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1、第三章 導數(shù)及其應用,3.1.2 導數(shù)的概念,自由落體運動中，物體在不同時刻的 速度是不一樣的。,平均速度不一定能反映物體在某一時刻 的運動情況。,物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。,解：設在3，3.1內的平均速度為v1，則,t1=3.1-3=0.1(s),s1=s(3.1)-s(3)= 0.5g 3.12-0.5g32 =0.305g(m),所以,同理,例1是計算了3，3+t當t=0.1,t=0.01,t=0.001時的平均速度。,上面是計算了t0時的情況,下面再來計算t<0時的情況,解：設在2.9，3內的平均速度為v4，則,t1=3-2.9=0.1(s),s1=s(3)-s(2.9)=

2、0.5g32-0.5g2.92,,=0.295g(m),所以,設在2.99，3內的平均速度為v5，則,設在2.999，3內的平均速度為v6，則,當t0時， 物體的速度趨近于一個確定的值3g,在 t=3s 這一時刻的瞬時速度等于 在 3s 到 (3+t)s 這段時間內的平均速度 當t0的極限，,設物體的運動方程是 s=s(t), 物體在時刻 t 的瞬時速度為 v ,,一般結論,就是物體在 t 到 t+t 這段時間內, 當t0 時平均速度的極限 ，即,讓我們再來看一個例子,,,,P,,,,相切,相交,再來一次,例、,,,,,,,,,,,,,,,P,再來一次,設曲線C是函數(shù) y=f(x) 的圖象，

3、在曲線C上取一點 P及P點鄰近的任一點 Q(x0+x,y0+y) , 過P,Q兩點作割線， 則直線PQ的斜率為,上面我們研究了切線的斜率問題,,可以將以上的過程概括如下：,當直線PQ轉動時，Q逐漸向P靠近， 也即x 變小,當x0時，PQ無限靠近PT,因此：,一般地， 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是,上式稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù),記作：或,即,注意：,1、函數(shù)應在點的附近有定義， 否則導數(shù)不存在。,2、在定義導數(shù)的極限式中，x趨近于0 可正、可負，但不為0，而y可能為0。,3、導數(shù)是一個局部概念，它只與函數(shù)在x0 及其附近的函數(shù)值有關，與x無關。,4、若極限

4、不存在，則稱 函數(shù)在點x0處不可導。,物體的運動方程 s=s(t)在t0處的導數(shù) 即在t0處的瞬時速度vt0,函數(shù)y=f(x)在x0處的導數(shù) 即曲線在x0處的切線斜率,導數(shù)可以描述任何事物的瞬時變化率,瞬時變化率除了瞬時速度，切線的斜率,還有：點密度，國內生產總值(GDP)的增 長率，經濟學上講的一切邊際量 等,例1、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果第xh時，原油的溫度(單位：)為f(x)=x2-7x+15 (0 x 8).計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬進變化率，并說明它們的意義。,解：第2h和第6h時，原油溫度的 瞬進變化率就是f

5、 (2)和f (6),根據導數(shù)定義：,所以，,同理可得 f (6)=5,f(x)=x2-7x+15,f (6)=5 說明在第6h附近，原油溫度 大約以5 /h的速度上升；,說明在第2h附近，原油溫度 大約以3 /h的速度下降；,所以 物體在時刻t0處的瞬時速度為v0-gt0.,由導數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)在 點x0處的導數(shù)的方法是：,(2)求平均變化率,(3)取極限,得導數(shù),(1)求函數(shù)的增量,練習2、質點按規(guī)律s(t)=at2+1做直線運動 (位移單位：m , 時間單位：s).若質點在 t=2時的瞬時速度為8m/s,求常數(shù)a的值。,a=2,,,由導數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)在 點x0處的導數(shù)的方法是： (1)求函數(shù)的增量 (2)求平均變化率 (3)取極限,得導數(shù),小 結:,,函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 的定義。,,再見,