永久免費在線組卷 課件教案下載 無需注冊和點數(shù)第十一講 線段與角線段與角是初中平面幾何中兩個非?；镜母拍睿@兩個概念在日常生活中有著廣泛的應用小明做作業(yè)需要買一些文具在他家的左邊200米處有一家文具店，他從家出發(fā)向文具店走去，走到一半發(fā)現(xiàn)忘了帶錢，又回家取錢買了文具后回到家中問小明共走了多長的路程？在高層建筑中，一般都設有電梯，人們上樓一般都乘坐電梯，你想過嗎，設計電梯與線段的什么性質有關？鐘表是大家熟悉的計時工具，你可曾觀察過在2點到3點之間什么時候時針與分針重合？什么時候時針與分針成90°角？我們還可以在日常生活中提出許多與線段和角有關的問題，不少問題很有趣，也頗費腦筋，對于留心觀察、勤于思考的人來說是鍛煉腦筋的好機會例1 已知：ABBCCD=234，E，F(xiàn)分別是AB和CD的中點，且EF=12厘米(cm)，求AD的長(如圖16)分析 線段EF是線段AD的一部分，題設給出了EF的長度，只要知道線段EF占全線段AD的份額，就可求出AD的長了解 因為ABBCCD=234，E是AB中點，F(xiàn)是CD中點，將線段AD 9等分(9=2+3+4)且設每一份為一個單位，則AB=2，BC=3，CD=4，EB=1，CF=2從而EF=EB+BC+CF=1+3+2=6，例2 在直線l上取 A，B兩點，使AB=10厘米，再在l上取一點C，使AC=2厘米，M，N分別是AB，AC中點求MN的長度(如圖17)分析 因為是在直線上取C點，因此有兩種情形：C點在A點的右側或C點在A點的左側解 若C點在A點的右側(即在線段AB上)因為AC=2厘米， N為 AC中點，所以 AN=1厘米；又 AB=10厘米，M為AB中點，所以AM=5厘米則MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如圖17(a)若C點在A點的左側(即在線段BA延長線上)，此時MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如圖 17(b)線段的最基本性質是“兩點之間線段最短”，這在生活中有廣泛應用前面所提到的高層建筑所設電梯的路線，就是連接兩層樓之間的線段，而樓梯的路線則是折線，電梯的路線最短例3 如圖18所示在一條河流的北側，有A，B兩處牧場每天清晨，羊群從A出發(fā)，到河邊飲水后， 折到B處放牧吃草請問， 飲水處應設在河流的什么位置，從A到B羊群行走的路程最短？分析 將河流看作直線l(如圖19所示)設羊群在河邊的飲水點為C，則羊群行走路程為AC+CB設A關于直線l的對稱點為A，由對稱性知CA=CA因此，羊群行走的路程為AC+CB線段AC與 CB是連結點A與點B之間的折線由線段的基本性質知，連結點A與點B之間的線中，線段AB最短設線段AB與直線l交于C那么，C點就是所選的最好的飲水地點，下面我們來說明這一點解 作A關于直線l的對稱點A連結B，A，并設線段BA與l交于C設C是l上不同于C的另外一點，只要證明AC+CBAC+CB 即可利用線段基本性質及點關于直線的對稱性知AC=CA及 CA=CA，所以AC+CB=CA+CB，AC+CB=CA+CB=AB而CA與CB是連結A，B的折線，而AB則是連結這兩點之間的線段，所以CA+CBAB=AC+CB=AC+CB，從而成立，即選擇C點作為羊群的飲水點，羊群的行程最短例4 將長為10厘米的一條線段用任意方式分成5小段，以這5小段為邊可以圍成一個五邊形問其中最長的一段的取值范圍分析 設AB是所圍成的五邊形ABCDE的某一邊(圖 110)，而線段BC，CD，DE，EA則可看成是點A，B之間的一條折線，因此，ABBC+CD+DE+EA如果AB是最長的一段，上面的不等式關系仍然成立，從而可以求出它的取值范圍解 設最長的一段AB的長度為x厘米，則其余4段的和為(10-x)厘米由線段基本性質知x10-x，所以x5，即最長的一段AB的長度必須小于5厘米例5 若一個角的余角與這個角的補角之比是27，求這個角的鄰補角分析 這個問題涉及到一個角的余角、補角及兩個角的比的概念，概念清楚了，問題不難解決解 設這個角為，則這個角的余角為90°-，這個角的補角為180°-依照題意，這兩個角的比為(90°-)(180°-)=27所以360°-2=630°-7，5=270°，所以=54°從而，這個角的鄰補角為180°-54°=126°例6 若時鐘由2點30分走到2點50分，問時針、分針各轉過多大的角度？分析 解這個問題的難處在于時針轉過多大的角度，這就要弄清楚時針與分針轉動速度的關系每一小時，分針轉動360°，而時針轉動解 在2點30分時，時鐘的分針指向數(shù)字6；在2點50分時，時鐘的分針指向數(shù)字10，因此，分針共轉過“四格”，每轉“一格”為30°，故分針共轉過了4×30°=120°在鐘表中，有很多有關分針、時針的轉角問題解決這類問題的關倍)例7時鐘里，時針從5點整的位置起，順時針方向轉多少度時，分鐘與時針第一次重合(圖111)？分析 在開始時，從順時針方向看，時針在分針的“前方”，它們相差 5×30°=150°由于分針轉動速度遠遠大于時針轉動速度(是它的12倍)，因此，總有一刻，分針“追上”時針(即兩者重合)具體追上的時刻決定于開始時，分針與時針的角度差及它們的速度比解 如分析，在開始時，分針“落后”于時針150°設分針與時針第一次重合時，時針轉動了角，那么，分針轉動了(150°+)因為分鐘轉速是時針的12倍，所以150°+=12，說明 鐘表里的分鐘與時針的轉動問題本質上與行程問題中的兩人追擊問題非常相似行程問題中的距離相當于這里的角度；行程問題中的速度相當于這里時(分)針的轉動速度下面再看一例例8 在4點與5點之間，時針與分針在何時(1)成120°(圖112)；(2)成90°(圖112)分析與解 (1)在4點整時，時針與分針恰成120°由于所問的時間是介于4點到5點之間，因此，這個時間不能計入從4點開始，分針與時針之間的角度先逐步減少，直至兩針重合(夾角為0°)之后，分針“超過”時針，兩針之間的夾角又逐漸增大(此時，分針在時針的前面)直到兩針夾角又一次成為120°，這個時間正是我們所要求的設時針順時針轉過a角后，時針與分針(分針在時鐘前)成120°，則12a=120°+a+120°，由于時針每轉過30°(如從指向數(shù)字4轉到指向數(shù)字5)相當于1經過了(2)如圖113(a)，(b)所示由于在整4點時，時針與分針夾角為120°，因此，在4點與5點之間，時針與分針成90°有兩種情況：(i)時針在分針之前(如圖113(a)設時針轉了a角，分針轉了12a角，有120°+=90°+12，所以 11=30°，用時 (ii)時針在分針之后(如圖113(b)，此時，有關系12-=120°+90°，11=210°，用時間時，時針與分針成90° 說明 由于時針與分針所成角依時針與分針的“前”“后”次序有兩種情況，因此，按兩針夾角情況會出現(xiàn)一解或兩解練習十一1如圖114所示B，C是線段AD上兩點，M是AB的中點，N是CD的中點若MN=a，BC=b，求AD2如圖115所示A2，A3是線段A1A4上兩點，且A1A2=a1，A1A3=a2，A1A4=a3求線段A1A4上所有線段之和3如圖116所示兩個相鄰墻面上有A，B兩點，現(xiàn)要從A點沿墻面拉一線到B點問應怎樣拉線用線最??？4互補的兩角之差是28°，求其中一個角的余角5如圖117所示OB平分AOC，且234=253求2，3，46在晚6點到7點之間，時針與分針何時成90°角？7在4點到6點之間，時針與分針何時成120°角？ 永久免費在線組卷 課件教案下載 無需注冊和點數(shù)