第2講數(shù)列的求和問題,專題三數(shù)列與不等式,板塊三專題突破核心考點(diǎn),考情考向分析,數(shù)列的求和問題作為數(shù)列的基礎(chǔ)知識，為數(shù)列與不等式等綜合問題提供必要的準(zhǔn)備,熱點(diǎn)分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點(diǎn)分類突破,熱點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和,有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并,解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，且q0， 由an0，a1a34，得a22， 又a3是a22與a4的等差中項(xiàng)， 故2a3a22a4，22q222q2， q2或q0(舍)ana2qn22n1， an12n ，bnn(nN*),例1在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a1a34，a3是a22與a4的等差中項(xiàng)，若an1 (nN*) (1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；,解答,解答,在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解在利用分組求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并為一個(gè)公式,解答,解設(shè)an的公差為d， 因?yàn)閍23，an前4項(xiàng)的和為16，,解得a11，d2， 所以an1(n1)22n1(nN*),(2)求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.,解答,解由(1)得bn3n2n1， 所以Sn(332333n)(1352n1),熱點(diǎn)二錯(cuò)位相減法求和,錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列,(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；,解答,所以數(shù)列bn是公差為3的等差數(shù)列，,所以bnb13(n1)3n1(nN*),(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.,解答,(1)錯(cuò)位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列 (2)所謂“錯(cuò)位”，就是要找“同類項(xiàng)”相減要注意的是相減后得到部分求等比數(shù)列的和，此時(shí)一定要查清其項(xiàng)數(shù) (3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1,2進(jìn)行驗(yàn)證,(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；,解答,d22d0，因?yàn)閐0，所以d2，所以bn2n1(nN*),(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.,解答,熱點(diǎn)三裂項(xiàng)相消法求和,裂項(xiàng)相消法是指把數(shù)列和式中的各項(xiàng)分別裂開后，某些項(xiàng)可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于 (其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和,例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sna(Snan1)(nN*)(a為常數(shù)，a0，a1) (1)求an的通項(xiàng)公式；,解答,n1時(shí)，a1a. n2時(shí)，Sn1a(Sn1an11)， SnSn1ana(SnSn1)aanaan1，,數(shù)列an是以a為首項(xiàng)，a為公比的等比數(shù)列， anan(nN*),(2)設(shè)bnanSn，若數(shù)列bn為等比數(shù)列，求a的值；,解答,解由bnanSn得，b12a， b22a2a， b32a3a2a. 數(shù)列bn為等比數(shù)列，,解答,(1)裂項(xiàng)相消法的基本思想就是把通項(xiàng)an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，從而在求和時(shí)達(dá)到某些項(xiàng)相消的目的，在解題時(shí)要善于根據(jù)這個(gè)基本思想變換數(shù)列an的通項(xiàng)公式，使之符合裂項(xiàng)相消的條件 (2)常用的裂項(xiàng)公式,(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解答,又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a11，anan10，,a2a12，符合anan12， an是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列， an1(n1)22n1(nN*),解答,又nN*，n的最小值為10.,真題押題精練,真題體驗(yàn),解析,答案,解析 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，,2.(2017天津)已知an為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，bn是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4. (1)求an和bn的通項(xiàng)公式；,解答,解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q. 由已知b2b312，得b1(qq2)12， 又b12，所以q2q60. 又因?yàn)閝0，解得q2，所以bn2n. 由b3a42a1，可得3da18， 由S1111b4，可得a15d16， 聯(lián)立，解得a11，d3， 由此可得an3n2(nN*) 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n2(nN*)，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n(nN*),(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和(nN*),解答,解設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項(xiàng)和為Tn，由a2n6n2，b2n124n1， 得a2nb2n1(3n1)4n， 故Tn24542843(3n1)4n， 4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1， ，得3Tn2434234334n(3n1)4n1,押題預(yù)測,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)以及求和是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，也是考試大綱中明確提出的知識點(diǎn)，年年在考，年年有變，變的是試題的外殼，即在題設(shè)的條件上有變革，有創(chuàng)新，但在變中有不變性，即解答問題的常用方法有規(guī)律可循,1.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an (nN*)，其前n項(xiàng)和為Sn，若 存在MZ，滿足對任意的nN*，都有Sn<M恒成立，則M的最小值為_,1,押題依據(jù)錯(cuò)位相減法求和是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，本題先利用an，Sn的關(guān)系求an，也是高考出題的常見形式,解答,押題依據(jù),2.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Snn2，數(shù)列bn滿足：,(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；,解當(dāng)n1時(shí)，a1S11， 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1(nN*)， 又a11滿足an2n1， an2n1(nN*),且bn0，2bn1bn，,解答,(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.,