第三章 函數(shù)一、基礎(chǔ)知識定義1 映射，對于任意兩個集合A，B，依對應(yīng)法則f，若對A中的任意一個元素x，在B中都有唯一一個元素與之對應(yīng)，則稱f: AB為一個映射。定義2 單射，若f: AB是一個映射且對任意x, yA, xy, 都有f(x)f(y)則稱之為單射。定義3 滿射，若f: AB是映射且對任意yB，都有一個xA使得f(x)=y，則稱f: AB是A到B上的滿射。定義4 一一映射，若f: AB既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1: AB。定義5 函數(shù)，映射f: AB中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若xA, yB，且f(x)=y（即x對應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合f(x)|xA叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3-1的定義域為x|x0,xR. 定義6 反函數(shù)，若函數(shù)f: AB（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1: AB叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x, y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y=的反函數(shù)是y=1-(x0).定理1 互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。定理2 在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。定義7 函數(shù)的性質(zhì)。（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1, x2I并且x1< x2，總有f(x1)<f(x2)(f(x)>f(x2)，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，且D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，若對于任意的xD，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的xD，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。（3）周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個數(shù)時，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。定義8 如果實數(shù)a<b，則數(shù)集x|a<x<b, xR叫做開區(qū)間，記作（a,b），集合x|axb,xR記作閉區(qū)間a,b，集合x|a<xb記作半開半閉區(qū)間（a,b，集合x|ax<b記作半閉半開區(qū)間a, b)，集合x|x>a記作開區(qū)間（a, +），集合x|xa記作半開半閉區(qū)間（-,a.定義9 函數(shù)的圖象，點集(x,y)|y=f(x), xD稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b>0)；（1）向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。定理3 復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性，記住四個字：“同增異減”。例如y=, u=2-x在（-,2）上是減函數(shù)，y=在（0，+）上是減函數(shù)，所以y=在（-,2）上是增函數(shù)。注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。二、方法與例題xyx11x1數(shù)形結(jié)合法。例1 求方程|x-1|=的正根的個數(shù).【解】 分別畫出y=|x-1|和y=的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點，所以方程有一個正根。例2 求函數(shù)f(x)=的最大值。【解】 f(x)=，記點P(x, x2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動點P到點A和B距離的差。因為|PA|-|PA|AB|=,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線與拋物線y=x2的交點時等號成立。所以f(x)max=2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例3 設(shè)x, yR，且滿足，求x+y.【解】 設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-，+）上遞增。事實上，若a<b，則f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0，所以f(t)遞增。由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.例4 奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范圍?！窘狻?因為f(x) 是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)<f(a2-1)。又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-1<1-a<a2-1<1，解得0<a<1。例5 設(shè)f(x)是定義在（-，+）上以2為周期的函數(shù)，對kZ, 用Ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1，已知當(dāng)xI0時，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式?！窘狻?設(shè)xIk，則2k-1<x2k+1，所以f(x-2k)=(x-2k)2.又因為f(x)是以2為周期的函數(shù)，所以當(dāng)xIk時，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.例6 解方程：(3x-1)()+(2x-3)(+1)=0.【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化為m(+1)+n(+1)=0. 若m=0，則由得n=0，但m, n不同時為0，所以m0, n0.)若m>0，則由得n<0，設(shè)f(t)=t(+1),則f(t)在（0，+）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=,但與m<0矛盾。綜上，方程有唯一實數(shù)解x=3.配方法。例7 求函數(shù)y=x+的值域。【解】 y=x+=2x+1+2+1-1=(+1)-1-1=-.當(dāng)x=-時，y取最小值-，所以函數(shù)值域是-，+）。4換元法。例8 求函數(shù)y=(+2)(+1),x0,1的值域?！窘狻苛?=u，因為x0,1，所以2u2=2+24,所以u2,所以2，12，所以y=,u2+2，8。所以該函數(shù)值域為2+，8。5判別式法。例9 求函數(shù)y=的值域?！窘狻坑珊瘮?shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 當(dāng)y1時，式是關(guān)于x的方程有實根。所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得y1.又當(dāng)y=1時，存在x=0使解析式成立，所以函數(shù)值域為，7。6關(guān)于反函數(shù)。例10 若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-,+ )上遞增，求證：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函數(shù)?！咀C明】設(shè)x1<x2, 且y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，則x1=f(y1), x2=f(y2)，若y1y2，則因為f(x)在(-,+ )上遞增，所以x1x2與假設(shè)矛盾，所以y1<y2。即y=f-1(x)在(-,+ )遞增。例11 設(shè)函數(shù)f(x)=，解方程：f(x)=f-1(x).【解】 首先f(x)定義域為（-，-）-，+）；其次，設(shè)x1, x2是定義域內(nèi)變量，且x1<x2<-;=>0,所以f(x)在（-，-）上遞增，同理f(x)在-，+）上遞增。在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x0,所以x,y-，+）.若xy，設(shè)x<y，則f(x)=y<f(y)=x，矛盾。同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,因為x0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知X=-1, 0, 1, Y=-2, -1, 0, 1, 2，映射f：XY滿足：對任意的xX，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_個。2給定A=1，2，3，B=-1，0，1和映射f：XY，若f為單射，則f有_個；若f為滿射，則f有_個；滿足ff(x) =f(x)的映射有_個。3若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點（-1，-1），則圖象與直線一共有_個交點。4函數(shù)y=f(x)的值域為，則函數(shù)g(x)=f(x)+的值域為_。5已知f(x)=，則函數(shù)g(x)=ff(x)的值域為_。6已知f(x)=|x+a|，當(dāng)x3時f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_。7設(shè)y=f(x)在定義域（，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_。8若函數(shù)y=(x)存在反函數(shù)y=-1(x)，則y=-1(x)的圖象與y=-(-x)的圖象關(guān)于直線_對稱。9函數(shù)f(x)滿足=1-，則f()=_。10. 函數(shù)y=, x(1, +)的反函數(shù)是_。11求下列函數(shù)的值域：（1）y=; (2)y=; (3)y=x+2; (4) y=12. 已知定義在R上，對任意xR, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x2,3時，f(x)=x，則當(dāng)x-2,0時，求f(x)的解析式。四、高考水平訓(xùn)練題1已知a, f(x)定義域是（0,1，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域為_。2設(shè)0a<1時，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域為_。3映射f: a, b, c, d1，2，3滿足10<f(a)·f(b)·f(c)·f(d)<20，這樣的映射f有_個。4設(shè)函數(shù)y=f(x)(xR)的值域為R，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，ff(x)=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_Q（填=、）。5下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1)；（2）g(x)=|2x+1|-|2x-1| ; (3) (x)=；（4）y=6. 設(shè)函數(shù)y=f(x)(xR且x0)，對任意非零實數(shù)x1, x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x-)0的解集為_。7函數(shù)f(x)=，其中P，M為R的兩個非空子集，又規(guī)定f(P)=y|y=f(x), xP, f(M)=y|y=f(x), xM，給出如下判斷：若PM=，則f(P) f(M)=；若PM，則f(P) f(M)；若PM=R, 則f(P) f(M)=R；若PMR，則f(P) f(M)R. 其中正確的判斷是_。8函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)= _。9已知y=f(x)是定義域為-6，6的奇函數(shù)，且當(dāng)x0，3時是一次函數(shù)，當(dāng)x3，6時是二次函數(shù)，又f(6)=2，當(dāng)x3，6時，f(x)f(5)=3。求f(x)的解析式。10設(shè)a>0，函數(shù)f(x)定義域為R，且f(x+a)=，求證：f(x)為周期函數(shù)。11設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為，（<），已知函數(shù)f(x)=,（1）求f()、f()；（2）求證：f(x)在，上是增函數(shù)；（3）對任意正數(shù)x1, x2，求證：<2|-|.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個單位，然后向右平移2個單位后，再關(guān)于直線y=-x對稱，得到的曲線所對應(yīng)的函數(shù)是_.2若a>0，a1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x)是_（奇偶性）.3若=x，則下列等式中正確的有_.F(-2-x)=-2-F(x)；F(-x)= ；F(x-1)=F(x)；F(F(x)=-x.4.設(shè)函數(shù)f：RR滿足f(0)=1，且對任意x,yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=_.5已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對任意xR都有f(x+5)f(x)+5, f(x+1) f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)= _.6. 函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是_.7. 函數(shù)f(x)=的奇偶性是：_奇函數(shù)，_偶函數(shù)（填是，非）。8. 函數(shù)y=x+的值域為_.9設(shè)f(x)=,對任意的aR，記V(a)=maxf(x)-ax|x1, 3-minf(x)-ax|x1, 3，試求V(a)的最小值。10解方程組： （在實數(shù)范圍內(nèi)）11設(shè)kN+, f: N+N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對任意nN+, 有ff(n)=kn，求證：對任意nN+, 都有nf(n)六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1求證：恰有一個定義在所有非零實數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對任意x0, f(x)=x·f；（2）對所有的x-y且xy0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).2.設(shè)f(x)對一切x>0有定義，且滿足：（）f(x)在（0，+）是增函數(shù)；()任意x>0, f(x)f=1，試求f(1).3. f:0,1R滿足：（1）任意x0, 1, f(x)0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x, y, x+y0, 1時，f(x)+f(y)f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)cx.4. 試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。5對給定的正數(shù)p,q(0, 1)，有p+q>1p2+q2，試求f(x)=(1-x)+在1-q,p上的最大值。6已知f: (0,1)R且f(x)=.當(dāng)x時，試求f(x)的最大值。7函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)=，求f(100)的值。8函數(shù)y=f(x)定義在整個實軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)角后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個解；（2）試給出一個具有上述性質(zhì)的函數(shù)。9設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個函數(shù)f: Q+Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y)=x, yQ+.高考資源網(wǎng)()來源：高考資源網(wǎng)版權(quán)所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )