專題22 以特殊的平行四邊形為背景的證明與計(jì)算考點(diǎn)分析【例1】（2020·安徽初三）（已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD>AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連結(jié)AF和CE（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面積為24cm2，求ABF的周長；（3）在線段AC上是否存在一點(diǎn)P，使得2AE2=AC·AP？若存在，請說明點(diǎn)P的位置，并予以證明；若不存在，請說明理由【答案】(1)證明見解析；（2）24cm；（3）存在，過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)，證明見解析.【解析】解：（1）四邊形ABCD是矩形，ADBC，EAO=FCO，由折疊的性質(zhì)可得：OA=OC，ACEF，在AOE和COF中，AOECOF（ASA），AE=CF，四邊形AFCE是平行四邊形，ACEF，四邊形AFCE是菱形；（2）四邊形AFCE是菱形，AF=AE=10cm，四邊形ABCD是矩形，B=90°，SABF=ABBF=24cm2，ABBF=48（cm2），AB2+BF2=（AB+BF）2-2ABBF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），AB+BF=14（cm）ABF的周長為：AB+BF+AF=14+10=24（cm）（3）證明：過E作EPAD交AC于P，則P就是所求的點(diǎn)當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90°，在平行四邊形ABCD中，ADBC，EAO=FCO，AOECOF，OE=OF四邊形AFCE是菱形AOE=90°，又EAO=EAP，由作法得AEP=90°，AOEAEP，則AE2=AOAP，四邊形AFCE是菱形，AOAC，AE2=ACAP，2AE2=ACAP【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問題）；菱形的判定；矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確推理論證是解題關(guān)鍵【例2】（2019·江蘇泰州中學(xué)附屬初中初三月考）如圖，正方形ABCD的邊長為6，把一個含30°的直角三角形BEF放在正方形上，其中FBE30°，BEF90°，BEBC，繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)動FBE，在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）如圖1，當(dāng)F點(diǎn)落在邊AD上時，求EDC的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)EF與邊AD交于點(diǎn)M，F(xiàn)E的延長線交DC于G，當(dāng)AM2時，求EG的長；（3）如圖3，設(shè)EF與邊AD交于點(diǎn)N，當(dāng)tanECD時，求NED的面積【答案】（1）15°；（2）3；（3）【解析】解：（1）如圖1中，作EHBC于H，EMCD于M則四邊形EMCH是矩形四邊形ABCD是正方形，BABCCD，ABCBCD90°，BCBE，ABBECD，在RtBFA和RtBFE中，RtBFARtBFE（HL），ABFEBF30°，ABC90°，EBC30°，EHMCBECD，DMCM，EMCD，EDEC，BCE（180°30°）75°，EDCECD15°（2）如圖2中，連接BM、BGAM2，DMADAM4，由（1）可知BMABME，BGEBGC，AMEM2，EGCG，設(shè)EGCGx，則DG6x在RtDMG中，MG2DG2+DM2，（2+x）2（6x）2+42，x3，EG3（3）如圖3中，連接BN，延長FE交CD于G，連接BGANNE，EGCG，BEBC，BG垂直平分CE，ECG+BCG90°，GBC+ECB90°，ECDGCB，tanGBCtanECD，CGBC2，CD6，DGCDCG4，設(shè)ANENy，則DN6y，在RtDNG中，（6y）2+42（2+y）2，解得：y3，ANNE3，DN3，NG5，SNEDSDNG××3×4【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題考點(diǎn)集訓(xùn)1（2020·陜西初三期中）問題：如圖，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA2，PB=，PC1，求BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長李明同學(xué)的思路是：將BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖)，連接PP，可得PPB是等邊三角形，而PPA又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證)，可得APB °，所以BPCAPB °，還可證得ABP是直角三角形，進(jìn)而求出等邊三角形ABC的邊長為 ，問題得到解決（1）根據(jù)李明同學(xué)的思路填空：APB °，BPCAPB °，等邊三角形ABC的邊長為 （2）探究并解決下列問題：如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA，PB，PC1.求BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長【答案】（1）APB150°，BPCAPB150°，等邊三角形ABC的邊長為；（2）BPC135°，正方形ABCD的邊長為.【解析】（1）等邊ABC，ABC=60°，將BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得出ABP，AP=CP=1，BP=BP=，PBC=PBA，APB=BPC，PBC+ABP=ABC=60°，ABP+ABP=ABC=60°，BPP是等邊三角形，PP=，BPP=60°，AP=1，AP=2，AP2+PP2=AP2，APP=90°，BPC=APB=90°+60°=150°，過點(diǎn)B作BMAP，交AP的延長線于點(diǎn)M，MPB=30°，BM=，由勾股定理得：PM=，AM=1+=，由勾股定理得：AB=，故答案為：150°，（2）將BPC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AEB，與（1）類似：可得：AE=PC=1，BE=BP=，BPC=AEB，ABE=PBC，EBP=EBA+ABP=ABC=90°，BEP=（180°-90°）=45°，由勾股定理得：EP=2，AE=1，AP=，EP=2，AE2+PE2=AP2，AEP=90°，BPC=AEB=90°+45°=135°，過點(diǎn)B作BFAE，交AE的延長線于點(diǎn)F；FEB=45°，F(xiàn)E=BF=1，AF=2；在RtABF中，由勾股定理，得AB=；BPC=135°，正方形邊長為答：BPC的度數(shù)是135°，正方形ABCD的邊長是【點(diǎn)睛】本題主要考查對勾股定理及逆定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的 直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，正確作輔助線并能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行證明是解此題的關(guān)鍵2（2019·云南初三月考）如圖，矩形ABCD中，AB4，AD3，E是邊AB上一點(diǎn)，將CBE沿直線CE對折，得到CFE，連接DF（1）當(dāng)D、E、F三點(diǎn)共線時，證明：DECD；（2）當(dāng)BE1時，求CDF的面積；（3）若射線DF交線段AB于點(diǎn)P，求BP的最大值【答案】（1）見解析；（2）；（3）4【解析】證明：（1）四邊形ABCD是矩形ABCD4，ADBC3，ABCD，DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEBDCEFECDECD（2）如圖1，延長EF交CD的延長線于點(diǎn)G，四邊形ABCD是矩形ABCD4，ADBC3，ABCD，DCECEBCBE翻折得到CFEFECCEB，CFBC3，EFBE1，CFE90°DCEFEC，CFG90°CGEG，GFGEEFCG1在RtCGF中，CG2CF2+GF2，CG29+（CG1）2，解得：CG5CDF與CGF分別以CD、CG為底時，高相等SCDFSCGF（3）如圖2，過點(diǎn)C作CHDP于點(diǎn)H，連接CP，CDABCDPAPD，且ACHD90°ADPHCD，CHCF，CFBCAD3CH3當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)F重合時，CH最大，DH最小，AP最小，BP最大，此時，在ADP與HCDADPHCD（AAS）CDDP4，APDFAPBP的最大值為4【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)3（2019·江蘇初二期末）如圖1，正方形ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點(diǎn)M（1）直接寫出AM=；（2）P是射線AM上的一點(diǎn)，Q是AP的中點(diǎn)，設(shè)PQ=xAP= ，AQ= ；以PQ為對角線作正方形，設(shè)所作正方形與ABD公共部分的面積為S，用含x的代數(shù)式表示S，并寫出相應(yīng)的x的取值范圍(直接寫出，不需要寫過程)【答案】（1）；（2）2x，x；S(0x)【解析】解：（1）正方形ABCD的邊長為4，對角線AC4，又AM2故答案為：2（2）Q是AP的中點(diǎn)，設(shè)PQ=x，AP=2PQ=2x，AQ=x故答案為：2x；x如圖：以PQ為對角線作正方形，GQM=FQM=45°正方形ABCD對角線AC、BD交于點(diǎn)M，F(xiàn)MQ=GMQ=90°，F(xiàn)MQ和GMQ均為等腰直角三角形，F(xiàn)M=QM=MGQM=AMAQ=2x，SFGQM，S，依題意得：，0x2，綜上所述：S(0x2)，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角解答本題要充分利用等腰直角三角形性質(zhì)解答4（2019·江蘇初二期末）（1）如圖1，已知正方形ABCD，點(diǎn)M和N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且BM=CN，連接AM和BN，交于點(diǎn)P猜想AM與BN的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，將圖（1）中的APB繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90º，得到APB，延長AP交AP于點(diǎn)E，試判斷四邊形BPEP的形狀，并說明理由【答案】（1）AMBN，證明見解析；（2）四邊形BPEP是正方形，理由見解析.【解析】（1）AMBN 證明：四邊形ABCD是正方形，AB=BC，ABM=BCN=90°BM=CN，ABMBCN BAM=CBNCBN+ABN=90°，ABN+BAM=90°，APB=90°AMBN （2）四邊形BPEP是正方形. APB是APB繞著點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90º所得，BP= BP,PBP=90º.又由（1）結(jié)論可知APB=APB=90°，BPE=90°.所以四邊形BPEP是矩形.又因?yàn)锽P= BP,所以四邊形BPEP是正方形.【點(diǎn)睛】此題主要考查特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)與判定.5（2020·山東初三期末）如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連接DG，過點(diǎn)A作AHDG，交BG于點(diǎn)H連接HF，AF，其中AF交EC于點(diǎn)M（1）求證：AHF為等腰直角三角形（2）若AB3，EC5，求EM的長【答案】（1）見解析；（2）EM【解析】證明：（1）四邊形ABCD，四邊形ECGF都是正方形DABC，ADCD，F(xiàn)GCG，BCGF90°ADBC，AHDG，四邊形AHGD是平行四邊形AHDG，ADHGCD，CDHG，ECGCGF90°，F(xiàn)GCG，DCGHGF（SAS），DGHF，HFGHGDAHHF，HGD+DGF90°，HFG+DGF90°DGHF，且AHDG，AHHF，且AHHFAHF為等腰直角三角形（2）AB3，EC5，ADCD3，DE2，EF5ADEF，且DE2EM【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)難度大靈活運(yùn)用這些知識進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵6（2020·深圳市龍崗區(qū)石芽嶺學(xué)校初三月考）如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直線MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N（1）求證：CM=CN；（2）若CMN的面積與CDN的面積比為3：1，求的值【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】解：（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得：ANM=CNM，四邊形ABCD是矩形，ADBCANM=CMNCMN=CNMCM=CN（2）過點(diǎn)N作NHBC于點(diǎn)H，則四邊形NHCD是矩形HC=DN，NH=DCCMN的面積與CDN的面積比為3：1，MC=3ND=3HCMH=2HC設(shè)DN=x，則HC=x，MH=2x，CM=3x=CN在RtCDN中，HN=在RtMNH中，7（2020·河南初三）如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，三角板的一邊交于點(diǎn)另一邊交的延長線于點(diǎn)（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）探究證明：如圖2，移動三角板，使頂點(diǎn)始終在正方形的對角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立請說明理由：（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過點(diǎn)，其他條件不變，若、，求的值【答案】（1）；（2）成立，證明過程見解析；（3）.【解析】（1），理由如下：由直角三角板和正方形的性質(zhì)得在和中，；（2）成立，證明如下：如圖，過點(diǎn)分別作，垂足分別為，則四邊形是矩形由正方形對角線的性質(zhì)得，為的角平分線則在和中，；（3）如圖，過點(diǎn)分別作，垂足分別為同（2）可知，由長方形性質(zhì)得：，即在和中，.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定定理與性質(zhì)，較難的是題（3），通過作輔助線，構(gòu)造兩個相似三角形是解題關(guān)鍵.8（2020·江蘇初二期中）如圖，長方形紙片ABCD中，AB8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的E點(diǎn)處，折痕的一端G點(diǎn)在邊BC上（1）如圖1，當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上且AE4時，求AF的長；（2）如圖2，當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上且BG10時，求證：EFG是等腰三角形；求AF的長；（3）如圖3，當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)E到AD的距離是4，且BG5時，求AF的長【答案】（1）AF3；（2）見解析；AF6；（3）AF1【解析】（1）解：紙片折疊后頂點(diǎn)B落在邊AD上的E點(diǎn)處，BFEF，AB8，EF8AF，在RtAEF中，AE2+AF2EF2，即42+AF2（8AF）2，解得AF3；（2）證明：紙片折疊后頂點(diǎn)B落在邊AD上的E點(diǎn)處，BGFEGF，長方形紙片ABCD的邊ADBC，BGFEFG，EGFEFG，EFEG，EFG是等腰三角形；解：紙片折疊后頂點(diǎn)B落在邊AD上的E點(diǎn)處，EGBG10，HEAB8，F(xiàn)HAF，EFEG10，在RtEFH中，F(xiàn)H6， AFFH6；（3）解：如圖3，設(shè)EH與AD相交于點(diǎn)K，過點(diǎn)E作MNCD分別交AD、BC于M、N，E到AD的距離為4，EM4，EN844，在RtENG中，EG=BG=5，GN3， GEN+KEM180°GEH180°90°90°，GEN+NGE180°90°90°，KEMNGE，又ENGKME90°，GENEKM，即， 解得EK，KM， KHEHEK8， FKHEKM，HEMK90°，F(xiàn)KHEKM，即， 解得FH1，AFFH1【點(diǎn)睛】此題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)定理，每個小問的問題都是求AF的長度，故解題中注意思路和方法的總結(jié)，（3）中的解題思路與（2）相類似，求出FH問題得解，故將問題轉(zhuǎn)化是解題的一種特別重要的思路.9（2019·河南初三期中）正方形ABCD與正方形DEFG按如圖1放置，點(diǎn)A，D，G在同一條直線上，點(diǎn)E在CD邊上，AD3，DE，連接AE，CG（1）線段AE與CC的關(guān)系為_；（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角后，如圖2，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由（3）在正方形DEFG繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)AEC90°時，請直接寫出AE的長【答案】（1）AECG，AECG；（2）仍然成立；理由見解析；（3）AE的長為2+1或21【解析】（1）線段AE與CG的關(guān)系為：AECG，AECG，理由如下：如圖1，延長AE交CG于點(diǎn)H，四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADECDG90°，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+AED90°，AEDCEH，GCD+CEH90°，CHE90°，即AECG，故答案為：AECG，AECG；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖2，設(shè)AE與CG交于點(diǎn)H，四邊形ABCD和四邊形DGFE是正方形，ADCD，EDGD，ADCEDG90°，ADC+CDEEDG+CDE，即ADECDG，ADECDG（SAS），AECG，EADGCD，EAD+APD90°，APDCPH，GCD+CPH90°，CHP90°，即AECG，AECG，AECG，中的結(jié)論仍然成立；（3）如圖31，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到線段CG上時，過點(diǎn)D作DMAE于點(diǎn)M，AEC90°，DEG45°，AED45°，RtDME是等腰直角三角形，MEMDDE1，在RtAMD中，ME1，AD3，AM2，AEAM+ME2+1；如圖32，當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到線段CG的延長線上時，過點(diǎn)D作DNCE于點(diǎn)N，則END90°，DEN45°，EDN45°，RtDNE是等腰直角三角形，NENDDE1，在RtCND中，ND1，CD3，CN2，CENE+CN2+1，ACAD3，在RtAEC中，AE21，綜上所述，AE的長為2+1或21 【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定（SAS）與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，解題關(guān)鍵是在第（3）問中能夠根據(jù)題意分情況討論并畫出圖形，才能保證解答的完整性10（2019·云南初三）如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿EC對折矩形ABCD，使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處，折痕為EC，連結(jié)AP并延長AP交CD于F點(diǎn)，（1）求證：CBECPE；（2）求證：四邊形AECF為平行四邊形；（3）若矩形ABCD的邊AB6，BC4，求CPF的面積【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）解：由折疊可知，EPEB，CPCB，ECEC，ECPECB（SSS）（2）證明：由折疊得到BEPE，ECPB，E為AB的中點(diǎn)，AEEBPE，APBP，AFEC，AEFC，四邊形AECF為平行四邊形；（3）過P作PMDC，交DC于點(diǎn)M，在RtEBC中，EB3，BC4，根據(jù)勾股定理得： ，由折疊得：BP2BQ，在RtABP中，AB6，BP，根據(jù)勾股定理得： ,四邊形AECF為平行四邊形，AFEC5，F(xiàn)CAE3，PF5，PMAD，F(xiàn)PMFAD，即解得：PM，則SPFCFCPM×3×【點(diǎn)睛】本題考查的是利用折疊性質(zhì)來證明三角形全等和平行四邊形四邊形，還考查了利用勾股定理、面積公式來求三角形的邊長，利用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例來求出三角形的高，進(jìn)而求出三角形的面積本題第（3）中求也可利用APBEBC，對應(yīng)邊成比例,求AP，這樣比較簡便11（2019·江西初三期中）在正方形ABCD中，點(diǎn)P是CD上一動點(diǎn)，連結(jié)PA，分別過點(diǎn)B、D作BEPA、DFPA，垂足為E、F，如圖（1）請?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，若點(diǎn)P在DC的延長線上（如圖），那么這三條線段的長度之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點(diǎn)P在CD的延長線上呢（如圖）？請分別直接寫出結(jié)論（2）請?jiān)冢?）中的三個結(jié)論中選擇一個加以證明【答案】（1）圖中，BE=DF+EF；圖中，BE=DF-EF；圖中，BE=EF-DF；（2）見解析【解析】解：（1）在正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90°，BAE+DAF=90°，BEPA，DFPA，AEB=DFA=90°，ABE+BAE=90°，ABE=DAF，在ABE和DAF中，ABEDAF(AAS)，AE=DF，AF=BE，如圖，AF=AE+EF，BE=DF+EF，如圖，AE=AF+EF，BE = DF -EF，如圖，EF=AE+AF，BE = EF -DF（2）證明：如圖題，ABCD是正方形，AB=AD，BEPA，DFPA，AEB=AFD=90°，ABE+BAE=90°DAF+BAE=90°，ABE=DAF，RtABERtDAF，BE=AF，AE=DF，而AF=AE+EF，BE=DF+EF；【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12（2020·河北初三期末）如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（不與、重合），點(diǎn)在的延長線上，且滿足，連接、，與邊交于點(diǎn)（1）求證：；（2）如果，求證：【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】解：證明（1）四邊形ABCD是正方形，ABAD，CADACB45°，BADCDAB90°，BAMMAD90°，ADN90°MAN90°，MADDAN90°，BAMDAN，且ADAB，ABCADN90°ABMADN（ASA）AMAN，（2）AMAN，MAN90°，MNA45°， CAD2NAD45°，NAD22.5°CAMMANCADNAD22.5°CAMNAD，ACBMNA45°， AMCAEN ，且ANAM，AN2AEAC【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵