第5講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點、不等式問題,高考定位在高考壓軸題中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點，常以含指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)、比較大小、不等式證明、不等式恒成立與能成立問題.,真 題 感 悟,因為x1x2，所以x1x2256.,所以g(x)在256，)上單調(diào)遞增，故g(x1x2)g(256)88ln 2，,即f(x1)f(x2)88ln 2.,1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點 函數(shù)的零點、方程的實根、函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)是三個等價的概念，解決這類問題可以通過函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫出函數(shù)圖象的變化趨勢，數(shù)形結(jié)合求解. 2.三次函數(shù)的零點分布 三次函數(shù)在存在兩個極值點的情況下，由于當(dāng)x時，函數(shù)值也趨向，只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點的個數(shù)即可.存在兩個極值點x1，x2且x1<x2的函數(shù)f(x)ax3bx2cxd(a0)的零點分布情況如下：,考 點 整 合,3.利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題 (1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式. 若證明f(x)<g(x)，x(a，b)，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，如果能證明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可證明f(x)<g(x)，x(a，b).,(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的“恒成立”與“存在性”問題. f(x)g(x)對一切xI恒成立I是f(x)g(x)的解集的子集f(x)g(x)min0 (xI). xI，使f(x)g(x)成立I與f(x)g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max0(xI). 對x1，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min. 對x1I，x2I使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min. 溫馨提醒解決方程、不等式相關(guān)問題，要認真分析題目的結(jié)構(gòu)特點和已知條件，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)并借助導(dǎo)數(shù)研究性質(zhì)，這是解題的關(guān)鍵.,探究提高1.三步求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題. 第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點問題； 第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)，進而畫出其圖象； 第三步：結(jié)合圖象求解. 2.根據(jù)函數(shù)零點情況求參數(shù)范圍：(1)要注意端點的取舍；(2)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進行討論.,【訓(xùn)練1】 設(shè)函數(shù)f(x)x3ax2bxc. (1)求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程； (2)設(shè)ab4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點，求c的取值范圍.,解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb.,f(0)c，f(0)b，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為ybxc.,(2)當(dāng)ab4時，f(x)x34x24xc，f(x)3x28x4.,(2)證明由(1)知，f(x)存在兩個極值點時，當(dāng)且僅當(dāng)a2.,由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2ax10，,(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù).,故(x)在x1處取得極小值，也是最小值.(x)min(1)0.,綜上，當(dāng)a1時，f(x)min1a；,當(dāng)x1，a時，f(x)0，f(x)為減函數(shù)；,當(dāng)xa，e時，f(x)0，f(x)為增函數(shù).,當(dāng)1ae時，f(x)mina(a1)ln a1；,所以f(x)minf(a)a(a1)ln a1.,f(x)minf(e)e(a1)，又g(x)(1ex)x.,(2)由題意知：f(x)(xe，e2)的最小值小于g(x)(x2，0)的最小值.,由(1)知f(x)在e，e2上單調(diào)遞增，,探究提高1.(1)涉及不等式證明或恒成立問題，常依據(jù)題目特征，恰當(dāng)構(gòu)建函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值、極值問題，在轉(zhuǎn)化過程中，一定要注意等價性. (2)對于含參數(shù)的不等式，如果易分離參數(shù)，可先分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)，直接轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值；否則應(yīng)進行分類討論，在解題過程中，必要時，可作出函數(shù)圖象草圖，借助幾何圖形直觀分析轉(zhuǎn)化. 2.“恒成立”與“存在性”問題的求解是“互補”關(guān)系，即f(x)g(a)對于xD恒成立，應(yīng)求f(x)的最小值；若存在xD，使得f(x)g(a)成立，應(yīng)求f(x)的最大值.應(yīng)特別關(guān)注等號是否取到，注意端點的取舍.,【訓(xùn)練2】 (2018全國卷)已知函數(shù)f(x)exax2. (1)若a1，證明：當(dāng)x0時，f(x)1； (2)若f(x)在(0，)只有一個零點，求a.,(1)證明當(dāng)a1時，f(x)1等價于(x21)ex10.,(2)解設(shè)函數(shù)h(x)1ax2ex.,()當(dāng)a0時，h(x)0，h(x)沒有零點；,()當(dāng)a0時，h(x)ax(x2)ex.,當(dāng)x(0，2)時，h(x)0.,所以h(x)在(0，2)單調(diào)遞減，在(2，)單調(diào)遞增.,f(x)在(0，)只有一個零點當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0，)只有一個零點.,1.重視轉(zhuǎn)化思想在研究函數(shù)零點中的應(yīng)用，如方程的解、兩函數(shù)圖象的交點均可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點，充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)，借助導(dǎo)數(shù)求解. 2.對于存在一個極大值和一個極小值的函數(shù)，其圖象與x軸交點的個數(shù)，除了受兩個極值大小的制約外，還受函數(shù)在兩個極值點外部函數(shù)值的變化的制約，在解題時要注意通過數(shù)形結(jié)合找到正確的條件.,3.利用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)在區(qū)間D上恒成立的基本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0.其中找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點是解題的突破口. 4.不等式恒成立、能成立問題常用解法 (1)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為最值，不等式恒成立問題在變量與參數(shù)易于分離的情況下，采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，形如af(x)max或af(x)min. (2)直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，在參數(shù)難于分離的情況下，直接轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)的最值問題，伴有對參數(shù)的分類討論. (3)數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)圖象的幾何直觀性求解，一定要重視函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用.,