*范例5.5 輕桿單擺振動的周期和振動規(guī)律(動畫),(1)一輕桿長為l，連接一個質(zhì)量為m的擺球，形成一個單擺。不計摩擦，求單擺的周期與角振幅的關(guān)系。(2)演示單擺振動的動畫，比較單擺振動和簡諧振動的規(guī)律。(3)當單擺角振幅的度數(shù)為1到7 時(間隔為1 )，將單擺運動的角位置和角速度與簡諧振動進行比較。當單擺角振幅的度數(shù)為30 到150 時(間隔為30 )，另加179 ，同樣進行比較。,解析(1)如圖所示，設(shè)角位置為，擺錘的運動方程為,即,在小角度的情況下，sin ，可得,0為圓頻率,單擺在小角度的情況下作簡諧振動。,振動周期為,在小角振動的情況下，單擺的周期與角振幅無關(guān)，這稱為單擺的等時性。,擺錘的角速度為 = d/dt，因此,可得,積分得,當t = 0時， = 0， = m，可得C = -gcosm/l。,角速度大小為,單擺的周期為,對于任何角振幅m，通過數(shù)值積分和符號積分都能計算周期。,注意：角速度和圓(角)頻率都用字母表示，單位也相同，但意義不同。,*范例5.5 輕桿單擺振動的周期和振動規(guī)律(動畫),利用半角公式可得,設(shè),并設(shè)ksinx = sin(/2)，因此,可得,第一類完全橢圓積分定義為,周期可表示為,*范例5.5 輕桿單擺振動的周期和振動規(guī)律(動畫),將周期的橢圓積分公式按二項式展開得,其中(2n 1)! = 13(2n 1)。,利用定積分公式,可得用無窮級數(shù)表示的單擺周期,如果取前兩個正弦項，則得,利用級數(shù)計算周期究竟要取多少項，則根據(jù)精度決定。,如果只取常數(shù)項，可得單擺小角度的周期T0。,*范例5.5 輕桿單擺振動的周期和振動規(guī)律(動畫),當角振幅在20以內(nèi)時，單擺的周期幾乎不變。,數(shù)值積分和符號積分與第一類完全橢圓積分公式計算的結(jié)果完全吻合。,當角振幅在20到40之間時，單擺的周期稍有增加。,當角振幅接近180時，單擺的周期急劇增加。,當角振幅大于40時，單擺的周期顯著增加。,當角振幅等于5時，只要在周期的級數(shù)中取一個正弦項即可達到精度。,當角振幅等于90時，則需要取15個正弦項才能達到精度。,當角振幅等于150時，則需要取148個正弦項才能達到精度。,當角振幅在155到165之間時，取150個正弦項雖然不能達到精度，但是周期的近似值與精確值基本吻合。,當角振幅接近180時，即使取150個正弦項，周期的近似值與精確值也有明顯的差別。,可見：在通常振幅的情況下，可用級數(shù)求和的方法計算單擺的周期，但是在很大振幅的情況下，就需要用積分的方法或完全橢圓積分函數(shù)才能保證周期的精度。,容差為10-6,(1)一輕桿長為l，連接一個質(zhì)量為m的擺球，形成一個單擺。不計摩擦，求單擺的周期與角振幅的關(guān)系。(2)演示單擺振動的動畫，比較單擺振動和簡諧振動的規(guī)律。(3)當單擺角振幅的度數(shù)為1到7 時(間隔為1 )，將單擺運動的角位置和角速度與簡諧振動進行比較。當單擺角振幅的度數(shù)為30 到150 時(間隔為30 )，另加179 ，同樣進行比較。,解析(2)為了演示單擺的振動，需要求微分方程中角度的數(shù)值解。,擺錘的坐標為x = lsin，y = lcos，,x軸取向右的方向為正，y軸取向下的方向為正。,*范例5.5 輕桿單擺振動的周期和振動規(guī)律(動畫),當角振幅為60時，單擺的初始狀態(tài)如圖所示，單擺的周期為1.0732T0。,當角振幅小于5時，單擺振動周期約等于小角振動的周期。,當角振幅為90時，單擺的周期為1.18T0。,當角振幅為179時，單擺的初始狀態(tài)如圖所示，單擺的周期為3.90T0。,當角振幅為179.9時，單擺的周期為5.37T0。,(1)一輕桿長為l，連接一個質(zhì)量為m的擺球，形成一個單擺。不計摩擦，求單擺的周期與角振幅的關(guān)系。(2)演示單擺振動的動畫，比較單擺振動和簡諧振動的規(guī)律。(3)當單擺角振幅的度數(shù)為1到7 時(間隔為1 )，將單擺運動的角位置和角速度與簡諧振動進行比較。當單擺角振幅的度數(shù)為30 到150 時(間隔為30 )，另加179 ，同樣進行比較。,解析(3)為了求解單擺的運動規(guī)律，仍然需要求微分方程的數(shù)值解。,單擺的振動可與簡諧振動進行比較。,簡諧振動的角位移可用余弦函數(shù)表示h = mcost，,簡諧振動的角速度為,*范例5.5 輕桿單擺振動的周期和振動規(guī)律(動畫),在角振幅較小的情況下，單擺的周期近似為小角單擺的周期，其角位移完全可以用余弦函數(shù)表示。,在角振幅較小的情況下，其角速度完全可以用正弦函數(shù)表示。,當角振幅在90以內(nèi)時，單擺的角位移與簡諧運動的標準點基本上是重合的，因此可用余弦函數(shù)近似表示；,當角振幅等于150時，單擺的角位移與簡諧運動的標準點有所偏離；,當角振幅接近180時，單擺的周期顯著增加，角位移顯著偏離簡諧運動，角位移的極大值和極小值處十分“平坦”，表示單擺在左右兩個角振幅附近運動比較緩慢。,當角振幅等于150時，單擺的角速度與正弦曲線偏離較多；,當角振幅在90以內(nèi)時，單擺的角速度曲線與大多數(shù)正弦點(少量極值附近的點除外)重合；,當角振幅接近180時，角速度與正弦曲線偏離很大，峰值附近的曲線尖而窄，零值附近的曲線變得十分“平直”。,