1.5數(shù)學(xué)文化背景題專項(xiàng)練,我國(guó)古代數(shù)學(xué)里有大量的實(shí)際問題,可以結(jié)合統(tǒng)計(jì)、函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、算法等內(nèi)容.高考試題會(huì)通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變?cè)O(shè)問方式,選取適合的知識(shí)內(nèi)容等多種方法滲透數(shù)學(xué)文化.這些問題同時(shí)也體現(xiàn)了應(yīng)用性的考查,應(yīng)引起考生的充分重視.常見的數(shù)學(xué)文化題型有: (1)數(shù)學(xué)名著中的概率與統(tǒng)計(jì); (2)數(shù)學(xué)名著中的數(shù)列問題; (3)數(shù)學(xué)名著中的算法與程序框圖; (4)數(shù)學(xué)名著中的立體幾何問題; (5)數(shù)學(xué)名著中的三角函數(shù)問題; (6)與楊輝三角、祖暅原理有關(guān)的問題.,一、選擇題(共12小題,滿分60分) 1.祖暅原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.它是中國(guó)古代一個(gè)涉及幾何體體積的問題,意思是兩個(gè)同高的幾何體,如在等高處的截面積恒相等,則體積相等.設(shè)A,B為兩個(gè)同高的幾何體,p:A,B的體積不相等,q:A,B在等高處的截面積不恒相等,根據(jù)祖暅原理可知,p是q的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,A,解析 由pq,反之不成立, p是q的充分不必要條件,故選A.,2.(2018北京,文5)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于 .若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為(),D,3.九章算術(shù)中,將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”,已知某“塹堵”的三視圖如圖所示,則該“塹堵”的表面積為(),B,解析 由三視圖知,該幾何體可看作底面是斜邊邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形,且高為2的直三棱柱,所以該幾何體的表面積為,4.九章算術(shù)是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有() A.14斛B.22斛 C.36斛D.66斛,B,解析 設(shè)底面圓半徑為R,米堆高為h. 米堆底部弧長(zhǎng)為8尺,5.張丘建算經(jīng)是我國(guó)南北朝時(shí)期的一部重要數(shù)學(xué)著作,書中系統(tǒng)地介紹了等差數(shù)列,同類結(jié)果在三百多年后的印度才首次出現(xiàn).書中有這樣一個(gè)問題,大意為:某女子善于織布,后一天比前一天織的快,而且每天增加的數(shù)量相同,已知第一天織布5尺,一個(gè)月(按30天計(jì)算)總共織布390尺,問每天增加的數(shù)量為多少尺?該問題的答案為(),B,B,7.中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法,下圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為2,2,5,則輸出的s=(),A.7B.12C.17D.34,C,解析 由題意,得x=2,n=2,k=0,s=0,輸入a=2,則s=02+2=2,k=1,繼續(xù)循環(huán);輸入a=2,則s=22+2=6,k=2,繼續(xù)循環(huán);輸入a=5,s=62+5=17,k=32,退出循環(huán),輸出17.故選C.,8.(2018上海,15)在九章算術(shù)中,稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬.設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱,如圖.若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),以AA1為底面矩形的一邊,則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是() A.4B.8 C.12D.16,D,解析 設(shè)正六棱柱為ABCDEF-A1B1C1D1E1F1,以側(cè)面AA1B1B,AA1F1F為底面矩形的陽(yáng)馬有E-AA1B1B,E1-AA1B1B,D-AA1B1B,D1-AA1B1B,C-AA1F1F,C1-AA1F1F,D-AA1F1F,D1-AA1F1F.共8個(gè), 以對(duì)角面AA1C1C,AA1E1E為底面矩形的陽(yáng)馬有F-AA1C1C,F1-AA1C1C,D-AA1C1C,D1-AA1C1C,B-AA1E1E,B1-AA1E1E,D-AA1E1E,D1-AA1E1E,共8個(gè). 所以共有8+8=16(個(gè)),故選D.,9.下邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的a=() A.0B.2C.4D.14,B,解析 由程序框圖,得(14,18)(14,4)(10,4)(6,4)(2,4)(2,2),則輸出的a=2.,10.祖沖之之子祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期偉大的科學(xué)家,他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了體積計(jì)算的原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是,如果兩個(gè)等高的幾何體在同高處截得的截面面積恒等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.此即祖暅原理.利用這個(gè)原理求球的體積時(shí),需要構(gòu)造一個(gè)滿足條件的幾何體,已知該幾何體三視圖如圖所示,用一個(gè)與該幾何體的下底面平行相距為h(0<h<2)的平面截該幾何體,則截面面積為() A.4B.h2 C.(2-h)2D.(4-h2),D,解析 由已知得到幾何體為一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐,底面半徑為2,高為2,截面為圓環(huán),小圓半徑為r,大圓半徑為2,則 ,得到r=h,所以截面圓環(huán)的面積為4-h2=(4-h2).故選D.,11.我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶(約12021261)在他的著作數(shù)書九章中提出了多項(xiàng)式求值的秦九韶算法.如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項(xiàng)式的一個(gè)實(shí)例.若輸入的n=5,v=1,x=2,則輸出的是() A.63 B.64 C.31 D.32,A,解析 輸入n=5,v=1,x=2,則i=4, 滿足條件i0,執(zhí)行循環(huán)體,v=12+1=3,i=3; 滿足條件i0,執(zhí)行循環(huán)體,v=32+1=7,i=2; 滿足條件i0,執(zhí)行循環(huán)體,v=72+1=15,i=1; 滿足條件i0,執(zhí)行循環(huán)體,v=152+1=31,i=0; 滿足條件i0,執(zhí)行循環(huán)體,v=312+1=63,i=-1, 不滿足條件i0,退出循環(huán),輸出v的值為63,故選A.,12.九章算術(shù)是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等.問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種質(zhì)量單位).這個(gè)問題中,甲所得為(),B,解析 設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得質(zhì)量分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d, 則a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d, 又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,a=1,二、填空題(共4小題,滿分20分) 13.(2018浙江,11)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)中記載百雞問題:“今有雞翁一,值錢五;雞母一,值錢三;雞雛三,值錢一.凡百錢,買雞百只,問雞翁、母、雛各幾何?”設(shè)雞翁、雞母、雞雛的個(gè)數(shù)分別 為x,y,z,則 則當(dāng)z=81時(shí),x= ,y= .,8,11,14.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí),發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù):1,1,2,3,5,8,該數(shù)列的特點(diǎn)是:前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)起,每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和,人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列an稱為“斐波那契數(shù)列”,1,15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)中有如下問題:“今有金箠,長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤.斬末一尺,重二斤.問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金杖,長(zhǎng)5尺,一頭粗,一頭細(xì).在粗的一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺,重2斤;問依次每一尺各重多少斤?”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的,其重量為M,現(xiàn)將該金杖截成長(zhǎng)度相等的10段,記第i段的重量為ai(i=1,2,10),且a1<a2<<a10,若48ai=5M,則i=.,6,16.第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如圖,會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較大的銳角為,那么 =. (趙爽的弦圖),-7,