一數(shù)學(xué)歸納法,第四講用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解數(shù)學(xué)歸納法的基本原理. 2.了解數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用范圍. 3.會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單問題.,問題導(dǎo)學(xué),達標(biāo)檢測,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識點數(shù)學(xué)歸納法,在學(xué)校，我們經(jīng)常會看到這樣的一種現(xiàn)象：排成一排的自行車，如果一個同學(xué)將第一輛自行車不小心弄倒了，那么整排自行車就會倒下. 思考1試想要使整排自行車倒下，需要具備哪幾個條件？,答案第一輛自行車倒下； 任意相鄰的兩輛自行車，前一輛倒下一定導(dǎo)致后一輛倒下.,思考2由這種思想方法所得的數(shù)學(xué)方法叫數(shù)學(xué)歸納法，那么，數(shù)學(xué)歸納法適用于解決哪類問題？,答案適合解決一些與正整數(shù)n有關(guān)的問題.,梳理數(shù)學(xué)歸納法的概念及步驟 (1)數(shù)學(xué)歸納法的定義 一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時，可以用以下兩個步驟： 證明當(dāng) 時命題成立； 假設(shè)當(dāng) 時命題成立，證明 時命題也成立. 在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.,nn0,nk1,nk(kN，且kn0),(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍 數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍僅限于與 有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明. (3)數(shù)學(xué)歸納法的基本過程,正整數(shù),題型探究,類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時，等式成立，,即當(dāng)nk1時，等式也成立. 由(1)(2)可知，原等式對nN均成立.,證明,反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點：一是要準(zhǔn)確表述nn0時命題的形式，二是要準(zhǔn)確把握由nk到nk1時，命題結(jié)構(gòu)的變化特點.并且一定要記?。涸谧C明nk1成立時，必須使用歸納假設(shè).,證明,(2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，等式成立， 即122232k2,當(dāng)nk1時，122232k2(k1)2,所以當(dāng)nk1時等式也成立. 由(1)(2)可知，等式對任何nN都成立.,類型二證明與整除有關(guān)的問題,例2求證：x2ny2n(nN)能被xy整除.,證明,證明(1)當(dāng)n1時，x2y2(xy)(xy)能被xy整除. (2)假設(shè)nk(k1，kN)時，x2ky2k能被xy整除， 那么當(dāng)nk1時，x2k2y2k2 x2x2ky2y2kx2y2kx2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2). x2ky2k與x2y2都能被xy整除， x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除. 即當(dāng)nk1時，x2k2y2k2能被xy整除. 由(1)(2)可知，對任意正整數(shù)n，命題均成立.,反思與感悟利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，關(guān)鍵是整理出除數(shù)因式與商數(shù)因式積的形式.這往往要利用“添項”與“減項”“因式分解”等變形技巧來湊出nk時的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題得證.,跟蹤訓(xùn)練2用數(shù)學(xué)歸納法證明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN).,證明,證明(1)當(dāng)n1時，13233336能被9整除， 所以結(jié)論成立. (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時結(jié)論成立， 即k3(k1)3(k2)3能被9整除. 則當(dāng)nk1時，(k1)3(k2)3(k3)3 k3(k1)3(k2)3(k3)3k3 k3(k1)3(k2)39k227k27 k3(k1)3(k2)39(k23k3). 因為k3(k1)3(k2)3能被9整除，,9(k23k3)也能被9整除， 所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除， 即當(dāng)nk1時結(jié)論也成立. 由(1)(2)知，命題對一切nN成立.,類型三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題,例3有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任意三個圓不相交于同一點，求證這n個圓將平面分成f(n)n2n2個部分(nN).,證明,證明(1)當(dāng)n1時，一個圓將平面分成兩個部分， 且f(1)1122， 所以n1時命題成立. (2)假設(shè)nk(k1)時命題成立， 即k個圓把平面分成f(k)k2k2個部分. 則當(dāng)nk1時，,在k1個圓中任取一個圓O，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓O與k個圓有2k個交點，這2k個點將圓O分成k段弧，每段弧將原平面一分為二， 故得f(k1)f(k)2kk2k22k (k1)2(k1)2. 所以當(dāng)nk1時，命題成立. 綜合(1)(2)可知，對一切nN，命題成立.,反思與感悟(1)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵在于分析清楚nk與nk1時二者的差異，這時常常借助于圖形的直觀性，然后用數(shù)學(xué)式子予以描述，建立起f(k)與f(k1)之間的遞推關(guān)系，實在分析不出的情況下，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可. (2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式，還要注意結(jié)論要有必要的文字說明.,證明,證明(1)當(dāng)n1時，一條直線把平面分成兩個區(qū)域，,n1時命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時，命題成立，,第k1條直線被這k條直線分成k1段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊， 因此增加了k1個區(qū)域，,當(dāng)nk1時命題也成立. 由(1)(2)知，對一切的nN，此命題均成立.,達標(biāo)檢測,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)”時，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為 A.1 B.2 C.3 D.4,1,2,3,4,解析邊數(shù)最少的凸n邊形為三角形，故n03.,解析,答案,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1 (nN，a1)，在驗證n1成立時，左邊所得的項為 A.1 B.1aa2 C.1a D.1aa2a3,答案,1,2,3,4,解析當(dāng)n1時，n12，故左邊所得的項為1aa2.,解析,3.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n152n1(nN)能被8整除，當(dāng)nk1時，34(k1)152(k1)1應(yīng)變形為_ _.,1,2,3,4,答案,解析34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.,解析,81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1),5634k1),1,2,3,4,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明13(2n1)n2(nN).,證明(1)當(dāng)n1時，左邊1，右邊1，等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時，等式成立， 即13(2k1)k2， 那么，當(dāng)nk1時， 13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2. 所以當(dāng)nk1時等式成立. 由(1)和(2)可知等式對任意正整數(shù)n都成立.,證明,1.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時應(yīng)注意的問題 (1)第一步中的驗證，對于有些問題驗證的并不是n1，有時需驗證n2，n3. (2)對nk1時式子的項數(shù)以及nk與nk1的關(guān)系的正確分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障. (3)“假設(shè)nk時命題成立，利用這一假設(shè)證明nk1時命題成立”，這是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的核心環(huán)節(jié)，對待這一推導(dǎo)過程決不可含糊不清，推導(dǎo)的步驟要完整、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范.,規(guī)律與方法,2.判斷利用數(shù)學(xué)歸納法證明問題是否正確. (1)是要看有無歸納基礎(chǔ). (2)是證明當(dāng)nk1時是否應(yīng)用了歸納假設(shè). 3.與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明.其中關(guān)鍵問題是從當(dāng)nk1時的表達式中分解出nk時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式，這樣才能得出結(jié)論成立.,本課結(jié)束,