動(dòng)態(tài)電路概述及其初始條件的確定 一階電路的零輸入響應(yīng) 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 一階電路的全響應(yīng) 二階電路的零輸入響應(yīng) 二階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 一階電路和二階電路的階躍響應(yīng) 一階電路和二階電路的沖激響應(yīng),Chapter 7 一階電路與二階電路（?-order circuits）,7-1 動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件,一、過(guò)渡過(guò)程,在電路中，由于存在儲(chǔ)能元件，故存在過(guò)渡過(guò)程，并稱此電路為動(dòng)態(tài)電路。,而把某時(shí)刻t 的電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)稱為該時(shí)刻電路的狀態(tài)。, 概念：將電路條件的變化稱為換路。它包括由于開關(guān)動(dòng)作而引起電路導(dǎo)通或是關(guān)斷，或是電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)的突然改變等。,1、換路,二、電路中初始條件的確定,若電路中有第二次換路，一般記t=t0為換路瞬間，換路前瞬間為t=t0-，換路后瞬間記為t=t0+。, 表示方法：設(shè)t=0為換路瞬間，其中t=0表示換路前瞬間；t=0+表示換路后瞬間，換路經(jīng)歷的時(shí)間為0到0+ 。, 換路定則,電感電壓uL(0)為有限值：,電容電流 iC(0)為有限值：,若在換路瞬間：,初始值：電路中u、i 在 t = 0+時(shí)的大小?？煞謨深?,2、電壓和電流初始值的確定, 電路中其它的電壓、電流的初始值（非獨(dú)立初始條件） 如：電容電流、電感電壓、電阻電壓和電流。可畫出動(dòng)態(tài)電路在t= 0+時(shí)的等效電路，由此求出各元件上的電壓、電流初始值。, 電容電壓和電感電流的初始值（獨(dú)立初始條件），即 uC(0+) 和 iL(0+)。據(jù)換路定則，通過(guò)換路前瞬間的 uC(0) 和 iL(0)求出。,求初始值的具體步驟是：,（1）由換路前 t=0時(shí)刻的電路（一般為穩(wěn)定狀態(tài)） 求uC (0) 或 iL (0) ； （2）由換路定則得uC (0+) 和iL (0+) ； （3）畫 t=0+ 時(shí)刻的等效電路： 電容用電壓源替代，電感 用電流源替代。大小為 0+ 的值，方向與原假定的電容 電壓、電感電流方向相同。 （4）由 t=0+時(shí)刻的電路求所需其他變量的 0+ 值。,動(dòng)態(tài)電路中，激勵(lì)除獨(dú)立源外，還可以是動(dòng)態(tài)元件上的初始儲(chǔ)能 ，即uC(0+)或iL(0+)所決定 。對(duì)線性動(dòng)態(tài)電路而言，其響應(yīng)為二者響應(yīng)之疊加。,零輸入響應(yīng)：電路中無(wú)獨(dú)立源激勵(lì)（輸入信號(hào)為零），僅有動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能的激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)。,零狀態(tài)響應(yīng)：換路前電路中的儲(chǔ)能元件均未存儲(chǔ)能量，電路僅有外加激勵(lì)所產(chǎn)生的響應(yīng)。,7-2 一階電路的零輸入響應(yīng)（Zero-input Responds）,分析：t0時(shí)，電路穩(wěn)態(tài)，故uC(0)=U0 t0時(shí)，電路換路，變成RC串聯(lián)電路。,由換路定則：uC(0+)= uC(0)= U0,根據(jù)KVL： uRuC = 0,又由元件VAR：uR = Ri,代入上式，有：,這是一階齊次微分方程，其通解為：,式中p為一待求常數(shù)，通解代入方程有：,于是得其特征方程為： RCp+1=0,特征根為： p = 1/RC,方程的解為：,式中系數(shù)A需由初始條件確定：,并可求出電流：,方程的解為：,即方程的解為：,RC串聯(lián)電路的時(shí)間常數(shù),t 0 2 3 4 5 1 0.368 0.135 0.05 0.018 0.007 0,實(shí)際中t5 時(shí)，e-t/0，視為衰減結(jié)束。,設(shè) RC，并稱為該電路的時(shí)間常數(shù)，單位是秒S，其大小決定了指數(shù)函數(shù)衰減的快慢。見下表：,三個(gè)不同時(shí)間常數(shù)下的變化曲線：,U0,1 <2 < 3,時(shí)間常數(shù) 的大小取決于電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始電壓的大小無(wú)關(guān)。,結(jié)論：時(shí)間常數(shù)愈小，過(guò)渡過(guò)程愈短：反之愈長(zhǎng)。,在整個(gè)放電過(guò)程中，電阻R上消耗的能量為：,即電容的儲(chǔ)能全部被電阻消耗，轉(zhuǎn)換為熱能。,例7-4 圖示電路中開關(guān)S原在位置1，且電路達(dá)穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開關(guān)由1合向2，試求t0時(shí)的電流i(t)。,解：首先求出：,換路后，電容經(jīng)R1、R2放電：,4,R2,S,R,R1,1,2,4,+,+,-,-,2,C 1F,10V,uc,i,(t=0),2、RL串聯(lián)電路,+,R,R1,Us,K(t=0),L,iL,由換路定則，iL(0+) = iL(0) = I0,分析：t0時(shí)，電路穩(wěn)態(tài)，iL(0) = Us /R1=I0 t0時(shí)，電路換路，變成RL串聯(lián)電路。,已知：開關(guān)K在t =0時(shí)動(dòng)作，之前電路處于穩(wěn)態(tài)。求: t0時(shí)，uR和 iL 的變化規(guī)律。,由KVL： uL + uR = 0,可得電路的微分方程：,由元件VAR： uR =RiL,解出特征根為： p = -R/L 則電流： iL=AeRt/L 令 =L/R, 則： iL=Aet/,由初始條件可確定 A= I0，則,其通解為： 代入方程得它的特征方程： Lp+R=0,電感電流iL和電阻電壓uR的變化曲線為：,RL電路時(shí)間常數(shù)： =L/R (L-H，R-， -S) 與 RC電路中的時(shí)間常數(shù)意義相同。,注意：電感放電瞬間，兩端可能會(huì)出現(xiàn)高壓。,uV (0+)= -10000V,iL,K(t=0),L=4H,R=10,V,RV 10k,10V,t=0時(shí), 打開開關(guān)K,發(fā)現(xiàn)電壓表壞了，為什么？,電壓表量程：50V,小結(jié)：,其解的形式為：, 零輸入響應(yīng)的衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)，其中RC 電路=RC ，RL 電路=L/R ，R 是指與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。, 同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。, 零輸入響應(yīng)是初始狀態(tài)的線性函數(shù)。, 在零輸入條件下一階電路響應(yīng)的方程為：,7-3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng),零狀態(tài)響應(yīng)是指電路中的儲(chǔ)能元件處于零初始狀態(tài)，僅由外加激勵(lì)所引起的響應(yīng)。本節(jié)只討論激勵(lì)為直流電源的情況。,t0時(shí)，電容上的電壓uC(0)= 0,t0時(shí)，根據(jù)KVL有：uR+ uC =Us,代入元件VAR，有:,uCh(t)方程的齊次解，形式為Ae-t/RC 又稱響應(yīng)的自由分量或暫態(tài)分量。,uCp(t)方程的特解，與方程右邊形式相同，即常數(shù)，設(shè)為B 又稱響應(yīng)的強(qiáng)制分量或穩(wěn)態(tài)分量。,uC(t) = uCh(t) + uCp(t)= Ae-t/RC + B,1、確定特解 將uCp=B 代入方程：,則B=Us ，即uCp=Us,2、確定齊次解中的常數(shù)A,則A= Us,所以t0時(shí)，電路的解為: uC(t)= Us(1et/RC ),電容充電過(guò)程中的能量關(guān)系：,電容儲(chǔ)能：,電阻耗能：,表明：不論R、C為何值，充電過(guò)程中，電源所供給的能量一半轉(zhuǎn)為電容儲(chǔ)能，另一半消耗在電阻上。,電源提供能量：,分析：這是動(dòng)態(tài)電路中具有2個(gè)時(shí)間常數(shù)的暫態(tài)計(jì)算問(wèn)題?？蓪?wèn)題分成2個(gè)時(shí)間區(qū)間來(lái)討論，即區(qū)間0，T 和T，。,+,uC,R1,R2,C,Is,K1,K2,例7-5 圖示電路，開關(guān)K1在t =0時(shí)閉合；開關(guān)K2在t =T=R1C 時(shí)閉合，同時(shí)K1打開。已知uC(0)=0，求: t0 后的uC(t),0t T時(shí)，電路為零狀態(tài)響應(yīng)：,uC(0+) = uC(0)=0 uCp = R1Is,1 =R1C,tT時(shí)，電路為零輸入響應(yīng)，初始時(shí)刻為t =T =R1C，則初值為：,t,0,uC,響應(yīng)曲線為：,二、RL并聯(lián)電路,圖示電路中， iL(0)= 0。 在t=0時(shí)，開關(guān)打開，分析iL、 iR的變化規(guī)律。,解：由KCL， iR + iL = Is,將 代入上式:,R,Is,L,iL,iR,則有,方程的解： iL = iLh + iLp = AeRt/L + Is,則方程的解為: iL = IseRt/L + Is = Is(1 eRt/L ),一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)，是從零初始值向穩(wěn)態(tài)值變化的過(guò)程。 uC 和 iL充電過(guò)程的通用表達(dá)式為：,結(jié)論：,7-4 一階電路的全響應(yīng) (Complete response),一個(gè)具有非零初始狀態(tài)的動(dòng)態(tài)電路，受到外加激勵(lì)所引起的響應(yīng)稱為該電路的完全響應(yīng)。簡(jiǎn)稱全響應(yīng)。,t0時(shí)，電路的微分方程為：,這也是一階非齊次微分方程。,與零狀態(tài)響應(yīng)的微分方程形式一致，只是初始條件不同。因此可求出完全響應(yīng)為: uC(t)= uCh+ uCp= (U0 Us )e-t /RC +Us,Us,+,uC,K,R,i,+,C,uC(t)= uCh+ uCp= (U0 Us )e-t /RC +Us,若將全響應(yīng)uC中的各分量重新組合，即:,uC(t)= (U0 Us)e t /RC+ Us =Us(1 et/RC ) +U0 et /RC =uCe+ uCf,其中的 uCh為暫態(tài)分量， uCp 為穩(wěn)態(tài)分量。,其中的uCe是零狀態(tài)響應(yīng)， uCf 是零輸入響應(yīng)。,全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng),uC(t)= uCh+ uCp= (U0 Us)et /RC +Us 全響應(yīng)=暫態(tài)(自由)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)(強(qiáng)制)響應(yīng) 強(qiáng)調(diào)的是電路響應(yīng)與其工作狀態(tài)之間的關(guān)系。 uC(t)= uCe+uCf =Us(1 et /RC ) +U0 et /RC 全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng) 強(qiáng)調(diào)的是激勵(lì)與響應(yīng)之間的因果關(guān)系； 即線性電路的可疊加性。,總結(jié)：,一階電路的三要素法,一階線性電路在直流電源的激勵(lì)下，其全響應(yīng)的一般表達(dá)式為： f(t) = f() + f(0+) - f() e-t/ 其中： f(0+) 響應(yīng)變量的初始值； f() 響應(yīng)變量的穩(wěn)態(tài)值； t0時(shí)，一階電路的時(shí)間常數(shù)。,表明:只要求出以上三個(gè)數(shù)值，即可根據(jù)一般表達(dá)式直接寫出該電路的全響應(yīng)，而不必求解電路微分方程。此方法稱“三要素”法。,初始值f(0+)的計(jì)算,(1) 先求換路前的uC(0-)、iL(0-) ，再應(yīng)用換路定則。,(2) 畫出換路后瞬間的等效電路，求其他的u (0+) 或i (0+),一、三要素的計(jì)算方法,穩(wěn)態(tài)值f()的計(jì)算,畫出換路后長(zhǎng)時(shí)間，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的等效電路。即在直流激勵(lì)下，視C為開路，L為短路。,(2) 根據(jù)電路一般分析方法或定理， 求換路后其他的穩(wěn)態(tài)值。,(1) 對(duì)任意RC串聯(lián)電路，將C以外的電路視為有源二端網(wǎng)絡(luò)， 求其等效電阻 R， =RC,(2) 對(duì)任意RL串聯(lián)電路，將L以外的電路視為有源二端網(wǎng)絡(luò)， 求其等效電阻 R ， = L/R,由換路后的電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)計(jì)算。同一電路中各未知量的 是一樣的。,時(shí)間常數(shù)的計(jì)算,例7-6 已知：K在t=0時(shí)閉合，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。求:電感電壓uL(t)，并作出曲線。,二、應(yīng)用舉例,解：第一步:求初始值,第二步:求穩(wěn)態(tài)值,第三步:求時(shí)間常數(shù),第四步: 將三要素代入一般表達(dá)式,第五步: 畫過(guò)渡過(guò)程曲線,