3.2.1 直線的方向向量 與平面的法向量,引例：在正方體 中， 求證： 平面 ,引例：在正方體 中， 求證： 平面 ,典型例題,為了用向量來研究空間的線面位置關(guān)系，首先我們要用向量來表示直線和平面的“方向”。那么如何用向量來刻畫直線和平面的“方向”呢？,一、直線的方向向量,直線l上的非零向量 以及與 共線的非零向量叫做直線 l 的方向向量。,由于垂直于同一平面的直線是互相平行的, 所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”。,二、平面的法向量,平面的法向量：如果表示非零向量 的有向線段所在直線垂直于平面 ，則稱這個(gè)向量垂直于平面 ,記作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.,l,概念理解,下列命題中正確的是_ (1)平面 的法向量垂直于與平面 共面的所 有向量； (2)一個(gè)平面的所有法向量互相平行； (3)如果兩個(gè)平面的法向量互相垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直； (4)如果 與平面 共面，且 則 是平面 的一個(gè)法向量.,(1)(2)(3),引例：在正方體 中， 求證： 平面 ,變題：例1：如何求平面的法向量？,由兩個(gè)三元一次方程組成的方程組的解是不惟一的，為方便起見，取z=1較合理。其實(shí)平面的法向量不是惟一的。,平面的法向量不惟一，合理取值即可。,例3：在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn) ,平面 的法向量為 點(diǎn) 是平面 內(nèi)任意一點(diǎn)，求 滿足的關(guān)系式.,解：由題意得,.,因?yàn)?是平面的法向量,所以,即：,即：,即：,所以滿足題意的關(guān)系式為:,鞏固性訓(xùn)練1,1.設(shè) 分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下 列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.,平行,垂直,平行,有了直線的方向向量后，可以研究他們的夾角了；兩個(gè)向量是否共線或垂直，很容易判斷。,鞏固性訓(xùn)練2,1.設(shè) 分別是平面,的法向量,根據(jù) 下列條件,判斷,的位置關(guān)系.,垂直,平行,相交,同樣有了平面的法向量后，研究平面的位置關(guān)系就變得簡潔些了，這也是我們下節(jié)課要研究的內(nèi)容,鞏固性訓(xùn)練3,1、設(shè)平面 的法向量為(1,2,-2),平面 的法向量為(-2,-4,k),若 ，則k= ；若 則 k= 。 2、已知 ，且 的方向向量為(2,m,1)，平面的法向量為(1,1/2,2),則m= . 3、若 的方向向量為(2,1,m),平面 的法向量為(1,1/2,2),且 ，則m= .,4,-5,-8,4,鏈接高考,課堂小結(jié),(1)直線的方向向量和平面法向量的定義； (2)證明和求解平面法向量.,