2  ) = （）高三上學(xué)期階段性測試 數(shù)學(xué)（理科）第卷一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合 A = x | x 2 - x - 6 £ 0， B = x | x ³ 2 ，則集合 A Ç B = （）3233A -2， B -2， C (0， D 2，2.在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，角 a 的終邊經(jīng)過點 P(3,4) ，則 sin(a - 2017p5        B -A - 43         35      C 5D 451-  14.已知點 (m,8 )在冪函數(shù) f (x ) = (m -1)xn 的圖象上，設(shè) a = f (  ) 2 ) ，b = f (ln p )，c = f (2   2 ) ，則 a, b, c5.   ò   (  1 - x 2 + sin x)dx = （ ）3.已知a  是公差為 2 的等差數(shù)列， S 為a  的前 n 項和，若 S = 3S ，則 a = （）nnn639A24B22C20D1813的大小關(guān)系為（）A a < c < bB a < b < cC b < c < aD b < a < c1-14        B2      C p2  + 2A pp                     pD1 + 2x   sin (cos x )的大致圖象為（）6.函數(shù) f (x ) = 1 - 2xAB7.已知實數(shù) x, y 滿足 í x - y £ 0   ，且 z = x + y 的最大值為 6，則實數(shù) k 的值為（）ï0 £ y £ k3  BC ，則 AM  AN = （）C.D.ì x + 2 y ³ 0ïîA. 6B. 5C. 4D. 38.張丘建算經(jīng)中載有如下敘述:“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里，問末日行幾何.”其大意為:“現(xiàn)有一匹馬行走速度越來越慢，每天行走的距離是前一天的一半，連續(xù)行走 7 天，共走了 700 里，問最后一天行走的距離是多少?”根據(jù)以上敘述，則問題的答案大約為()里(四舍五入，只取整數(shù)).A. 10B. 8C. 6D. 49.已知在等邊三角形 ABC 中， BC = 3 ， BN = 2BM = 2A.  4        B.   389C. 5D. 13210.已知正項等比數(shù)列   an + 2  ，第 1 項與第 9 項的等比中項為 (  )5 ，則 a  = （）87n585        B  8685       D  86A75           75         76          76C11.已知 f (x )是定義在 R 上的單調(diào)函數(shù)，滿足 f éë f (x )- ex ùû = 1，且 f (a ) > f (b ) > e .若log b + log a =ab103 ，則 a 與 b 的關(guān)系為（ ）A a = b3B b = a3C b = a2D a = b212.設(shè)函數(shù) f (x) = ( x 2 - 3)e x ，若函數(shù)G( x) = f 2( x) - af ( x) + 16e6是（）有 6 個不同的零點，則實數(shù)a 的取值范圍e3   3e3  )e3  3e3  )e3  , +¥)3e3  , +¥)A ( 8 , 26B ( 4 , 26C. ( 8D ( 26第卷二、填空題（每題 5 分，滿分 20 分，將答案填在答題紙上）13.已知向量 a = (-1, x )， b = (x + 2, x )，若 | a + b |=| a - b | ，則 x =14.已知函數(shù) f ( x) = 2sin( wx + j) (w > 0, -p2 < j < 0) 的圖象如圖所示，則j =15.已知函數(shù) f (x ) = sin p x (0 < x < 1)，若 a ¹ b ，且 f (a ) = f (b ) ，則  41a + b 的最小值為16.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排一列: (1,1)(1,2 )(2,1) (1,3) (2,2 )(3,1) (1,4 )(2,3 )(3,2 )(4,1),，設(shè)第2017 個整數(shù)對為 (a, b ).若在從 a 到 b 的所有整數(shù)中(含 a, b )中任取 2 個數(shù)，則這兩個數(shù)之和的取值個數(shù)為三、解答題 （解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .）17.在 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c ，且 b cos A = (2c - a)cos B .()求 B ；()若 b = 13 ， ABC 的面積為 3 ，求 ABC 的周長.18.設(shè)等差數(shù)列a  的前 n 項和為 S ，首項 a = 1 ，且nn1()求 S ；nS2018 =2018S2017 + 1 .2017()求數(shù)列1S Snn+1的前 n 項和 T .nA  + cos2 w x,sin w x) ，其中 A ¹ 0,w > 0 .函數(shù) f (x ) = a b 圖象2  ，且過點 (0,   ) .19.已知向量 a = ( A, 3 A cos w x) ， b = ( 1的相鄰兩對稱軸之間的距離是 p23()求函數(shù) f (x )的解析式；()若 f (x )+ t > 0 對任意 x Î p , p  恒成立，求 t 的取值范圍.12 220.已知函數(shù) f (x ) =()求 a, b 的值；-3x + a3x+1 + b 為定義在 R 上的奇函數(shù).22.已知曲線 f (x ) = axex (a > 0)在點 (0,0 )處的切線與曲線 g (x )  = -( x -2)  也相切.g ( x +   ) ()設(shè)函數(shù) F (x ) = -f (x )                                    52()若不等式 f (t 2 - 2t ) < f (2t 2 - k ) 對任意 t Î1,2 恒成立，求 k 的取值范圍.21.近幾年，電商行業(yè)的蓬勃發(fā)展也帶動了快遞業(yè)的高速發(fā)展.某快遞配送站每天至少要完成 1800 件包裹的配送任務(wù)，該配送站有 8 名新手快遞員和 4 名老快遞員，但每天最多安排 10 人進行配送.已知每個新手快遞員每天可配送 240 件包裹，日工資 320 元；每個老快遞員每天可配送 300 件包裹，日工資 520 元.()求該配送站每天需支付快遞員的總工資最小值；()該配送站規(guī)定:新手快遞員某個月被評為“優(yōu)秀”，則其下個月的日工資比這個月提高 12%.那么新手快遞員至少連續(xù)幾個月被評為“優(yōu)秀”，日工資會超過老快遞員?(參考數(shù)據(jù): lg1.12 » 0.05 ， lg13 » 1.11 ， lg 2 » 0.30 .)14()求實數(shù) a 的值；x + x，若 x ¹ x 且 F ( x ) = F ( x ) < 0 ，證明:12 < -1 .121243         15.  9試卷答案一、選擇題1-5: DBCAB6-10: BDCDC11、12：AA二、填空題13.-1 或 214. - p16. 125三、解答題17.【解析】()由 b cos A = (2c - a)cos B ，得 2c cos B = b cos A + a cos B .由正弦定理可得 2sin C cos B = sin B cos A + sin A cos B = sin( A + B) = sin C .2  .因為  0 < B < p  ，所以 B =因為 sin C ¹ 0 ，所以 cos B = 1p3 .1()因為 S =ac sin B = 3 ，所以 ac = 4 .2又13 = a 2 + c2 - 2ac cos B = a 2 + c 2 - ac ，所以 a 2 + c2 = 17 ，所以 a = 1,c = 4 或 a = 4, c = 1 .則 ABC 的周長為 5 + 13 .n2  dna +  n(n - 1)18.【解析】()設(shè)a  的公差為 d ，因為 Sn =n1 dn      = a1 + (n - 1) 2 ，所以  S n  為一個等差數(shù)列，所以2018 -  SSn2018S2017 =2017d2 = 1 ，所以 d = 2 ，故 S n = 1 + (n - 1) = n ，所以 Snn= n2 .SS  =()因為1n  n+11n(n + 1) =1n -1n +1 ，所以  T  = (1-   ) + (   -   ) +  + (    1n + 1) = 1 -n + 1  =  n + 1223n - 1nnA  + cos2 w x) +   3 A cos w x sin w x1111111nn19.【解析】() f ( x) = a b = A( 1- ) + ( -2   A2w x = 1 + A ´= 1 + A cos2 w x +31 + cos 2w x2    +32 A sin 2w x2  += 1 + AA          3                    p   A2 cos 2w x + 2 A sin 2w x = A sin(2w x + 6 ) + 2 + 1 2w  = p ， w = 1 .又函數(shù)  f (x )的圖象過點 (0,   ) ，即 x = 0 時， y =由題意得 T = p ， 2p3322 ，6  +即 A sin pA    3         12 + 1 = 2 ，解得 A = 2 ，即 f ( x) =  1() f ( x) + t > 0 對任意 x Î  p   p, 恒成立，即 -t < f (x ) 對任意 x Îp52 sin(2 x + 6 ) + 4 p p, 恒成立，12 212 2即求 f (x )在  p , p  上的最小值12 212  £ x £ pp    p2 ， 6 £ 2 x £ p ，p3 £ 2 x +p6 £7p6 ，  -£ sin(2 x +) £ 1 ，1 £ f (x ) £3- x+1 + b  +  -3x + a3x+1 + b  = 0 ，1p7264 ， -t < 1 ， t > -1 ，即 t 的取值范圍是 (-1,+¥) 20.【解析】()因為 f (x )是奇函數(shù)，所以 f (- x )+ f (x ) = 0 ，所以 -3- x + a化簡得 (3a - b)(3x + 3- x ) + 2ab - 6 = 0 ，î 2ab - 6 = 0ì3a - b = 0要使上式對任意的 x 成立，則 í，f (x )的定義域是 R ，所以 íîb = -3                     îb = -3ì解得 ía = 1îb = 3ìa = -1 ìa = -1或 í 因為(舍去).所以 a = 1,b = 3 .() f (x ) =  -3x + 113 x+1 + 3 = 3 (-1 +23 x + 1 ) ，3  (3x1 + 1)(3x2 + 1) ) 1  2     2    2    3x2 - 3x13  3x1 + 13x2 + 1 )對任意 x , x Î R, x < x1212，有 f ( x ) - f (x ) =1 2( - = (因為 x < x ，所以 3x2 - 3x1 > 0 ，所以 f ( x ) > f ( x ) ，1212因此 f (x ) 在 R 上遞減.t因為 f ( 2 - 2t )< f (2t 2 - k )，所以 t 2 - 2t > 2t 2 - k ，即 t 2 + 2t - k < 0 對任意 t Î1,2 恒成立，即 (t 2 + 2t )max< k .因為 h (t ) = t 2 + 2t = (t + 1)2 - 1 在 t Î1,2 上為增函數(shù)，所以 h (t )= h (2) = 8 ，maxïî x, y Î N          ï解得 k > 8 ，所以 k 的取值范圍為 (8, +¥) 21.【解析】()設(shè)安排新手快遞員 x 人，老快遞員 y 人，ì x + y £ 10ì x + y £ 10ï240x + 300 y ³ 1800ï4 x + 5 y ³ 30ïï則有 í0 £ x £ 8，即 í0 £ x £ 8，ï0 £ y £ 4ï0 £ y £ 4ïïî x, y Î N該配送站每天需支付快遞員總工資為 z = 320 x + 520 y .作出可行域如圖所示.作直線 l¢ :320 x + 520 y = 0 ，平移可得到一組與 l¢ 平行的直線 l¢ :320 x + 520 y = z .由題設(shè) x, y 是可行域內(nèi)的整點的橫、縱坐標(biāo).在可行域內(nèi)的整點中，點 (8,0 )使 z 取最小值，即當(dāng) l 過點 (8,0 )時， z 最小，即 zmin= 8 ´ 320 = 2560 (元).即該配送站每天需支付快遞員的總工資最小值為 2560 元.()設(shè)新手快遞員連續(xù) n 個月被評為“優(yōu)秀”，日工資會超過老員工.則由題意可得 320 ´1.12n > 520 .320  =轉(zhuǎn)化得1.12n > 520138 ，兩邊求對數(shù)可得 n lg1.12 > lg13 - 3lg 2 ，所以 n > lg13 - 3lg 2 » 1.11 - 3 ´ 0.30 = 4.2 ，又因為 n Î N * ，所以 n 最小為 5.lg1.120.05即新手快遞員至少連續(xù) 5 個月被評為“優(yōu)秀”，日工資會超過老快遞員.22.【解析】()  f ¢ (x ) = aex (1 + x ) ，當(dāng) x = 0 時， f ¢ (0) = a, f (0) = 0 ，故 f (x )在 (0,0 )處的切線方程是 y = ax .ì y = axï聯(lián)立 í1ïî y = -( x - 4 )1，消去 y 得 ax = -( x -2                      4)2 ，()由()知 F (x ) =     ，由 F ( x ) = F ( x ）< 0 ，則 x  < 0, x  ¹ -1, x  < 0, x  ¹ -1, x  ¹ x  ( x + 1)2 = 0 ， a = 0 或 1，故 a = 1 xe x12112212又 F ¢( x) =( x + 1)e x ( x + 1)2 - xe x 2( x + 1)  e x ( x + 1)2( x + 1)4          = ( x + 1)3，-當(dāng) x Î (-¥， 1) 時， F (x ) 是減函數(shù)；當(dāng) x Î (-1,+¥) 時， F (x ) 是增函數(shù).m2em+1   m + 1  e2m + 1) ，令 m > 0 ， F(-1 + m)- F (-1 - m) = (m - 1)em-1 - (-m - 1)e-m-1 = m + 1 ( m - 1m2 m2m + 1  e2m + 1(m > 0) ，(m + 1)2     =再令 j (m) = m - 1則 j ¢(m) = 2e2m - 4e2m (m + 1) - 2e2m2m2e2m(m + 1)2 > 0 ，m 2e2m  > 0 ，m2em+1   m + 1  e2m + 1) > 0 恒成立， j (m) > j (0) = 0 又 m + 1當(dāng) m > 0 時， F (-1 + m) - F (-1 - m) =m + 1 ( m - 1即 F (-1 + m) > F (-1 - m) 恒成立令 m = -1 - x > 0 ，即 x < -1，有 F (-1 + (-1 - x ) > F (-1 - (-1 - x ) ，1111即 F (-2 - x ) > F (x ) = F (x112) x < -1， -2 - x > -1 .又 F ( x ) = F ( x ) ，必有 x > -1 11122又當(dāng) x Î (-1, +¥)時， F (x ) 是增函數(shù)， - -2 - x > x ，12x + x即12 < -1 2