第六節(jié) 空間直線及其方程,一、空間直線的一般方程,二、空間直線的對(duì)稱式方程 和參數(shù)式方程,三、兩直線的夾角,四、直線與平面的夾角,,,定義,空間直線可看成兩平面的交線,空間直線的一般方程,,一、空間直線的一般方程,方向向量的定義：,如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的方向向量,,,二、空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程,直線的任一方向向量的三個(gè)坐標(biāo)m,n,p叫做該直線的一組方向數(shù).,方向向量的余弦稱為直線的方向余弦.,直線的對(duì)稱式方程,即,,有,且,,,,,建立直線方程,或點(diǎn)向式方程,說(shuō)明:,在直線方程中某些分母為零時(shí), 其分子也,即平行于z軸的直線.,表示,即平行于yOz面（在平面x=2上）的直線.,理解為零.,例如,表示,而,令,直線的參數(shù)方程,則,,點(diǎn)向式方程,解,故可取直線的方向向量,因此所求直線方程為,例1 一直線過(guò)點(diǎn),，且與直線,平行，求其方程.,依題意,所求直線與已知直線平行,,已知直線的方向向量為,例2 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線：,解,在直線上任取一點(diǎn),取,解得,點(diǎn)的坐標(biāo),因所求直線與兩平面的法向量都垂直,取,對(duì)稱式方程,參數(shù)方程,,,定義,直線,直線,兩直線的方向向量的夾角（銳角）,則兩直線的夾角公式：,三、兩直線的夾角,稱為兩直線的夾角.,,,,兩直線的位置關(guān)系：,//,直線,直線,例如，,解,設(shè)所求直線的方向向量為,根據(jù)題意知,取,所求直線的方程,例3,定義,直線和它在平面上的投影直線的夾角,,,,,四、直線與平面的夾角,稱為直線與平面的夾角,,直線與平面的夾角公式,直線與平面的位置關(guān)系：,//,,解 取已知平面的法向量,則直線的對(duì)稱式方程為,垂直的直線方程.,為所求直線的方向向量.,,,,,,例4 求過(guò)點(diǎn)(1,2 , 4) 且與平面,(1,2 , 4),解,為所求夾角,例5,解,先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面,再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,,,,,,,,,過(guò)M,N的直線L即為所求直線.,例6,求交點(diǎn)：,把已知直線化為參數(shù)方程,代入平面方程得 ,,交點(diǎn),取所求直線的方向向量為,所求直線方程為,令,,,,,,,,,,,,,,利用平面束的方程解題,通過(guò)定直線的所有平面的全體稱為平面束.,稱為通過(guò)L平面束方程,設(shè)直線 L由方程組,所確定,,其中系數(shù),與,不成比例.,,解,例7,求直線,在平面,上的投影直線的方程.,過(guò)直線,的平面束的方程為,其中,為待定常數(shù).,解,通過(guò) L的平面束的方程為,垂直條件是,這平面與平面,所求投影直線的方程為,代入,得投影平面方程為,一、空間直線方程,一般式,對(duì)稱式,參數(shù)式,小 結(jié),直線,二、線與線的關(guān)系,直線,夾角公式:,,,,,平面 :,L,L // ,夾角公式：,三、面與線間的關(guān)系,直線 L :,,,,,思考題,思考題解答,且有,故當(dāng) 時(shí)結(jié)論成立,作 業(yè),p.335 習(xí)題7-6,4；7；8；10；11; 15; 16.,