第二章 概率與分布（35)（駱福添）·聯(lián)系：對(duì)象在離散點(diǎn)或區(qū)間上分布分布特征數(shù)樣本數(shù)據(jù)頻數(shù)分布表頻數(shù)分布圖描述指標(biāo) () （p)隨機(jī)變量概率分布表概率分布圖總體參數(shù) (） （p）2。 二項(xiàng)分布一、概率函數(shù) (概率分布表）·名詞解釋：觀察結(jié)果二項(xiàng)、概率等于二項(xiàng)展開(kāi)式·有放回地獨(dú)立重復(fù)摸球5次后黑球出現(xiàn)總次數(shù)X的概率函數(shù)。x 表2。1 例2。3中離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)（n=）X的可能取值黑球數(shù)0345 概率P（x）0。00030640.05120.208.49.327·這個(gè)概率函數(shù)值恰好對(duì)應(yīng)于下列二項(xiàng)展開(kāi)式的各個(gè)項(xiàng)：(0.2+0。）5 (0.) +（08）(02)+(08）2 (0。） +（.8）3 （0.2） +（08）4 （0.2)+(0.8）5·一般地，陽(yáng)性概率為p，次獨(dú)立、重復(fù)試驗(yàn)后該事件出現(xiàn)陽(yáng)性數(shù)為次的概率為, x=0, 1， ， n(。1) 其中， 0！=1, k!=k（k1)(2）(1),k0 （2。3)式稱為二項(xiàng)分布的概率函數(shù),稱相應(yīng)的隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布(binoildistribution)， 記為X(p， n）·至多出現(xiàn)x次數(shù)的概率為P=P()+P()P（x)，簡(jiǎn)記為(2。） 這就是二項(xiàng)分布變量X的分布函數(shù).例23 現(xiàn)有5只動(dòng)物注射了半數(shù)致死量的毒物,試分別計(jì)算死亡動(dòng)物數(shù)X0, ， 2, 3， 4, 的概率。（提示：p0）解 （0）=(0.5)5 （0.5） .12 P(1)(0.5） （05）1015625 P（2）（。5）3（0）2 0。3250 P(3）=（0.5)2 (05） =0350 P（4)（0.）1（0.5） 0.1562 P(5)=（05）0（0.5)5 。0125二、分布圖形的特征 (概率分布圖）圖2.1·p0。5時(shí),在橫軸的正方向拖一長(zhǎng)尾呈正偏峰（a）·p0.時(shí)， 在橫軸的負(fù)方向拖一長(zhǎng)尾呈負(fù)偏峰()·p=0。5時(shí), 呈對(duì)稱（c)·n相當(dāng)大，np和n(-p）都大于5,p=?,圖形也接近對(duì)稱（d)Pois01234500.10.20.30.40.5(a) p<0.50 （正偏峰）0124500.10.20.30.40.5(b) p>0.50 （負(fù)偏峰）圖2.1 若干二項(xiàng)分布的概率函數(shù)直條圖13012345678910111200.10.20.30.4 (d) p¹0.50, n相當(dāng)大 （對(duì)稱、正態(tài)）01234500.10.20.30.40.5(c) p=0.50 （對(duì)稱）三、總體均數(shù)與總體標(biāo)準(zhǔn)差 （平均水平與變異程度-分布參數(shù))·推導(dǎo)過(guò)程:(下述黑體字公式，可忽略）··（2。15）=（。6）(2。17）(218）(2。19)（2.20）=(.21）·樣本頻率的總體均數(shù)、總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差mx=np， mp=p ,(。22), 四、實(shí)例討論（略）第四節(jié) Poissn分布一、概率函數(shù)·Pisn分布是（）罕見(jiàn)的獨(dú)立事件陽(yáng)性數(shù)目的隨機(jī)分布（2）也可視為n很大,p很小時(shí)二項(xiàng)分布(p，n）的極限情形·以放射性脈沖計(jì)數(shù)為例，sson分布的前提條件：(） （n足夠大），區(qū)間足夠小,以致每個(gè)區(qū)間陽(yáng)性數(shù)<2（平穩(wěn)性）（) 每個(gè)區(qū)間陽(yáng)性概率都是(重復(fù)、小概率)(3) 不同區(qū)間是否發(fā)生是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的(獨(dú)立性)數(shù)學(xué)上可以證明，當(dāng)n時(shí)P（x)的極限為(2.3）·應(yīng)用:許多發(fā)病率很低的疾?。ㄈ缒[瘤，不具傳染性、無(wú)永久免疫、無(wú)遺傳性），發(fā)病人數(shù)X近似地服從Poisson分布，其中二、分布圖形的特征例4 據(jù)報(bào)導(dǎo),新生兒染色體異常率為，試用兩種方法計(jì)算10名新生兒發(fā)生0， 1， 2例染色體異常的概率。解 利用二項(xiàng)分布和Poiss分布計(jì)算的結(jié)果如表。所示表2。2 用二項(xiàng)分布和PISSON分布計(jì)算染色體異常概率的比較P（x）（1， 00）（1)0（0。99)10 (。0）0=0。660e (）0 /0！036791（099）00- (0。01)10.369-1 （）1 ！=0。3(0。99)00-2 （0。01）0。491 ()2 /!=0。189·oisson分布圖形:呈正偏峰不可能出現(xiàn)負(fù)偏峰的圖形f_3a三、總體均數(shù)和總體方差二項(xiàng)分布的總體均數(shù)和總體方差為 和ison分布的總體均數(shù)和總體方差為 和 即總體均數(shù)等于總體方差。這是oissn分布獨(dú)有的性質(zhì)，可通過(guò)考察樣本均數(shù)是否接近樣本方差, 來(lái)判斷是否為Poisson分布四、可加性設(shè)X1（)， 2 （2)， 且互相獨(dú)立， 則X1X2 （1 +） 例如,假定每10分鐘內(nèi)記錄到的放射性脈沖數(shù)服從（）,獨(dú)立、重復(fù)2次，測(cè)定值為X1和X2 , 則它們之和服從（2）.·但須注意，設(shè)X（)， 則2X并不服從（2)，X/也不服從（2）。例如, 0分鐘內(nèi)測(cè)定的放射性脈沖數(shù)乘2后并不等于0分鐘內(nèi)的測(cè)定資料, 不能用（2）來(lái)描述； 10分鐘的測(cè)定值除以2后也不等于5分鐘內(nèi)的測(cè)定值， 也不能用（/2）來(lái)描述。第五節(jié) 正態(tài)分布一、概率密度函數(shù)實(shí)踐中許多連續(xù)型隨機(jī)變量的頻率密度直方圖形狀是中間高、兩邊低、左右對(duì)稱的， 為便于研究相應(yīng)的總體規(guī)律, 人們用概率密度函數(shù)（.24) f2_3 來(lái)描述這類隨機(jī)變量，并稱這樣的變量服從正態(tài)分布（nomal distributio)或高斯分布（Gauian dstbtion）。 正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)和。是總體均數(shù)；是總體標(biāo)準(zhǔn)差（永遠(yuǎn)大于零）。這兩個(gè)參數(shù)可完全決定一個(gè)正態(tài)分布，故常簡(jiǎn)記為N（, 2)。當(dāng)0，1時(shí)，概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為密度函數(shù) 分布函數(shù) （25）這樣的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 簡(jiǎn)記為（0， 1）。正態(tài)概率密度曲線圖性質(zhì)：(1）關(guān)于對(duì)稱;（2）在處曲線最高;(3） 在處各有一個(gè)拐點(diǎn);（4） 曲線下面積為1；（） 若固定， 隨值不同, 曲線位置不同， 故稱為位置參數(shù)；（6) 若固定， 大時(shí),曲線矮而胖；小時(shí), 曲線瘦而高，故稱為形狀參數(shù)。 m-2s m-s m m+s m+2s -2 -1 0 1 2 xz (a) (b)圖2.3 正態(tài)概率密度圖 (a)一般形狀 (b)與m和s關(guān)系 m1 m2s2<s1 s1t23正態(tài)曲線要點(diǎn)：外觀（對(duì)稱 吊鐘）、參數(shù)（位置m 形狀s）、面積（1。45，1.9,58）t23二、正態(tài)概率密度曲線下的面積·標(biāo)準(zhǔn)化變換:(22) 變換后的Z稱為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)離差或稱值（Zve)正態(tài)變量的Z值服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0， 1)·標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布尾部面積a：f2_3表23 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布幾個(gè)重要的臨界值 雙側(cè)臨界值Za單側(cè)尾部面積雙側(cè)尾部面積1.6450。5011。960.050。2.5760。050.01三、參考范圍的確定方法：·95參考值范圍（9%CI)（錯(cuò)誤概率a=.，把握度095)(16s, 1.96s) 或 ·9參考值范圍（5I）（錯(cuò)誤概率a0.0,把握度=0。）（2.58s, 2.58） 或 四、二項(xiàng)分布和Psn分布的正態(tài)近似。 連續(xù)性校正離散型變量只能在, 1， 2， 等正整數(shù)取值，為了借用連續(xù)型變量的分布函數(shù)來(lái)計(jì)算概率，首先要把概率函數(shù)“連續(xù)化”,把概率函數(shù)圖中的“直條”改造成“直方” (a) 概率函數(shù)直條圖 (b) 連續(xù)性校正直方圖 (c) 正態(tài)近似圖圖2.4 二項(xiàng)分布連續(xù)性校正和正態(tài)近似示意圖表2.4二項(xiàng)分布概率的連續(xù)性校正和正態(tài)近似(1）(2）（3)（4）二項(xiàng)分布概率連續(xù)性校正后概率函數(shù)圖上長(zhǎng)方形所在的區(qū)間近似正態(tài)分布概率密度圖上曲線下圖形所在區(qū)間 概率近似公式:在相應(yīng)的區(qū)間上,近似正態(tài)分布概率密度曲線下圖形的面積(Xk)（-0， k+0.5）(k-05, k0.5)P（X）(0, k+5）(,+.5）(X）（k-0。, ）(-0。5， +)P（Xk2)(k10。, 2+。5）(k05，k2+0）2。 正態(tài)近似 理論上可以證明(）二項(xiàng)分布X（p，n） XN（np， p（1p）近似 并且P= N（p, p（1-p)/） (2）Poisson分布則X N（, ）例25 假定人群中某病患病概率為0.00，現(xiàn)對(duì)該人群中的1000人體檢, 試求檢出人數(shù)不少于5人的概率。解 可認(rèn)為檢出人數(shù)服從二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布資料用oisn分布近似與正態(tài)近似比較直接計(jì)算正態(tài)近似相對(duì)誤差二項(xiàng)分布。2572。26161。7Poisson分布0。570。262。8%相對(duì)誤差0.3 計(jì)算過(guò)程：P（55）=0.57或據(jù)Poison分布，令參數(shù)1000×0。05=50,P（55）=0。57 計(jì)算繁雜.現(xiàn)采用正態(tài)近似，np=50,np（p）=50×0。995=49。5 利用二項(xiàng)分布正態(tài)近似公式P(x55）=0.2616 利用oiso分布的正態(tài)近似公式P(55）=。2624兩者與0。572的相對(duì)誤差均小于2%.結(jié)語(yǔ)：對(duì)象在離散點(diǎn)或區(qū)間上分布分布特征數(shù)樣本數(shù)據(jù)頻數(shù)分布表頻數(shù)分布圖描述指標(biāo) （） （p)隨機(jī)變量（誤差)概率分布表概率分布圖總體參數(shù) （） （p)文中如有不足，請(qǐng)您見(jiàn)諒！6 / 6