人教版九上數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練_九_(tái) 巧借旋轉(zhuǎn)妙解題
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人教版九上數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練_九_(tái) 巧借旋轉(zhuǎn)妙解題
人教版九上數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練_九_(tái) 巧借旋轉(zhuǎn)妙解題1. 請(qǐng)回答:(1) 如圖,在等邊 ABC 中,點(diǎn) P 在 ABC 內(nèi),且 PA=6,PC=8,APC=150,求 PB 的長(zhǎng)小敏在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí),想到了以下思路:如圖,把 APC 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到 AP'B,連接 PP',分別證明 AP'P 和 BP'P 是特殊三角形,從而得解請(qǐng)?jiān)诖怂悸诽崾鞠?,求?PB 的長(zhǎng)解:把 APC 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到 AP'B,連接 PP'接著寫下去:(2) 如圖,點(diǎn) P 在等邊 ABC 外,且 PA=4,PB=3,APB=120,若 AB=210,求 PBC 度數(shù)2. 如圖,在等腰 ABC 中,AB=AC,BAC=120,點(diǎn) P 為 ABC 外部的一點(diǎn),且滿足 APC+BPC=90求證:BP=3AP3. 如圖,在等腰 RtABC 中,ACB=90,點(diǎn) P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn),連接 PA,PB,PC,且 PA=2PC,設(shè) APB=,CPB=(1) 如圖,若 ACP=45,將 PBC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 至 DAC,連接 DP,易證 DAP 為等邊三角形,則 = ,= ;(2) 如圖,若 PB=2PA,則 = ,= ;(3) 如圖,猜想并寫出 與 之間的數(shù)量關(guān)系 4. 請(qǐng)回答:(1) 【問(wèn)題解決】一節(jié)數(shù)學(xué)課上,老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖,點(diǎn) P 是正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn),PA=1,PB=2,PC=3你能求出 APB 的度數(shù)嗎?小明通過(guò)觀察、分析、思考,形成了如下思路:思路一:將 BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90,得到 BP'A,連接 PP',求出 APB 的度數(shù);思路二:將 APB 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90,得到 CP'B連接 PP',求出 APB 的度數(shù)請(qǐng)參考小明的思路,任選一種寫出完整的解答過(guò)程(2) 【類比探究】如圖,若點(diǎn) P 是正方形 ABCD 外一點(diǎn),PA=3,PB=1,PC=11,求 APB 的度數(shù)5. 閱讀下列材料:小華遇到這樣一個(gè)問(wèn)題,如圖,ABC 中,ACB=30,BC=6,AC=5,在 ABC 內(nèi)部有一點(diǎn) P,連接 PA,PB,PC,求 PA+PB+PC 的最小值小華是這樣思考的:要解決這個(gè)問(wèn)題,首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離,然后再將它們連接成一條折線,并折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn),這樣依據(jù)”兩點(diǎn)之間,線段最短”,就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法,發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問(wèn)題他的做法是:如圖,將 APC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60,得到 EDC,連接 PD,BE,則 BE 的長(zhǎng)即為所求(1) 請(qǐng)你寫出圖中,PA+PB+PC 的最小值為 ;(2) 參考小華思考問(wèn)題的方法,解決下列問(wèn)題:如圖,菱形 ABCD 中,ABC=60,在菱形 ABCD 內(nèi)部有一點(diǎn) P,請(qǐng)?jiān)趫D中畫出并指明長(zhǎng)度等于 PA+PB+PC 最小值的線段(保留畫圖痕跡,畫出一條即可);若中菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4,請(qǐng)直接寫出當(dāng) PA+PB+PC 值最小時(shí) PB 的長(zhǎng)答案1. 【答案】(1) 由旋轉(zhuǎn)不變性可知,AP'=AP=6,BP'=PC=8,APC=AP'B=150,P'AB=PAC, P'AP=BAC=60, AP'P 為等邊三角形, P'P=PA=6,AP'P=60, PP'B=150-60=90,在 RtBP'P 中,P'P=6,BP'=8, PB=PP'2+P'B2=62+82=10(2) 如圖,把 APB 繞著點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到 BCD,連接 PD, ABC 是等邊三角形, AB=BC=210,ABC=60,由旋轉(zhuǎn)不變性可知,AP=CD=4,BP=BD=3,APB=BDC=120,PBA=DBC, PBD=ABC=60, PBD 為等邊三角形, BDP=60, BDP+BDC=180, P,D,C 共線, AB=BC=210,PB=3,PC=3+4=7, PB2+BC2=PC2, PBC=902. 【答案】如圖,將線段 AP 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120 得到線段 AF,連接 PF,BF,BF 交 PC 于點(diǎn) H APF 是頂角為 120 的等腰三角形,易證 ABFACPSAS, APC=AFB設(shè) APC=,則 AFB=,PFB=30+,BPC=90-, PHB=HPF+PFH=30-+30+=60, PBH=180-90-+60=30+, PBF=PFB, PB=PF在 PAF 中,易知 PF=3PA, PB=3PA3. 【答案】(1) 150;105 (2) 135;90 (3) -=45 【解析】(3) 如圖,將 PBC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 至 DAC,連接 DP,延長(zhǎng) BP 交 AD 于點(diǎn) S,由旋轉(zhuǎn)不變性可知 BP=AD,CD=CP,DCP=90, PD=2PC PA=2PC, PA=PD BPC+CPS=180,BPC=ADC, ADC+CPS=180, PSD+PCD=180, PSD=90, PSAD PA=PD, SA=SD, BA=BD BP=BP,PA=PD,BA=BD, BPABPDSSS, APB=BPD BPD-BPC=CPD=45, -=454. 【答案】(1) 選思路一:如圖,將 BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90,得到 BP'A,連接 PP', ABP'CBP, PBP'=90,BP'=BP=2,AP'=CP=3,在 RtPBP' 中,BP=BP'=2, BPP'=45,根據(jù)勾股定理得,PP'=2BP=22, AP=1, AP2+PP'2=1+8=9, AP'2=32=9, AP2+PP'2=AP'2, APP' 是直角三角形,且 APP'=90, APB=APP'+BPP'=90+45=135(2) 如圖,將 BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90,得到 BP'A,連接 PP', ABP'CBP, PBP'=90,BP'=BP=1,AP'=CP=11,在 RtPBP' 中,BP=BP'=1, BPP'=45,根據(jù)勾股定理得,PP'=2BP=2, AP=3, AP2+PP'2=9+2=11, AP'2=112=11, AP2+PP'2=AP'2, APP' 是直角三角形,且 APP'=90, APB=APP'-BPP'=90-45=455. 【答案】(1) 61 (2) 如圖,將 APC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60,得到 DEC,連接 PE,則線段 BD 即為 PA+PB+PC 最小值的線段 433