人教版九上數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練_九_(tái) 巧借旋轉(zhuǎn)妙解題1. 請(qǐng)回答：(1) 如圖，在等邊 ABC 中，點(diǎn) P 在 ABC 內(nèi)，且 PA=6，PC=8，APC=150，求 PB 的長(zhǎng)小敏在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，想到了以下思路：如圖，把 APC 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到 AP'B，連接 PP'，分別證明 AP'P 和 BP'P 是特殊三角形，從而得解請(qǐng)?jiān)诖怂悸诽崾鞠?，求?PB 的長(zhǎng)解：把 APC 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到 AP'B，連接 PP'接著寫下去：(2) 如圖，點(diǎn) P 在等邊 ABC 外，且 PA=4，PB=3，APB=120，若 AB=210，求 PBC 度數(shù)2. 如圖，在等腰 ABC 中，AB=AC，BAC=120，點(diǎn) P 為 ABC 外部的一點(diǎn)，且滿足 APC+BPC=90求證：BP=3AP3. 如圖，在等腰 RtABC 中，ACB=90，點(diǎn) P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，連接 PA，PB，PC，且 PA=2PC，設(shè) APB=，CPB=(1) 如圖，若 ACP=45，將 PBC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 至 DAC，連接 DP，易證 DAP 為等邊三角形，則 = ，= ；(2) 如圖，若 PB=2PA，則 = ，= ；(3) 如圖，猜想并寫出 與 之間的數(shù)量關(guān)系 4. 請(qǐng)回答：(1) 【問(wèn)題解決】一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖，點(diǎn) P 是正方形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3你能求出 APB 的度數(shù)嗎？小明通過(guò)觀察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：將 BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到 BP'A，連接 PP'，求出 APB 的度數(shù)；思路二：將 APB 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到 CP'B連接 PP'，求出 APB 的度數(shù)請(qǐng)參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過(guò)程(2) 【類比探究】如圖，若點(diǎn) P 是正方形 ABCD 外一點(diǎn)，PA=3，PB=1，PC=11，求 APB 的度數(shù)5. 閱讀下列材料：小華遇到這樣一個(gè)問(wèn)題，如圖，ABC 中，ACB=30，BC=6，AC=5，在 ABC 內(nèi)部有一點(diǎn) P，連接 PA，PB，PC，求 PA+PB+PC 的最小值小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依據(jù)”兩點(diǎn)之間，線段最短”，就可以求出這三條線段和的最小值了他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過(guò)旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問(wèn)題他的做法是：如圖，將 APC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，得到 EDC，連接 PD，BE，則 BE 的長(zhǎng)即為所求(1) 請(qǐng)你寫出圖中，PA+PB+PC 的最小值為 ；(2) 參考小華思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：如圖，菱形 ABCD 中，ABC=60，在菱形 ABCD 內(nèi)部有一點(diǎn) P，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出并指明長(zhǎng)度等于 PA+PB+PC 最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）；若中菱形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 4，請(qǐng)直接寫出當(dāng) PA+PB+PC 值最小時(shí) PB 的長(zhǎng)答案1. 【答案】(1) 由旋轉(zhuǎn)不變性可知，AP'=AP=6，BP'=PC=8，APC=AP'B=150，P'AB=PAC， P'AP=BAC=60， AP'P 為等邊三角形， P'P=PA=6，AP'P=60， PP'B=150-60=90，在 RtBP'P 中，P'P=6，BP'=8， PB=PP'2+P'B2=62+82=10(2) 如圖，把 APB 繞著點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 得到 BCD，連接 PD， ABC 是等邊三角形， AB=BC=210，ABC=60，由旋轉(zhuǎn)不變性可知，AP=CD=4，BP=BD=3，APB=BDC=120，PBA=DBC， PBD=ABC=60， PBD 為等邊三角形， BDP=60， BDP+BDC=180， P，D，C 共線， AB=BC=210，PB=3，PC=3+4=7， PB2+BC2=PC2， PBC=902. 【答案】如圖，將線段 AP 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120 得到線段 AF，連接 PF，BF，BF 交 PC 于點(diǎn) H APF 是頂角為 120 的等腰三角形，易證 ABFACPSAS， APC=AFB設(shè) APC=，則 AFB=，PFB=30+，BPC=90-， PHB=HPF+PFH=30-+30+=60， PBH=180-90-+60=30+， PBF=PFB， PB=PF在 PAF 中，易知 PF=3PA， PB=3PA3. 【答案】(1) 150；105 (2) 135；90 (3) -=45 【解析】(3) 如圖，將 PBC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 至 DAC，連接 DP，延長(zhǎng) BP 交 AD 于點(diǎn) S，由旋轉(zhuǎn)不變性可知 BP=AD，CD=CP，DCP=90， PD=2PC PA=2PC， PA=PD BPC+CPS=180，BPC=ADC， ADC+CPS=180， PSD+PCD=180， PSD=90， PSAD PA=PD， SA=SD， BA=BD BP=BP，PA=PD，BA=BD， BPABPDSSS， APB=BPD BPD-BPC=CPD=45， -=454. 【答案】(1) 選思路一：如圖，將 BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到 BP'A，連接 PP'， ABP'CBP， PBP'=90，BP'=BP=2，AP'=CP=3，在 RtPBP' 中，BP=BP'=2， BPP'=45，根據(jù)勾股定理得，PP'=2BP=22， AP=1， AP2+PP'2=1+8=9， AP'2=32=9， AP2+PP'2=AP'2， APP' 是直角三角形，且 APP'=90， APB=APP'+BPP'=90+45=135(2) 如圖，將 BPC 繞點(diǎn) B 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90，得到 BP'A，連接 PP'， ABP'CBP， PBP'=90，BP'=BP=1，AP'=CP=11，在 RtPBP' 中，BP=BP'=1， BPP'=45，根據(jù)勾股定理得，PP'=2BP=2， AP=3， AP2+PP'2=9+2=11， AP'2=112=11， AP2+PP'2=AP'2， APP' 是直角三角形，且 APP'=90， APB=APP'-BPP'=90-45=455. 【答案】(1) 61 (2) 如圖，將 APC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60，得到 DEC，連接 PE，則線段 BD 即為 PA+PB+PC 最小值的線段 433