專題17 反比例函數(shù)綜合題考點(diǎn)分析【例1】（2018·浙江中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知ABC，ABC=90°，頂點(diǎn)A在第一象限，B，C在x軸的正半軸上（C在B的右側(cè)），BC=2，AB=2，ADC與ABC關(guān)于AC所在的直線對(duì)稱（1）當(dāng)OB=2時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)A和點(diǎn)D在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求OB的長；（3）如圖2，將第（2）題中的四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為A1B1C1D1，過點(diǎn)D1的反比例函數(shù)y=（k0）的圖象與BA的延長線交于點(diǎn)P問：在平移過程中，是否存在這樣的k，使得以點(diǎn)P，A1，D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的k的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，）；（2）OB=3；（3）k=12【解析】（1）如圖1中，作DEx軸于EABC=90°，tanACB=，ACB=60°，根據(jù)對(duì)稱性可知：DC=BC=2，ACD=ACB=60°，DCE=60°，CDE=90°-60°=30°，CE=1，DE=，OE=OB+BC+CE=5，點(diǎn)D坐標(biāo)為（5，）（2）設(shè)OB=a，則點(diǎn)A的坐標(biāo)（a，2），由題意CE=1DE=，可得D（3+a，），點(diǎn)A、D在同一反比例函數(shù)圖象上，2a=（3+a），a=3，OB=3（3）存在理由如下：如圖2中，當(dāng)PA1D=90°時(shí)ADPA1，ADA1=180°-PA1D=90°，在RtADA1中，DAA1=30°，AD=2，AA1=4，在RtAPA1中，APA1=60°，PA=，PB=，設(shè)P（m，），則D1（m+7，），P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上，m=（m+7），解得m=3，P（3，），k=10如圖3中，當(dāng)PDA1=90°時(shí)PAK=KDA1=90°，AKP=DKA1，AKPDKA1，AKD=PKA1，KADKPA1，KPA1=KAD=30°，ADK=KA1P=30°，APD=ADP=30°，AP=AD=2，AA1=6，設(shè)P（m，4），則D1（m+9，），P、A1在同一反比例函數(shù)圖象上，4m=（m+9），解得m=3，P（3，4），k=12點(diǎn)睛：本題考查反比例函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、解直角三角形、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)了可以參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題【例2】 （2019·山東中考模擬）如圖，A（4，3）是反比例函數(shù)y=在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接OA，過A作ABx軸，截取AB=OA（B在A右側(cè)），連接OB，交反比例函數(shù)y=的圖象于點(diǎn)P（1）求反比例函數(shù)y=的表達(dá)式；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）求OAP的面積【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為y=；（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，3）；（3）OAP的面積=5【解析】（1）將點(diǎn)A（4，3）代入y=，得：k=12，則反比例函數(shù)解析式為y=；（2）如圖，過點(diǎn)A作ACx軸于點(diǎn)C，則OC=4、AC=3，OA=5，ABx軸，且AB=OA=5，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（9，3）；（3）點(diǎn)B坐標(biāo)為（9，3），OB所在直線解析式為y=x，由可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（6，2），（負(fù)值舍去），過點(diǎn)P作PDx軸，延長DP交AB于點(diǎn)E，則點(diǎn)E坐標(biāo)為（6，3），AE=2、PE=1、PD=2，則OAP的面積=×（2+6）×3×6×2×2×1=5【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形綜合，熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.考點(diǎn)集訓(xùn)1（2019·四川中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點(diǎn)A，且，將直線向左平移一個(gè)單位后與雙曲線相交于點(diǎn)B，與x軸、y軸分別交于C、D兩點(diǎn)（1）求直線的解析式及k的值；（2）連結(jié)、，求的面積【答案】（1）直線的解析式為，k=1；（2）2.【解析】解：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，將直線向左平移一個(gè)單位后得到，直線的解析式為，直線與雙曲線相交于點(diǎn)A，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，；（2）作軸于E，軸于F，解得或，【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型2（2019·四川中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A與點(diǎn)（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P是第一象限內(nèi)雙曲線上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，且過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)C，連接，若的面積為3，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)【答案】（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或【解析】解：（1）將代入一次函數(shù)中得：將代入反比例函數(shù)中得：反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）如圖：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，點(diǎn)O到直線的距離為m的面積解得：或或1或2點(diǎn)P不與點(diǎn)A重合，且又或1或2點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù).3（2019·江蘇中考真題）已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)（1）如圖1，若，且函數(shù)、的圖象都經(jīng)過點(diǎn)求，的值；直接寫出當(dāng)時(shí)的范圍；（2）如圖2，過點(diǎn)作軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)若，直線與函數(shù)的圖象相交點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)、中的一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等時(shí)，求的值；過點(diǎn)作軸的平行線與函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)當(dāng)?shù)闹等〔淮笥?的任意實(shí)數(shù)時(shí)，點(diǎn)、間的距離與點(diǎn)、間的距離之和始終是一個(gè)定值求此時(shí)的值及定值【答案】（1），；（2）或4；，【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)得：；由圖象可以看出時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則，則或或，即：或或，即：或0或2或4，當(dāng)時(shí)，與題意不符，點(diǎn)不能在的下方，即也不存在，故不成立，故或4；點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，的值取不大于1的任意數(shù)時(shí)，始終是一個(gè)定值，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，從而當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，同理，當(dāng)，時(shí)，（不合題意舍去）故，【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到一次函數(shù)、函數(shù)定值的求法，關(guān)鍵是通過確定點(diǎn)的坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)線段的長度，進(jìn)而求解4（2019·深圳市福田區(qū)外國語學(xué)校初三期中）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sinAOB=，反比例函數(shù)y=（k0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F，（1）若OA=10，求反比例函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且AOF的面積S=12，求OA的長和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）在（2）中的條件下，過點(diǎn)F作EFOB，交OA于點(diǎn)E（如圖），點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PO，是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）y=（x0）（2）OA=；C（5，）（3）P1（ ，），P2（，），P3（，），P4（，）【解析】（1）過點(diǎn)A作AHOB于H，sinAOB=，OA=10，AH=8，OH=6，A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），根據(jù)題意得：8=，可得：k=48，反比例函數(shù)解析式：y=（x0）；（2）設(shè)OA=a（a0），過點(diǎn)F作FMx軸于M，sinAOB=，AH=a，OH=a，SAOH=aa=a2，SAOF=12，S平行四邊形AOBC=24，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，SOBF=6，BF=a，F(xiàn)BM=AOB，F(xiàn)M=a，BM=a，SBMF=BMFM=aa=a2，SFOM=SOBF+SBMF=6+a2，點(diǎn)A，F(xiàn)都在y=的圖象上，SAOH=k，a2=6+a2，a=，OA=，AH=，OH=2，S平行四邊形AOBC=OBAH=24，OB=AC=3，C（5，）；（3）存在三種情況：當(dāng)APO=90°時(shí)，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，分別為：P1（ ，），P2（，）當(dāng)PAO=90°時(shí)， P3（，）當(dāng)POA=90°時(shí)，P4（，）5（2019·四川中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)(且)的圖象在第一象限交于點(diǎn)、，且該一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，過、分別作軸的垂線，垂足分別為、已知，(1)求的值和反比例函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)為一次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，求長度的最小值【答案】(1)的值為4或-1；(2).【解析】解：(1)將點(diǎn)代入，得，解得，的值為4或-1；反比例函數(shù)解析式為：；(2)軸，軸，將，代入，得：，解得，設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，為等腰直角三角形，則當(dāng)垂直于時(shí)，由垂線段最短可知，有最小值，此時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂線段最短等知識(shí)，解題關(guān)鍵是能夠熟練運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)6（2019·山東中考真題）如圖1，點(diǎn)、點(diǎn)在直線上，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1）求和的值；（2）將線段向右平移個(gè)單位長度（），得到對(duì)應(yīng)線段，連接、如圖2，當(dāng)時(shí)，過作軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，求的值；在線段運(yùn)動(dòng)過程中，連接，若是以為腰的等腰三形，求所有滿足條件的的值【答案】（1），；（2）；是以為腰的等腰三形，滿足條件的的值為4或5【解析】（1）點(diǎn)在直線上，直線的解析式為，將點(diǎn)代入直線的解析式中，得，將在反比例函數(shù)解析式（）中，得；（2）由（1）知，反比例函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，將線段向右平移3個(gè)單位長度，得到對(duì)應(yīng)線段，即：，軸于點(diǎn)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，；如圖，將線段向右平移個(gè)單位長度（），得到對(duì)應(yīng)線段，是以腰的等腰三形，、當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，、當(dāng)時(shí)，即：是以為腰的等腰三形，滿足條件的的值為4或5【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平移的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵7（2019·廣西中考真題）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1）求直線和反比例函數(shù)的解析式；（2）已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離最短時(shí)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）將點(diǎn)，點(diǎn)，代入，；過點(diǎn)作軸，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，（），；（2）設(shè)與平行的直線，聯(lián)立，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線距離最短；【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，當(dāng)直線與反比例函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最短是解題的關(guān)鍵8（2019·廣西中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，交于點(diǎn)（1）如圖（1），雙曲線過點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和雙曲線的解析式；（2）如圖（2），雙曲線與分別交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在軸上求證，并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖（3），將矩形向右平移個(gè)單位長度，使過點(diǎn)的雙曲線與交于點(diǎn)當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值【答案】（1）， ；（2）證明見解析，；（3）滿足條件的的值為3或12【解析】解：（1）如圖1中，四邊形是矩形， 雙曲線過點(diǎn)，反比例函數(shù)的解析式為（2）如圖2中，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，直線的解析式為，關(guān)于對(duì)稱，直線的解析式為，（3）如圖3中，當(dāng)時(shí)，在反比例函數(shù)圖象上，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，在反比例函數(shù)圖象上，綜上所述，滿足條件的的值為3或12【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題9（2019·遼寧中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊交軸于點(diǎn)，軸，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）是矩形，又軸，即把點(diǎn) 代入的得，反比例函數(shù)的解析式為：答：反比例函數(shù)的解析式為：（2）過點(diǎn)作垂足為，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn)，此時(shí)最小，設(shè)直線AB1的關(guān)系式為，將 ,，代入得， 解得：，直線的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)答：點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)的圖像，解題的關(guān)鍵是熟知待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式與對(duì)稱性.10（2019·廣西中考真題）如圖，已如平行四邊形中，點(diǎn)為坐標(biāo)頂點(diǎn)，點(diǎn)，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1）求的值及直線的函數(shù)表達(dá)式：（2）求四邊形的周長【答案】（1）k=2，直線OB解析式為；（2）四邊形的周長為【解析】 (1)依題意有：點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，又軸，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，直線的函數(shù)表達(dá)式為；(2)作于點(diǎn)，在平行四邊形中，四邊形的周長為：，即四邊形的周長為【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答11（2019·湖南中考真題）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰的邊與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，其中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)（1）已知一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，滿足，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連結(jié)，記的面積為，設(shè)，. 用表示（不需要寫出的取值范圍）；當(dāng)取最小值時(shí)，求的值【答案】（1）;（2）;【解析】解：（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，解得：，故一次函數(shù)表達(dá)式為：，（2）過點(diǎn)作，則，則，則，則點(diǎn)，設(shè)：，則，在中，同理，則，則點(diǎn)，有最小值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，而點(diǎn)，故：【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)綜合運(yùn)用題，涉及到等腰三角形性質(zhì)、解直角三角形、一次函數(shù)等知識(shí)，其中（2），確定點(diǎn)的坐標(biāo)，是本題解題的關(guān)鍵12（2019·山東中考真題）(1)閱讀理解如圖，點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，連接，取線段的中點(diǎn)分別過點(diǎn)，作軸的垂線，垂足為，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，小紅通過觀察反比例函數(shù)的圖象，并運(yùn)用幾何知識(shí)得出結(jié)論：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一個(gè)關(guān)于，之間數(shù)量關(guān)系的命題：若，則_(2)證明命題小東認(rèn)為：可以通過“若，則”的思路證明上述命題小晴認(rèn)為：可以通過“若，且，則”的思路證明上述命題請你選擇一種方法證明(1)中的命題【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1),. (2),，,.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的圖象等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題