第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列,專題三數(shù)列與不等式,板塊三專題突破核心考點(diǎn),考情考向分析,1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn). 2.等差、等比數(shù)列的判定及綜合應(yīng)用也是高考考查的重點(diǎn)，注意基本量及定義的使用，考查分析問題、解決問題的綜合能力,熱點(diǎn)分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點(diǎn)分類突破,1.通項(xiàng)公式 等差數(shù)列：ana1(n1)d； 等比數(shù)列：ana1qn1. 2.求和公式,熱點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算,3.性質(zhì) 若mnpq， 在等差數(shù)列中amanapaq； 在等比數(shù)列中amanapaq.,例1(1)(2018全國)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3S3S2S4，a12，則a5等于 A.12 B.10 C.10 D.12,解析,答案,解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，,將a12代入上式，解得d3， 故a5a1(51)d24(3)10.故選B.,解析由題意可得，S4S2q2S2，代入得q29. 等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)， q3，解得a12，故a5162.,(2)(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若S480，S28，則公比q_，a5_.,解析,答案,3 162,在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量.,跟蹤演練1(1)(2018浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a12 017，S62S318，則S2 019等于 A.2 016 B.2 019 C.2 017 D.2 018,解析,答案,解析在等差數(shù)列an中，設(shè)公差為d. S62S318， a4a5a6(a1a2a3)9d18. d2，,2 0192 0182 0192 0172 019，故選B.,(2)(2018全國)等比數(shù)列an中，a11，a54a3. 求an的通項(xiàng)公式；,解答,解設(shè)an的公比為q， 由題設(shè)得anqn1. 由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2. 故an(2)n1或an2n1(nN*).,記Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sm63，求m.,解答,由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解. 若an2n1，則Sn2n1. 由Sm63得2m64，解得m6. 綜上，m6.,熱點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明,證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法 (1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法 利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)； 利用等差中項(xiàng)，即證明2anan1an1(n2，nN*). (2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法,證明,(1)求證：數(shù)列anbn為等比數(shù)列；,又a1b13(1)4， 所以anbn是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列.,解答,解由(1)知，anbn2n1， ,又a1b13(1)2， 所以anbn為常數(shù)數(shù)列，anbn2， 聯(lián)立得，an2n1，,(1)判斷一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，但不能作為證明方法. (2) an1an1(n2)是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時還要看各項(xiàng)是否為零.,證明,當(dāng)n2時，有anSnSn1，代入(*)式得 2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，,又當(dāng)n1時，由(*)式可得a1S11，,解答,(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,又a1S11滿足上式，,解答,解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題，要從兩個數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解.,熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題,解答,例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與其前n項(xiàng)和Sn；,解由a2a7a126，得a72，a14，,解答,(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，若存在mN*，使得對任意nN*，總有Sn<Tm恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.,解由題意知b14，b22，b31，,Tm為遞增數(shù)列，得4Tm<8.,故(Sn)maxS4S510， 若存在mN*，使得對任意nN*，總有Sn2. 即實(shí)數(shù)的取值范圍為(2，).,(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，常用“基本量法”求解，但有時靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便. (2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問題. (3)數(shù)列中的恒成立問題可以通過分離參數(shù)，通過求數(shù)列的值域求解.,解答,跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn13(an1)，nN*. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解由已知得Sn3an2，令n1，得a11，,解答,解由an1,真題押題精練,真題體驗(yàn),1.(2017全國改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a4a524，S648，則an的公差為_.,解析,答案,4,解析設(shè)an的公差為d，,解得d4.,2.(2017浙江改編)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d0”是“S4S62S5”的_條件.,解析,答案,充要,解析方法一數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列， S44a16d，S55a110d，S66a115d， S4S610a121d，2S510a120d. 若d0，則21d20d，10a121d10a120d， 即S4S62S5. 若S4S62S5，則10a121d10a120d， 即21d20d， d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件. 方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0. “d0”是“S4S62S5”的充要條件.,3.(2017北京)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則 _.,解析,答案,1,解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q， 則由a4a13d，,q2.,解析設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，,解析,答案,32,押題預(yù)測,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和是數(shù)列最基本的知識點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，可以考查學(xué)生靈活變換的能力.,1.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然數(shù)n的值為 A.6 B.7 C.12 D.13,解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然數(shù)n的值為12.,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題可反映知識運(yùn)用的綜合性和靈活性，是高考出題的重點(diǎn).,2.在等比數(shù)列an中，a33a22，且5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng)，則an的公比等于 A.3 B.2或3 C.2 D.6,解析設(shè)公比為q,5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng)，可得10a412a32a5,10a3q12a32a3q2，得10q122q2，解得q2或3.又a33a22，所以a2q3a22，即a2(q3)2，所以q2.,答案,解析,押題依據(jù),押題依據(jù)本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題，綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，是高考命題的方向.,解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4， 整理得q2q20， 解得q2或q1(不合題意，舍去).,押題依據(jù)先定義一個新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問題是近年來高考中逐漸興起的一類問題，這類問題一般形式新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺.,4.定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)： f(x)x2；f(x)2x；f(x) f(x)ln|x|. 則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號為 A. B. C. D.,答案,解析,押題依據(jù),f(an)f(an2) f(an1)2；,f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f(an1)2.,