第2講 三角函數(shù)的圖象及性質(zhì),1.將函數(shù)f(x)=cosx圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x) =.,第2講三角函數(shù)的圖像及性質(zhì),答案cos,解析將函數(shù)f(x)=cos x圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將所得到的圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù)g(x)=cos= cos的圖象.,2.(2018江蘇南京期中)已知函數(shù)f(x)=sin,xR,若f(x)在區(qū)間 上的最大值和最小值分別為a,b,則a+b的值為.,答案-1,解析x,2x-,sin ,則a=,b=-1,a+b=-1.,3.(2018江蘇蘇州期中)已知函數(shù)f(x)=sin,若對任意的實數(shù) ,都存在唯一的實數(shù)0,m,使f()+f()=0,則實數(shù)m的最小值是.,答案,解析對任意的實數(shù),總有f(), f(),2k- +2k,kZ,+2k+2k,kZ,存在唯一的實數(shù)0,m,則實數(shù)m 的最小值是.核心題型突破,題型一利用y=Asin(x+)+B研究三角函數(shù)的性質(zhì),例1(2018蘇州調(diào)研) 已知函數(shù)f(x)=(cos x+sin x)2-2sin 2x. (1)求函數(shù)f(x)的最小值,并寫出f(x)取得最小值時自變量x的取值集合; (2)若x,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.,解析(1)f(x)=(cos x+sin x)2-2sin 2x =3cos2x+2sin xcos x+sin2x-2sin 2x =+-sin 2x =cos 2x-sin 2x+2=2cos+2,當2x+=2k+(kZ),即x=k+(kZ) 時,f(x)取得最小值0. 此時,自變量x的取值集合為 .,(2)因為f(x)=2cos+2, 令+2k2x+2+2k(kZ), 解得+kx+k(kZ),又x, 令k=-1,x,令k=0,x, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為和.,【方法歸納】(1)函數(shù)y=Asin(x+)+B稱為三角函數(shù)的標準形式,若所給三角函數(shù)解析式能利用三角公式化為標準型,首先要化為標準形式,再結合正弦函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì);(2)求三角函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間,首先求三角函數(shù)在R上的單調(diào)區(qū)間,再與所給區(qū)間取交集,最后注意單調(diào)區(qū)間的寫法,必須寫區(qū)間,且中間用“逗號”或“和”隔開,不能用“”.,1-1(2018常州教育學會學業(yè)水平檢測)設函數(shù)f(x)=sin+cos(-x),其 中0<<3, f =0. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間; (2)將函數(shù)f(x)的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(縱坐標不變),再將得到的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)在上的值 域.,解析(1)f(x)=sin+cos(-x)=sin x-cos x-cos x=sin x- cos x=sin, f =0, -=k,kZ,即=6k+2,kZ. 又0<<3,=2, f(x)的最小正周期T=, f(x)=sin.由2k-2x-2k+,kZ,得k-xk+,kZ.,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,kZ. (2)由題意知,g(x)=sin=sin. x,x-, sin,g(x), 即g(x)在上的值域為.,題型二由三角函數(shù)的局部圖象求解析式并研究其性質(zhì),例2(2018江蘇揚州中學階段測試)已知函數(shù)f(x)=Asin(A0,0)的 部分圖象如圖所示. (1)求A和的值; (2)求函數(shù)y=f(x)在0,的單調(diào)增區(qū)間; (3)若函數(shù)g(x)=f(x)+1在區(qū)間(a,b)上恰有10個零點,求b-a的最大值.,解析(1)由圖象可得A=2,=-=,則=2,所以f(x)=2sin. (2)令-+2k2x+2k,kZ,得- +kx+k,kZ, 又x0,所以函數(shù)y=f(x)在0,的單調(diào)增區(qū)間為和. (3)令 g(x)=0,則f(x)=2sin=-1,得x=k+或x=k+(kZ), 函數(shù)f(x)在每個周期上有兩個零點,所以共有5個周期, 所以b-a的最大值為5T+=.,【方法歸納】(1)由正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的局部圖象求解析式時,依據(jù)各個量的幾何意義求解,如A是振幅,若函數(shù)的最大值是M,最小值是m,則A=; 的求解一般利用周期公式,即對正弦函數(shù)或余弦函數(shù)都有|=;為初相, 一般由最高點或最低點代入求解;(2)簡單的三角方程或三角不等式求解,要結合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象,同時注意考慮所有可能情況,避免漏解.,2-1,(2018江蘇南京期末)已知函數(shù) f(x)=Asin(x+)(A0,0,0<<) 的圖象如圖所示.,(1)求A,的值; (2)若x,求f(x)的值域.,解析(1)設函數(shù)f(x)的最小正周期為T, 由圖象知,A=2,T=-=,所以周期T=, 從而=2. 因為函數(shù)圖象過點,所以sin=1. 因為0<<,所以-<-+<, 所以-+=, 解得=.因此 A=2,=2,=. (2)由(1)知 f(x)=2sin.,因為x,所以-2x+, 所以-sin1,從而函數(shù)f(x)的值域為-,2.,題型三三角函數(shù)的圖象與三角恒等變換的綜合問題,例3(2018江蘇揚州調(diào)研)下圖是函數(shù)f(x)=Asin(x+)在 一個周期內(nèi)的圖象.已知點P(-6,0),Q(-2,-3)是圖象上的最低點,R是圖象上的最高點. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)記RPO=,QPO=(,均為銳角),求tan(2+)的值.,解析(1)因為圖象在一個周期內(nèi)的最低點為Q(-2,-3),與x軸的交點為P(-6,0),所以A=3,T=4(-2+6)=16. 又T=,所以=, 所以f(x)=3sin. 將點Q(-2,-3)的坐標代入,得-3=3sin, 所以-+=-+2k,kZ, 所以=-+2k,kZ,又,所以=-, 所以f(x)=3sin. (2)點R的橫坐標xR=xQ+T=-2+8=6,所以R(6,3). 因為,均為銳角,所以tan =,tan =, 所以tan 2=,所以tan(2+)=.,【方法歸納】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與x軸的交點是函數(shù)圖象的對稱中心,過最高點或最低點且與x軸垂直的直線是函數(shù)圖象的對稱軸,相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離等于T(其中T為函數(shù)的最小正周期),相鄰對稱 軸之間的距離等于T,相鄰對稱中心之間的距離等于T.,3-1(2018江蘇鹽城期中)設函數(shù)f(x)=Asin(x+)其中A,為常數(shù)且A0, 0,-<<的部分圖象如圖所示,若f()=,則f的值為.,答案,解析由函數(shù)f(x)的圖象知,A=2, 由T=2=2,得=1,f(x)=2sin(x+). 又f(x)=2sin=2, 且- <<, =-,f(x)=2sin. f()=2sin=,sin=.又0<<, -<-<, cos=, f=2sin =2sin =2sincos+2cossin =2+2=.,