面垂直的性質(zhì)定理)已知直線m,n和平面,若,=m, n,要使n,則應增加的條件是( ) (A)mn(B)nm (C)n(D)n,B,2.(線面垂直的性質(zhì)定理)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線l平面A1C1(l與棱不重合),則( ) (A)B1Bl (B)B1Bl (C)B1B與l異面 (D)B1B與l相交,B,3.(線面、面面垂直的綜合應用)已知m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,且m,n,則下列敘述正確的是( ) (A)若,則mn(B)若mn,則 (C)若n,則m(D)若m,則,4.(面面垂直的性質(zhì)定理)下列命題中錯誤的是( ) (A)如果平面平面,那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 (B)如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平 面 (C)如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面 (D)如果平面平面,那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面,D,D,5.(面面垂直的性質(zhì)定理)已知m,n,l是直線,是平面,=l, n,nl,m,則直線m與n的位置關系是.,答案:平行,6.(線面、面面垂直的應用)設,是空間兩個不同的平面,m,n是平面及外的兩條不同直線.從“mn;n;m”中選取三個作為條件,余下一個作為結(jié)論,寫出你認為正確的一個命題:(用序號表示).,答案:(或),題型一,直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應用,【例1】(1)已知兩條直線m,n,兩個平面,給出下面四個命題: mn,mn;,m,nmn;mn,m n;,mn,mn. 其中正確命題的序號是() (A)(B)(C)(D),課堂探究素養(yǎng)提升,(1)解析:由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確;對于,當,m,n 時,m與n可能平行也可能異面,故不正確;對于,當mn,m時, n或n,故不正確;對于,由mn,m,得n,又,所以n,故正確.故選C.,(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一點,N是A1C的中點, MN平面A1DC. 求證:MNAD1;,(2)證明:因為ABCD-A1B1C1D1為正方體, 所以AD1A1D. 又因為CD平面ADD1A1,AD1平面ADD1A1, 所以CDAD1.因為A1DCD=D, 所以AD1平面A1DC. 又因為MN平面A1DC,所以MNAD1.,M是AB的中點.,方法技巧 證明兩條直線平行的方法常見的有:(1)公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行;(2)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線與一個平面平行,那么經(jīng)過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行;(3)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行;(4)線面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行.,即時訓練1-1:如圖,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD為等邊三角形, AD=DE=2AB,F為CD的中點. 求證:平面BCE平面CDE.,【備用例1】 如圖所示,已知矩形ABCD,過A作SA平面AC,再過A作AESB交SB于點E,過點E作EFSC交SC于點F.,(1)求證:AFSC;,證明:(1)因為SA平面AC, BC平面AC,所以SABC, 因為ABCD為矩形,所以ABBC, 又SAAB=A, 所以BC平面SAB,所以BCAE.又SBAE,BCSB=B,所以AE平面SBC,所以AESC. 又EFSC,AEEF=E, 所以SC平面AEF,所以AFSC.,(2)若平面AEF交SD于點G.求證:AGSD.,證明:(2)因為SA平面AC,所以SADC, 又ADDC,SAAD=A,所以DC平面SAD. 所以DCAG. 又由(1)有SC平面AEF,AG平面AEF, 所以SCAG, 又DCSC=C, 所以AG平面SDC,所以AGSD.,題型二,平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應用,【例2】 (12分)如圖,P是四邊形ABCD所在平面外一點,四邊形ABCD是DAB =60,且邊長為a的菱形.側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.,規(guī)范解答:(1)如圖所示,連接BD. 因為四邊形ABCD是菱形, 且DAB=60, 所以ABD是正三角形,2分 因為G是AD的中點, 所以BGAD. 3分 又因為平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD. 所以BG平面PAD. 6分,(1)若G為AD邊的中點,求證:BG平面PAD;,(2)求證:ADPB.,規(guī)范解答:(2)連接PG. 因為PAD為正三角形,G為AD的中點, 所以PGAD. 7分 由(1)知BGAD, 而PGBG=G, PG平面PBG, BG平面PBG. 所以AD平面PBG. 10分 又因為PB平面PBG, 所以ADPB. 12分,方法技巧 利用面面垂直的性質(zhì)定理,證明線面垂直的問題時,要注意以下三點:(1)兩個平面垂直;(2)直線必須在其中一個平面內(nèi);(3)直線必須垂直于它們的交線.,即時訓練2-1:已知:如圖,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E為垂足.,證明:(1)在平面ABC內(nèi)任取一點D,作DFAC于點F,作DGAB于點G. 因為平面PAC平面ABC,且交線為AC, 所以DF平面PAC. 因為PA平面PAC, 所以DFPA. 同理可證,DGPA. 因為DGDF=D, 所以PA平面ABC.,(1)求證:PA平面ABC;,證明:(2)連接BE并延長交PC于點H. 因為E是PBC的垂心,所以PCBH. 又因為AE平面PBC,所以PCAE. 因為BHAE=E, 所以PC平面ABE,所以PCAB. 又因為PA平面ABC,所以PAAB. 因為PAPC=P, 所以AB平面PAC. 所以ABAC,即ABC是直角三角形.,(2)當E為PBC的垂心時,求證:ABC是直角三角形.,【備用例2】 如圖,平行四邊形ABCD中,BD=2 ,AB=2,AD=4,將BCD沿BD折起到EBD的位置,使平面EBD平面ABD.,(1)求證:ABDE,(2)求三棱錐E-ABD的側(cè)面積.,題型三,線面、面面垂直的綜合問題,【例3】 如圖,三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC =4,AB=6,BC=3. (1)證明:BC平面PDA;,(1)證明:因為長方形ABCD中,BCAD, 又BC平面PDA,AD平面PDA, 所以BC平面PDA.,(2)證明:取CD的中點H,連接PH, 因為PD=PC,所以PHCD. 又因為平面PDC平面ABCD, 平面PDC平面ABCD=CD, 所以PH平面ABCD. 又因為BC平面ABCD,所以PHBC. 又因為長方形ABCD中,BCCD,PHCD=H, 所以BC平面PDC. 又因為PD平面PDC, 所以BCPD.,(2)證明:BCPD;,(3)求點C到平面PDA的距離.,方法技巧 直線、平面之間的平行、垂直關系是重點考查的位置關系,當已知線面、面面垂直或平行時考慮用性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化,要證線面、面面垂直或平行時要用判定定理進行論證.,即時訓練3-1:如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點, EP平面ABCD.,(1)求證:AQ平面CEP;,(2)求證:平面AEQ平面DEP.,證明:(2)因為EP平面ABCD,AQ平面ABCD, 所以AQEP. 因為AB=2BC,P為AB的中點,所以AP=AD.連接PQ,則四邊形ADQP為正方形. 所以AQDP.又EPDP=P,所以AQ平面DEP. 因為AQ平面AEQ, 所以平面AEQ平面DEP.,題型四,易錯辨析推理不嚴謹致誤,【例4】 求證:如果一個平面與另一個平面的垂面平行,那么這兩個平面互相垂直. 已知:,.求證:.,錯解:設=a,=b, 在內(nèi)作直線ma, 因為,=a,m,ma, 所以m. 因為,所以在內(nèi)存在直線n,使nm. 因為nm,m,所以n,因為n,所以.,糾錯:上述證法錯在邏輯推理不嚴謹,對面面平行的性質(zhì)定理理解不透徹. 正解:證明m同上. 由,在內(nèi)任取一點P, 則直線m與點P確定一個平面. 設=n,因為, =m, =n, 所以mn. 又因為m,所以n. 又因為n,所以.,謝謝觀賞！,