人教版八下數(shù)學(xué) 第18章 平行四邊形 微專題七 以正方形為背景的證明與計(jì)算1. 如圖，四邊形 ABCD 是正方形，E 是邊 BC 的中點(diǎn)，AEF=90，且 EF 交正方形外角的平分線 CF 于點(diǎn) F求證：AE=EF（提示：取 AB 的中點(diǎn) G，連接 EG）2. 數(shù)學(xué)課上，李老師出示了問題：如圖，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) E 是邊 BC 上的點(diǎn)，過點(diǎn) E 作 EFAE，過點(diǎn) F 作 FGBC 交 BC 的延長線于點(diǎn) G(1) 求證：BAE=FEG；(2) 同學(xué)們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖，四邊形 ABCD 是正方形，點(diǎn) E 是邊 BC 上（除 B，C 外）的任意一點(diǎn)，AEF=90，且 EF 交正方形外角 DCG 的平分線于點(diǎn) F，求證：AE=EF3. 已知正方形 ABCD 的對角線 AC，BD 相交于點(diǎn) O如圖，E，G 分別是 OB，OC 上的點(diǎn)，CE 與 DG 的延長線相交于點(diǎn) F若 DFCE，求證：OE=OG4. 如圖，在 RtABC 中，ACB=90，過點(diǎn) C 的直線 mAB，D 為 AB 邊上一點(diǎn)，過點(diǎn) D 作 DEBC，交直線 m 于點(diǎn) E，垂足為點(diǎn) F，連接 BE(1) 求證：CE=AD(2) 如圖，當(dāng)點(diǎn) D 是 AB 中點(diǎn)時(shí)，連接 CD四邊形 BECD 是什么特殊四邊形？請說明理由；當(dāng) A= 時(shí)，四邊形 BECD 是正方形5. 在平面內(nèi)，正方形 ABCD 與正方形 CEFH 按如圖放置，連接 DE，BH 交于點(diǎn) M求證：(1) BH=DE(2) BHDE6. 如圖，在正方形 ABCD 的內(nèi)部，作 DAE=ABF=BCG=CDH，根據(jù)三角形全等的條件，易得 DAEABFBCGCDH，從而得到四邊形 EFGH 是正方形類比探究：如圖，在正三角形 ABC 的內(nèi)部，作 BAD=CBE=ACF，AD，BE，CF 兩兩相交于 D，E，F(xiàn) 三點(diǎn)（D，E，F(xiàn) 三點(diǎn)不重合）(1) ABD，BCE，CAF 是否全等？如果是，請選擇其中一對進(jìn)行證明；(2) DEF 是否為正三角形？請說明理由；(3) 進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，ABD 的三邊存在一定的等量關(guān)系如圖，設(shè) BD=a，AD=b，AB=c，請?zhí)剿?a，b，c 滿足的等量關(guān)系7. 已知，正方形 ABCD 中，MAN=45，MAN 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交 CB，DC（或它們的延長線）于點(diǎn) M，N，AHMN 于點(diǎn) H(1) 如圖，當(dāng) MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BM=DN 時(shí)，請你直接寫出 AH 與 AB 的數(shù)量關(guān)系： ；(2) 如圖，當(dāng) MAN 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)到 BMDN 時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的 AH 與 AB 的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由；如果成立請證明；(3) 如圖，已知 MAN=45，AHMN 于點(diǎn) H，且 MH=2，NH=3，求 AH 的長（可利用（2）得到的結(jié)論）答案1. 【答案】答圖略，取 AB 的中點(diǎn) G，連接 EG AEF=90， CEF+AEB=90， 四邊形 ABCD 是正方形， GAE+AEB=90， GAE=CEF， E 是 BC 的中點(diǎn)，G 是 AB 的中點(diǎn)， BG=BE，AG=EC， BGE=45， CF 是 DCH 的平分線， FCH=45， AGE=ECF=135，在 AGE 和 ECF 中， GAE=CEF,AG=EC,AGE=ECF, AGEECFASA， AE=EF2. 【答案】(1) AEF=90， AEB+FEG=90，又 RtABE 中，BAE+AEB=90， BAE=FEG(2) 答圖略，在 AB 上取一點(diǎn) M，使 AM=EC，連接 ME 正方形 ABCD 中，AB=BC， BM=BE， BME=45， AME=135， CF 是外角平分線， DCF=45， ECF=135， AME=ECF， AEB+BAE=90，AEB+CEF=90， BAE=CEF， 在 AME 和 ECF 中， MAE=CEF,AM=EC,AME=ECF, AMEECFASA， AE=EF3. 【答案】 四邊形 ABCD 是正方形， ACBD，OD=OC， DOG=COE=90， OEC+OCE=90， DFCE， OEC+ODG=90， OCE=ODG， DOGCOE， OE=OG4. 【答案】(1) 連接 CD，答圖略， mAB， ECAD， ACB=90， ACBC， DEBC， DEAC， 四邊形 DECA 是平行四邊形， CE=DA(2) 四邊形 BECD 是菱形理由： 由（1）知：四邊形 DECA 是平行四邊形， CE=DA，CEAD，在 RtABC 中， 點(diǎn) D 是 AB 的中點(diǎn)， BD=DC=DA， CEBD，CE=BD， 四邊形 BECD 是平行四邊形，又 BD=DC， 四邊形 BECD 是菱形 45 【解析】(2) 當(dāng) A=45 時(shí)，由于四邊形 DECA 是平行四邊形， EDB=A=45，又 BE=BD， BED=EDB=45， EBD=90 四邊形 BECD 是菱形 四邊形 BECD 是正方形5. 【答案】(1) 四邊形 ABCD 和四邊形 CEFH 都是正方形， CB=CD，CE=CH，BCD=ECH=90， BCH=90+DCH，DCE=90+DCH， BCH=DCE， BCHDCESAS， BH=DE(2) 答圖略，BH 交 CD 于點(diǎn) N， BCHDCE， CBH=CDE， CBH+BNC=90，BNC=DNM， CDE+DNM=90， CDE+DNM+DMN=180， DMN=90， BHDE6. 【答案】(1) 是證明： ABC 是正三角形， CAB=ABC=BCA=60，AB=BC ABD=ABC-2，BCE=ACB-3，而 2=3 ABD=BCE，又 1=2， ABDBCE(2) DEF 是正三角形理由： ABDBCECAF， ADB=BEC=CFA FDE=DEF=EFD， DEF 是正三角形(3) 答圖略，作 AGBD，交 BD 延長線于 G DEF 是正三角形， ADG=60， 在 RtADG 中，DG=12b，AG=32b，在 RtABG 中，c2=a+12b2+32b2， c2=a2+ab+b27. 【答案】(1) AH=AB (2) 數(shù)量關(guān)系成立、答圖略，延長 CB 至 E，使 BE=DN 四邊形 ABCD 是正方形， AB=AD，D=ABE=90在 RtAEB 和 RtAND 中，AB=AD,ABE=ADN,BE=DN, RtAEBRtAND， AE=AN，EAB=NAD， DAN+BAM=45， EAB+BAM=45， EAM=45， EAM=NAM=45在 AEM 和 ANM 中，AE=AN,EAM=NAM,AM=AM, AEMANM SAEM=SANM，EM=MN， AB，AH 是 AEM 和 ANM 對應(yīng)邊上的高， AB=AH；(3) 答圖略，分別沿 AM，AN 翻折 AMH 和 ANH，得到 AMB 和 AND， BM=2，DN=3，B=D=BAD=90分別延長 BM 和 DN 交于點(diǎn) C，得正方形 ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD設(shè) AH=x，則 MC=x-2，NC=x-3，在 RtMCN 中，由勾股定理，得 MN2=MC2+NC2， 52=x-22+x-32，解得 x1=6，x2=-1（不符合題意，舍去） AH=6