第28課時：矩形、菱形、正方形 【知識梳理】 1. 特殊的平行四邊形的之間的關(guān)系 2. 特殊的平行四邊形的判別條件 （1）矩形：①有一個角是 的平行四邊形是矩形．②對角線 的平行四邊形是矩形． ③有三個角是 的四邊形是矩形． （2）菱形：①一組 的平行四邊形是菱形．②對角線 的平行四邊形是菱形． ③四條邊都相等的四邊形是菱形． （3）正方形：①有一個角是 的菱形是正方形．②對角線 的菱形是正方形． ③有一組 的矩形是正方形．④對角線 的矩形是正方形． 3. 特殊的平行四邊形的性質(zhì) 邊 角 對角線 矩形 菱形 正方形 4．面積計算： （1）矩形：S=長×寬；（2）菱形：（是對角線）；（3）正方形：S=邊長2 【課前預(yù)習(xí)】 1、如圖，將矩形ABCD沿BE折疊，若∠CBA′=30°則∠BEA′= ． 2、如圖，菱形ABCD的邊長為10cm，DE⊥AB，，則這個菱形的面積= m2． 3、如圖，矩形內(nèi)有兩個相鄰的正方形面積分別為25和4，那么陰影部分面積為 . 4、正方形的對角線長為a，則它的對角線的交點到各邊的距離為（ ） A、a B、a C、 D、2a 【例題講解】 例1 如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形. （若四邊形ABCD是矩形，則四邊形EFGH有什么變化？若四邊形ABCD是菱形呢……你能說明中點四邊形的形狀是由什么決定的么？） 例2 如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，點 E、F分別是CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G． （1）求證：四邊形DEBF是菱形； （2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明． 例3 如圖，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H． （1）求證：EB=GD； （2）判斷EB與GD的位置關(guān)系，并說明理由； （3）若AB=2，AG=，求EB的長． B C A E G D F 例4 如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D， BD＝2，DC＝3，求AD的長． 小萍同學(xué)靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：(1)分別以AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；(2)設(shè)AD=x，利用勾股定理，建立關(guān)于x的方程模型，求出x的值． 【鞏固練習(xí)】O D C A B 1、如圖，矩形的兩條對角線相交于點，，則矩形的對角線的長是（ ） A．2 B．4 C． D． 2、如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩條相交線段MN、EF，M、N、E、F分別在邊AB、CD、AD、BC上．小明認(rèn)為：若MN = EF，則MN⊥EF；小亮認(rèn)為: 若MN⊥EF，則MN = EF．你認(rèn)為（ ） A．僅小明對 B．僅小亮對 C．兩人都對 D．兩人都不對 3、如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是 ． 4、四邊形的對角線互相平分，要使它變?yōu)榱庑?，需要添加的條件是 （只填一個你認(rèn)為正確的即可）． 6、在□ABCD中，于E，于F，BD與AEA D C B G E H F 、AF分別相交于G、H． （1）求證：△ABE∽△ADF； （2）若，求證：四邊形ABCD是菱形． 【課后作業(yè)】 班級 姓名 一、必做題 1、如圖，在△ABC中，點E，D，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，且DE//CA， DF//BA．下列四個判斷中，不正確的是（ ） A. 四邊形AEDF是平行四邊形 B. 如果∠BAC＝90°，那么四邊形AEDF是矩形 C. 如果AD平分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形 D. 如果AD⊥BC是AB＝AC，那么四邊形AEDF是正方形 2、下列命題正確的是（ ） A．對角線互相平分的四邊形是菱形； B．對角線互相平分且相等的四邊形是菱形 C．對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形； D．對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形. 3、如圖，兩張寬度相等的紙條交叉重疊，重合部分是（ ） A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 4、如圖，將矩形沿對角線折疊，使落在處，交于，則下列結(jié)論不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 5、如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連DF，∠CDF等于 °. 第6題圖 6、如圖，矩形ABCD中，AB=3,BC=5過對角線交點O作OE⊥AC交AD于E則AE的長是 . 第8題圖 第5題圖 C D A B E 第4題圖 第3題圖 7、順次連接對角線互相垂直的四邊形的各邊中點，所得圖形一定是 . 8、如圖，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點，EP⊥CD于點P，則∠FPC= . 9、如圖，平行四邊形 ABCD中，O是對角線AC的中點，EF⊥AC 交CD于E，交AB于F，問四邊形AFCE是菱形嗎？請說明理由． 10、如圖，已知矩形ABCD的兩條對角線相交于O，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC的長；（2）求∠AOB的度數(shù)； （3）以O(shè)B、OC為鄰邊作菱形OBEC，求菱形OBEC的面積． 二、選做題 11、如圖，，矩形的頂點在直線上，則 度． 12、如圖．邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)，則這兩個正方形重疊部分的面積是 ． B C E A D F 第14題圖 13、將五個邊長都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點A、B、C、D分別是正方形的中心，則途中四塊陰影部分的面積和為__________cm2． 第11題圖 第13題圖 D A B C m l 65° A D C B E 第12題圖 14、如圖，正方形ABCD的邊長為1cm，E、F分別是BC、CD的中點，連接BF、DE，則圖中陰影部分的面積是 cm2． 15、如圖，點P是正方形ABCD邊AB上一點(不與點A，B重合)，連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，PE交邊BC于點F，連接BE，DF． （1）求證：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE的度數(shù)； （3）當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r，△PFD∽△BFP？并說明理由． 16、學(xué)校植物園沿路護欄紋飾部分設(shè)計成若干個全等菱形圖案，每增加一個菱形圖案，紋飾長度就增加dcm，如圖所示．已知每個菱形圖案的邊長cm，其一個內(nèi)角為60°． 60° …… d L （1）若d＝26，則該紋飾要231個菱形圖案，求紋飾的長度L； （2）當(dāng)d＝20時，若保持（1）中紋飾長度不變，則需要多少個這樣的菱形圖案？